AMC 10 · 2022 · #10
학년 8 geometry-2d문제
Daniel finds a rectangular index card and measures its diagonal to be centimeters.
Daniel then cuts out equal squares of side cm at two opposite corners of the index card and measures the distance between the two closest vertices of these squares to be centimeters, as shown below. What is the area of the original index card?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 직사각형 카드의 대각선 길이가 $8$ cm. 대각선으로 마주 보는 두 모서리에서 $1$ cm × $1$ cm 정사각형을 잘라낸 뒤, 두 잘린 자국의 가장 가까운 꼭짓점 사이 거리가 $4\sqrt{2}$ cm. 원래 직사각형의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 원래 직사각형의 가로 $l$, 세로 $w$, 대각선 $8$ cm; 대각선으로 마주 보는 두 모서리에서 각각 $1 \times 1$ 정사각형 제거; 잘린 자국의 안쪽 두 꼭짓점 사이 거리 $4\sqrt{2}$ cm; 선택지: (A) $14$, (B) $10\sqrt{2}$, (C) $16$, (D) $12\sqrt{2}$, (E) $18$
구하는 것: 원래 직사각형의 넓이 $lw$
이해
문제 재정리: 직사각형 카드의 대각선 길이가 $8$ cm. 대각선으로 마주 보는 두 모서리에서 $1$ cm × $1$ cm 정사각형을 잘라낸 뒤, 두 잘린 자국의 가장 가까운 꼭짓점 사이 거리가 $4\sqrt{2}$ cm. 원래 직사각형의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 원래 직사각형의 가로 $l$, 세로 $w$, 대각선 $8$ cm; 대각선으로 마주 보는 두 모서리에서 각각 $1 \times 1$ 정사각형 제거; 잘린 자국의 안쪽 두 꼭짓점 사이 거리 $4\sqrt{2}$ cm; 선택지: (A) $14$, (B) $10\sqrt{2}$, (C) $16$, (D) $12\sqrt{2}$, (E) $18$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기
도구 #1(그림 그리기) — 잘리는 한 모서리를 원점 $(0,0)$, 마주 보는 모서리를 $(l, w)$ 로 좌표평면에 올립니다. 잘린 자국의 안쪽 꼭짓점은 $(1, 1)$ 과 $(l-1, w-1)$. 그림에서 두 길이 정보가 곧장 보입니다 — 원래 대각선은 $(0,0)\to(l,w)$, 안쪽 꼭짓점 사이 선분은 $(1,1)\to(l-1,w-1)$. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 두 길이 정보를 피타고라스 정리(거리 공식)로 각각 식으로. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 두 식을 $(l+w)^2 = l^2 + 2lw + w^2$ 항등식으로 결합해 $l, w$ 를 개별적으로 풀지 않고도 곧장 $lw$ 만 뽑아냅니다.
실행 — 정답: E
6.G.A.3 단계 1 - 직사각형을 $(0,0), (l, 0), (l, w), (0, w)$ 로 좌표평면에 배치.
- 잘리는 모서리는 $(0,0)$ 과 $(l, w)$, 그 안쪽 꼭짓점은 $(1, 1)$ 과 $(l-1, w-1)$.
💡 직사각형을 좌표에 올리면 각 길이가 피타고라스 식으로 바뀝니다.
8.G.B.7 단계 2 - 직사각형 대각선은 다리 $l, w$ 인 직각삼각형의 빗변.
- 대각선 $=8$ 에 피타고라스 정리 적용.
💡 가로·세로·대각선은 직각삼각형 — 피타고라스의 정석.
8.G.B.8 단계 3 - 안쪽 두 꼭짓점 사이 선분의 수평 변화 $(l-1)-1 = l-2$, 수직 변화 $(w-1)-1 = w-2$.
- 길이 $4\sqrt{2}$ 에 거리 공식.
💡 평면 위 두 점 사이 거리도 좌표 차이에 대한 피타고라스 계산.
8.EE.C.8 단계 4 - 두 번째 식 전개 — $(l-2)^2 + (w-2)^2 = l^2 - 4l + 4 + w^2 - 4w + 4 = (l^2+w^2) - 4(l+w) + 8 = 32$.
- 첫 식 $l^2+w^2 = 64$ 대입.
💡 전개·대입으로 두 식이 $l+w$ 에 대한 한 줄짜리 일차식으로 무너집니다.
7.EE.A.1 단계 5 - 항등식 $(l+w)^2 = l^2 + 2lw + w^2$ 로 $l, w$ 를 따로 풀지 않고 $lw$ 만 직접.
- $l+w=10$, $l^2+w^2=64$ 대입.
💡 합의 제곱 항등식이 $(l+w)^2$ 와 $l^2+w^2$ 를 곧장 $lw$ (넓이) 로 바꿔줍니다.
6.G.A.3 직사각형을 $(0,0), (l, 0), (l, w), (0, w)$ 로 좌표평면에 배치. 잘리는 모서리는 $(0,0)$ 과 $(l, w)$, 그 8.G.B.7 직사각형 대각선은 다리 $l, w$ 인 직각삼각형의 빗변. 대각선 $=8$ 에 피타고라스 정리 적용. 8.G.B.8 안쪽 두 꼭짓점 사이 선분의 수평 변화 $(l-1)-1 = l-2$, 수직 변화 $(w-1)-1 = w-2$. 길이 $4\sqrt{2}$ 에 거 8.EE.C.8 두 번째 식 전개 — $(l-2)^2 + (w-2)^2 = l^2 - 4l + 4 + w^2 - 4w + 4 = (l^2+w^2) - 4(l+w 7.EE.A.1 항등식 $(l+w)^2 = l^2 + 2lw + w^2$ 로 $l, w$ 를 따로 풀지 않고 $lw$ 만 직접. $l+w=10$, $l^2+w^ 검토
합리성 확인: 역으로 확인 — $l+w=10, lw=18$ 에서 이차방정식 $t^2 - 10t + 18 = 0$ 의 해는 $t = 5 \pm \sqrt{7}$, 즉 $\{l, w\} = \{5+\sqrt{7}, 5-\sqrt{7}\}$. 대각선 점검 — $l^2 + w^2 = (5+\sqrt{7})^2 + (5-\sqrt{7})^2 = (25+10\sqrt{7}+7) + (25-10\sqrt{7}+7) = 64$ ✓. 안쪽 거리 점검 — $(l-2)^2 + (w-2)^2 = (3+\sqrt{7})^2 + (3-\sqrt{7})^2 = 32$ ✓. 넓이 $18$ 은 (E). 다른 보기 — $14$ 는 전개에서 $+8$ 을 놓친 결과, $16$ 은 부호 실수.
대안 접근: 도구 #1 + 도구 #8(단위 살펴보기) — 안쪽 선분이 원래 대각선과 같은 방향이라는 점을 이용. 하지만 $(1,1)$ 만큼 안쪽으로 미는 벡터의 대각선 방향 성분은 $l \ne w$ 일 때 두 끝에서 정확히 $\sqrt{2}$ 가 아니므로 결국 대수가 필요. 위 대입 경로가 가장 깔끔.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.G.A.3꼭짓점 좌표가 주어진 다각형을 좌표평면에 그리기 (직사각형 $(0,0), (l,0), (l,w), (0,w)$ 와 안쪽 꼭짓점 $(1,1), (l-1, w-1)$ 을 좌표에 배치.)8.G.B.7피타고라스 정리로 직각삼각형의 변 길이 구하기 (대각선 $8$ 을 변과 연결: $l^2 + w^2 = 64$.)8.G.B.8피타고라스 정리로 좌표평면 두 점 사이 거리 구하기 ($(1,1)$ 과 $(l-1, w-1)$ 사이 거리: $(l-2)^2 + (w-2)^2 = 32$.)8.EE.C.8연립일차방정식 분석·풀기 (전개한 두 번째 식에서 $l^2+w^2=64$ 를 대입해 $l+w = 10$ 추출.)7.EE.A.1연산 성질로 일차식 더하기·빼기·인수분해·전개 ($(l+w)^2 = l^2 + 2lw + w^2$ 항등식으로 $l+w$ 와 $l^2+w^2$ 에서 $lw = 18$ 끌어내기.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 피타고라스와 대수만 알면 풀 수 있어요 — 직사각형을 좌표에 올려 $l^2+w^2=64$ 와 $(l-2)^2+(w-2)^2=32$ 를 쓰면 $l+w=10$, 합의 제곱 $(l+w)^2 = l^2+w^2+2lw$ 로 넓이 $lw = 18$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 피타고라스와 대수만 알면 풀 수 있어요 — 직사각형을 좌표에 올려 $l^2+w^2=64$ 와 $(l-2)^2+(w-2)^2=32$ 를 쓰면 $l+w=10$, 합의 제곱 $(l+w)^2 = l^2+w^2+2lw$ 로 넓이 $lw = 18$.