AMC 10 · 2021 · #9

학년 8 arithmetic

coordinate-geometryrotation-isometryreflection-symmetrytransformations-composition work-backwardsidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryreflection-symmetry

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The point $P(a,b)$ in the $xy$ -plane is first rotated counterclockwise by $90^\circ$ around the point $(1,5)$ and then reflected about the line $y = -x$ . The image of $P$ after these two transformations is at $(-6,3)$ . What is $b - a ?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 미지의 점 $P(a, b)$ 가 있습니다. 먼저 점 $(1, 5)$ 를 중심으로 반시계방향 $90^\circ$ 회전하고, 그 다음 직선 $y = -x$ 에 대해 대칭. 두 변환 후의 점이 $(-6, 3)$ 이 됨. $b - a$ 를 구하세요.

주어진 것: 원래 점 $P = (a, b)$ — 미지; 변환 1: $C = (1, 5)$ 중심 반시계방향 $90^\circ$ 회전; 변환 2: 직선 $y = -x$ 에 대한 대칭 — $(x, y) \to (-y, -x)$; 두 변환 후의 점: $(-6, 3)$; 선택지: (A) $1$, (B) $3$, (C) $5$, (D) $7$, (E) $9$

구하는 것: $b - a$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #11(거꾸로 풀기): 끝 상태가 주어지고 처음을 묻는 전형적 문제 — 대칭 역, 회전 역 순으로 풀기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 각 변환의 역은 독립적 1단계. 도구 #1(그림 그리기): 좌표평면에 네 점(최종, 회전 직후, 회전 중심 $C$, $P$)을 표시해 부호 실수 방지. 도구 #3(가능성 지우기): 답이 모두 홀수 $\{1,3,5,7,9\}$ — $a, b$ 가 정수면 $b-a$ 의 홀짝성으로 sanity check 가능.

실행 — 정답: D

#11 거꾸로 풀기 8.G.A.1 단계 1

$y = -x$ 대칭 되돌리기.
대칭 규칙은 $(x, y) \mapsto (-y, -x)$ 이고 대칭은 자기 역.
$(-6, 3)$ 에 다시 적용: $(-6, 3) \mapsto (-3, 6)$.
따라서 회전 직후(대칭 전) 점은 $(-3, 6)$.

$$(-6, 3) \xrightarrow{y=-x\text{ 대칭}} (-(3),\,-(-6)) = (-3, 6)$$

💡 8학년 대칭 — 같은 직선에 두 번 대칭하면 원래로 복귀.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.3 단계 2

$C = (1, 5)$ 중심 반시계방향 $90^\circ$ 회전 되돌리기 — 즉 $(-3, 6)$ 을 $C$ 중심 시계방향 $90^\circ$ 회전.
단계 1: $C$ 를 원점에 오게 평행이동.
$(-3, 6) - (1, 5) = (-4, 1)$.

$$(-3, 6) - (1, 5) = (-4, 1)$$

💡 8학년 평행이동 — 회전 중심을 원점으로 옮겨 간단한 회전 규칙 사용.

#11 거꾸로 풀기 8.G.A.1 단계 3

원점 중심 시계방향 $90^\circ$ 회전 규칙은 $(x, y) \mapsto (y, -x)$.
$(-4, 1)$ 에 적용: $(-4, 1) \mapsto (1, 4)$.

$$(-4, 1) \xrightarrow{\text{원점 90° CW}} (1, -(-4)) = (1, 4)$$

💡 8학년 회전 — $90^\circ$ CW 는 $(x, y) \to (y, -x)$.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.A.3 단계 4

$C = (1, 5)$ 를 다시 더해 원래 좌표계로 복귀.
$(1, 4) + (1, 5) = (2, 9)$.
따라서 $P = (a, b) = (2, 9)$, $a = 2$, $b = 9$.

$$(1, 4) + (1, 5) = (2, 9) = (a, b)$$

💡 8학년 평행이동 — 이동을 되돌려 원래 좌표계로.

#3 가능성 지우기 4.NBT.B.4 단계 5

$b - a = 9 - 2 = 7$.
선택지와 매칭: $7$ 은 (D).

$$b - a = 9 - 2 = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 4학년 뺄셈 — $9 - 2 = 7$, 정확히 (D).

[1] #11 8.G.A.1 $y = -x$ 대칭 되돌리기. 대칭 규칙은 $(x, y) \mapsto (-y, -x)$ 이고 대칭은 자기 역. $(-6, 3)$ 에 다시 적

[2] #7 8.G.A.3 $C = (1, 5)$ 중심 반시계방향 $90^\circ$ 회전 되돌리기 — 즉 $(-3, 6)$ 을 $C$ 중심 시계방향 $90^\circ$

[3] #11 8.G.A.1 원점 중심 시계방향 $90^\circ$ 회전 규칙은 $(x, y) \mapsto (y, -x)$. $(-4, 1)$ 에 적용: $(-4, 1)

[4] #7 8.G.A.3 $C = (1, 5)$ 를 다시 더해 원래 좌표계로 복귀. $(1, 4) + (1, 5) = (2, 9)$. 따라서 $P = (a, b) = (

[5] #3 4.NBT.B.4 $b - a = 9 - 2 = 7$. 선택지와 매칭: $7$ 은 (D).

검토

합리성 확인: $P = (2, 9)$ 에서 정방향 변환을 적용해 확인. $-C$ 평행이동: $(2, 9) - (1, 5) = (1, 4)$. 원점 중심 $90^\circ$ CCW 회전 (규칙 $(x, y) \to (-y, x)$): $(1, 4) \to (-4, 1)$. $+C$ 평행이동: $(-4, 1) + (1, 5) = (-3, 6)$. $y = -x$ 대칭: $(-3, 6) \to (-6, 3)$. 최종 $(-6, 3)$ 일치 $\checkmark$. $b - a = 7$ 확정.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기): 다섯 선택지 $\{1, 3, 5, 7, 9\}$. 두 변환 모두 등거리(isometry)이므로 $P$ 의 $C$ 까지 거리는 변환 후 점의 $C'$(C 의 대칭상) 까지 거리와 같음. 각 후보 $(a, b)$ 쌍을 정방향으로 돌려 $(-6, 3)$ 이 나오는지 확인 — 도구 #3 으로 4 개 탈락, (D) 확정. 거꾸로 풀기보다 덜 깔끔하지만 기계적.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.1 회전·대칭·평행이동의 성질을 실험적으로 확인 ($y = -x$ 대칭 규칙 $(x,y)\to(-y,-x)$ 와 원점 중심 $90^\circ$ CW 회전 규칙 $(x,y)\to(y,-x)$ 적용.)
8.G.A.3 확대·평행이동·회전·대칭이 좌표에 미치는 영향 설명 (회전 중심까지 평행이동, 회전, 다시 평행이동의 3단계 처리.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 능숙한 덧셈·뺄셈 ($9 - 2 = 7$ 과 $\pm(1, 5)$ 좌표 이동 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 변환 규칙만 알면 풀 수 있어요 — $y = -x$ 대칭은 자기 역이라 한 번 더 적용해 회전 직후 점을 복원, 그 다음 평행이동 + $90^\circ$ CW 회전 + 평행이동으로 $P$ 복원. $(-6, 3) \to (-3, 6) \to (2, 9) = (a, b)$, $b - a = 7$, 답 (D).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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