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AMC 10 · 2021 · #7

학년 7 geometry-2d
유형 Compound Area by Decomposition / Difference
area-circlestangent-circlessymmetry-argumentset-partition identify-subproblemscaseworksymmetry-argument ↑ 선수 지식: area-circles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

In a plane, four circles with radii 1,3,5,1,3,5, and 77 are tangent to line ℓ\ell at the same point A,A, but they may be on either side of ℓ\ell. Region SS consists of all the points that lie inside exactly one of the four circles. What is the maximum possible area of region SS?

(A) 24π(B) 32π(C) 64π(D) 65π(E) 84π\textbf{(A) }24\pi \qquad \textbf{(B) }32\pi \qquad \textbf{(C) }64\pi \qquad \textbf{(D) }65\pi \qquad \textbf{(E) }84\pi

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$24\pi$
(B)
$32\pi$
(C)
$64\pi$
(D)
$65\pi$
(E)
$84\pi$
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 반지름이 각각 $1, 3, 5, 7$ 인 네 개의 원이 모두 직선 $\ell$ 위의 같은 점 $A$ 에서 접합니다. 각 원은 $\ell$ 의 위쪽이나 아래쪽 어느 쪽에 둘 수도 있습니다. 영역 $S$ 는 정확히 한 원 안에만 들어가는 점들의 집합. 위/아래 배치를 골라 $S$ 의 넓이를 최대로 만드세요.

주어진 것: 네 원의 반지름 $1, 3, 5, 7$ — 넓이는 각각 $\pi, 9\pi, 25\pi, 49\pi$; 모두 같은 점 $A$ 에서 $\ell$ 에 접 — 같은 쪽에 있으면 작은 원이 큰 원 안에 완전히 포함; $S$ = 정확히 한 원 안에만 있는 점들; 선택지: (A) $24\pi$, (B) $32\pi$, (C) $64\pi$, (D) $65\pi$, (E) $84\pi$

구하는 것: 영역 $S$ 의 최대 가능 넓이

이해

문제 재정리: 반지름이 각각 $1, 3, 5, 7$ 인 네 개의 원이 모두 직선 $\ell$ 위의 같은 점 $A$ 에서 접합니다. 각 원은 $\ell$ 의 위쪽이나 아래쪽 어느 쪽에 둘 수도 있습니다. 영역 $S$ 는 정확히 한 원 안에만 들어가는 점들의 집합. 위/아래 배치를 골라 $S$ 의 넓이를 최대로 만드세요.

주어진 것: 네 원의 반지름 $1, 3, 5, 7$ — 넓이는 각각 $\pi, 9\pi, 25\pi, 49\pi$; 모두 같은 점 $A$ 에서 $\ell$ 에 접 — 같은 쪽에 있으면 작은 원이 큰 원 안에 완전히 포함; $S$ = 정확히 한 원 안에만 있는 점들; 선택지: (A) $24\pi$, (B) $32\pi$, (C) $64\pi$, (D) $65\pi$, (E) $84\pi$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림 그리기): 같은 쪽에 접한 두 원을 그려보면 자동으로 겹쳐 쌓이고 '정확히 한 원' 영역은 바깥 고리만 남음. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): $S$ 를 '위쪽 기여' + '아래쪽 기여' 로 분리 — 두 영역이 점 $A$ 만 공유. 도구 #2(빠짐없이 나열하기): $\{1, 3, 5, 7\}$ 을 두 쪽으로 가르는 본질적으로 다른 분할을 표로 나열. 도구 #3(가능성 지우기): 최대값을 주는 분할을 골라 선택지와 매칭. 큰 원 $7$ 과 $5$ 를 서로 다른 쪽에 둬야 양수 기여가 커지고, 작은 원 $3, 1$ 은 큰 원 안에 숨겨 손실을 최소화.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1
  • 반지름 $r$ 인 원이 수평선 $\ell$ 위 점 $A$ 에서 접하면 중심은 $A$ 의 바로 위/아래로 거리 $r$ 떨어진 위치.
  • 같은 쪽에 두 원이 있으면 작은 원의 중심이 $\ell$ 에 더 가깝고 $A$ 도 공유하므로 큰 원 안에 완전히 포함.
$$\text{같은 쪽, } r_1 > r_2 \;\Longrightarrow\; \text{원}(r_2) \subset \text{원}(r_1)$$

💡 7학년 원의 성질 — 같은 접점, 같은 쪽이면 마트료시카처럼 포개짐.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2
  • $S$ 를 '위쪽' + '아래쪽' 으로 쪼갬 — 두 영역은 점 $A$ 만 공유하므로 넓이가 더해짐.
  • 한쪽에 반지름 $r_1 > r_2 > \dots$ 가 쌓여 있을 때 '정확히 한 원'에 들기 위해서는 가장 큰 원 안 + 두 번째 원 밖이어야 함.
  • 그쪽 기여 $= \pi r_1^2 - \pi r_2^2$ (원이 하나면 $\pi r_1^2$, 없으면 $0$).
$$\text{넓이}(S) = \bigl[\pi u_1^2 - \pi u_2^2\bigr] + \bigl[\pi d_1^2 - \pi d_2^2\bigr]$$

💡 7학년 원 넓이 — 각 쪽 '정확히 하나' 영역은 단 하나의 고리.

#1 그림 그리기 6.EE.A.1 단계 3
  • 네 넓이 계산: $\pi \cdot 1^2 = \pi$, $\pi \cdot 3^2 = 9\pi$, $\pi \cdot 5^2 = 25\pi$, $\pi \cdot 7^2 = 49\pi$.
  • 합 $84\pi$ 는 이론상 상한일 뿐(모든 원이 모든 점에서 유일 — 불가능).
$$A_1 = \pi,\ A_3 = 9\pi,\ A_5 = 25\pi,\ A_7 = 49\pi,\ \text{합} = 84\pi$$

💡 6학년 거듭제곱 — $\pi r^2$ 로 $r = 1, 3, 5, 7$ 의 넓이 도출.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 4
  • 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $\{1, 3, 5, 7\}$ 을 위쪽 $U$ 와 아래쪽 $D$ 로 가르는 분할 나열.
  • 양수 기여를 키우려면 큰 두 반지름 $7, 5$ 를 서로 다른 쪽에 — $u_1 = 7, d_1 = 5$ (또는 반대).
  • 그러면 $\{3, 1\}$ 은 본질적으로 세 가지 방법으로 나뉨:
$$U \,/\, D \in \{\{7,3,1\}/\{5\},\;\{7,3\}/\{5,1\},\;\{7\}/\{5,3,1\}\}$$

💡 4학년 여러 단계 — $3$ 과 $1$ 의 본질적으로 다른 배치를 빠짐없이 나열.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.A.1 단계 5
  • 각 경우 계산.
  • 경우 A $U=\{7,3,1\},\,D=\{5\}$: $(49\pi - 9\pi) + 25\pi = 65\pi$.
  • 경우 B $U=\{7,3\},\,D=\{5,1\}$: $(49\pi - 9\pi) + (25\pi - \pi) = 40\pi + 24\pi = 64\pi$.
  • 경우 C $U=\{7\},\,D=\{5,3,1\}$: $49\pi + (25\pi - 9\pi) = 65\pi$.
  • (대칭 경우 $U=\{7,1\},\,D=\{5,3\}$: $(49\pi-\pi) + (25\pi-9\pi) = 64\pi$.)
$$\text{A}: 65\pi,\ \text{B}: 64\pi,\ \text{C}: 65\pi$$

💡 6학년 식 계산 — 각 쪽의 두 번째로 큰 $r^2$ 만 빼고 더함.

#3 가능성 지우기 4.NBT.A.2 단계 6
  • 최댓값 $65\pi$ 선택.
  • 반지름 $3$ 을 $7$ 안에 숨기거나(A), 작은 $3$ 과 $1$ 둘 다 $5$ 안에 숨기는(C) 두 배치에서 달성.
  • 두 경우 모두 반지름 $1$ 원은 어차피 다른 원에 포함되어 '낭비'.
  • 선택지 (D) $65\pi$ 와 일치.
$$\max\text{넓이}(S) = 65\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 4학년 비교 — $\{64\pi, 65\pi\}$ 중 큰 값이 (D).

[1] #1 7.G.B.4 반지름 $r$ 인 원이 수평선 $\ell$ 위 점 $A$ 에서 접하면 중심은 $A$ 의 바로 위/아래로 거리 $r$ 떨어진 위치. 같은 쪽에 두
[2] #7 7.G.B.4 $S$ 를 '위쪽' + '아래쪽' 으로 쪼갬 — 두 영역은 점 $A$ 만 공유하므로 넓이가 더해짐. 한쪽에 반지름 $r_1 > r_2 > \do
[3] #1 6.EE.A.1 네 넓이 계산: $\pi \cdot 1^2 = \pi$, $\pi \cdot 3^2 = 9\pi$, $\pi \cdot 5^2 = 25\pi$,
[4] #2 4.OA.A.3 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 $\{1, 3, 5, 7\}$ 을 위쪽 $U$ 와 아래쪽 $D$ 로 가르는 분할 나열. 양수 기여를 키우려면 큰
[5] #2 6.EE.A.1 각 경우 계산. 경우 A $U=\{7,3,1\},\,D=\{5\}$: $(49\pi - 9\pi) + 25\pi = 65\pi$. 경우 B $U
[6] #3 4.NBT.A.2 최댓값 $65\pi$ 선택. 반지름 $3$ 을 $7$ 안에 숨기거나(A), 작은 $3$ 과 $1$ 둘 다 $5$ 안에 숨기는(C) 두 배치에서

검토

합리성 확인: 합리성: $S$ 의 절대 상한은 모든 원이 서로 안 겹칠 때의 $84\pi$ — 그게 (E). 그러나 모두 같은 점 $A$ 에서 접해야 하므로 항상 작은 원이 큰 원에 포함됨 — $\{3, 1\}$ 중 적어도 하나는 손실. 사례 분석으로 $65\pi$ 가 최대. (E) $84\pi$ 미만, (B) $32\pi$ 같이 작은 값은 비효율적 배치에 해당.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기) — '낭비' 를 세는 방식. 전체 합 $84\pi$ 에서 같은 쪽 안에 숨겨진 작은 원의 넓이를 빼야 함. 큰 두 원 $7, 5$ 를 분리하고 작은 원들을 안에 숨기면 '낭비' 는 $9\pi + \pi$ 와 같은 작은 값 — 어떻게 배치해도 $9\pi$ 손실은 피할 수 없고 $\pi$ 는 최선 배치에서 두 번 빼지지 않게 만들 수 있어 결과 $65\pi$. 같은 답을 반대 방향으로 확인.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

  • 7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 ($\pi r^2$ 로 각 원의 넓이 계산, 같은 접점·같은 쪽 원들의 포함 관계 인식.)
  • 6.EE.A.1 자연수 지수가 포함된 수치식의 작성과 계산 ($r^2$ 계산으로 $r = 1, 3, 5, 7$ 에서 $1, 9, 25, 49$ 도출.)
  • 4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 자연수 문제 풀기 ($\{1, 3, 5, 7\}$ 을 위/아래로 가르는 본질적으로 다른 분할 나열.)
  • 4.NBT.A.2 여러 자리 자연수를 읽고 쓰고 비교하기 ($64\pi$ 와 $65\pi$ 비교, $65\pi$ 를 (D) 와 매칭.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 원 넓이 $\pi r^2$ 만 알면 풀 수 있어요 — 큰 반지름 $7$ 과 $5$ 를 서로 다른 쪽에 두고 작은 $3, 1$ 은 큰 원 안에 숨겨요. 그러면 각 쪽 '정확히 하나' 영역은 가장 큰 고리뿐 — 최선 합 $(49\pi - 9\pi) + 25\pi = 65\pi$, 답 (D).

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 원 넓이 $\pi r^2$ 만 알면 풀 수 있어요 — 큰 반지름 $7$ 과 $5$ 를 서로 다른 쪽에 두고 작은 $3, 1$ 은 큰 원 안에 숨겨요. 그러면 각 쪽 '정확히 하나' 영역은 가장 큰 고리뿐 — 최선 합 $(49\pi - 9\pi) + 25\pi = 65\pi$, 답 (D).

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