AMC 10 · 2022 · #11

학년 8 arithmetic

exponentspolynomial-roots convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Ted mistakenly wrote $2^m\cdot\sqrt{\frac{1}{4096}}$ as $2\cdot\sqrt[m]{\frac{1}{4096}}.$ What is the sum of all real numbers $m$ for which these two expressions have the same value?

$\textbf{(A) } 5 \qquad \textbf{(B) } 6 \qquad \textbf{(C) } 7 \qquad \textbf{(D) } 8 \qquad \textbf{(E) } 9$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Ted 는 $2^{m} \cdot \sqrt{\frac{1}{4096}}$ 라고 써야 했는데 실수로 $2 \cdot \sqrt[m]{\frac{1}{4096}}$ 라고 썼습니다. 어떤 실수 $m$ 에 대해 이 두 식의 값이 같아질까요? 그런 모든 $m$ 을 찾아서 그 합을 구하세요.

주어진 것: 원래 식: $2^{m} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{4096}}$; Ted 의 실수 식: $2 \cdot \sqrt[m]{\dfrac{1}{4096}}$; $4096 = 2^{12}$ 이므로 $\dfrac{1}{4096} = 2^{-12}$; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: 두 식을 같게 만드는 모든 실수 $m$ 의 합

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #11 거꾸로 풀기, #3 가능성 지우기

문제는 "두 식이 같다" 는 방정식을 위장한 모습. 도구 #5(패턴 찾기)로 $4096 = 2^{12}$ 임을 알아채면 모든 값을 밑 $2$ 사다리 위에 올려놓을 수 있어 근호가 깔끔한 지수로 바뀝니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 양변 지수를 같다고 놓으면 $m$ 에 대한 깔끔한 이차방정식이 나옵니다. 두 근을 따로 구해 더해도 되지만, 도구 #11(거꾸로 풀기)로 비에트 공식 $-b/a$ 를 써서 풀지 않고 곧장 답을 얻을 수 있습니다. 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지와 매칭.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 8.EE.A.1 단계 1

패턴 포착: $4096 = 2^{12}$ 은 $2$ 의 거듭제곱.
역수도 $\dfrac{1}{4096} = 2^{-12}$ 로 바꿉니다.
이로써 모든 근호와 지수가 같은 밑 $2$ 위로 올라옵니다.

$$4096 = 2^{12} \;\Rightarrow\; \dfrac{1}{4096} = 2^{-12}$$

💡 8학년 정수 지수 법칙으로 어색한 분수를 깔끔한 $2^{-12}$ 로 교체.

#5 패턴 찾기 8.EE.A.2 단계 2

근호를 분수 지수로 변환: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $\sqrt[m]{x} = x^{1/m}$.
양변은 $2^{m} \cdot (2^{-12})^{1/2}$ 와 $2 \cdot (2^{-12})^{1/m}$ 이 됩니다.

$$2^{m} \cdot 2^{-12 \cdot \frac{1}{2}} = 2^{1} \cdot 2^{-12 \cdot \frac{1}{m}}$$

💡 근호와 분수 지수는 같은 개념의 두 표기 — 8학년에서 자유롭게 바꾸어 씁니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.1 단계 3

각 변에서 $a^{b} \cdot a^{c} = a^{b+c}$ 로 지수를 모읍니다.
좌변은 $2^{m-6}$, 우변은 $2^{1 - 12/m}$.
양변 밑이 같으므로 지수가 같아야 합니다.

$$2^{m-6} = 2^{1 - \frac{12}{m}} \;\Rightarrow\; m - 6 = 1 - \dfrac{12}{m}$$

💡 같은 밑의 같은 거듭제곱은 지수도 같다 — 8학년 지수 방정식의 정석.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

양변에 $m$ 을 곱해 분수를 없애고 ($m \neq 0$ 이므로 가능), 모든 항을 한쪽으로 모아 표준 이차방정식 형태로 정리.

$$m(m - 6) = m - 12 \;\Rightarrow\; m^{2} - 6m - m + 12 = 0 \;\Rightarrow\; m^{2} - 7m + 12 = 0$$

💡 양변 곱하기는 8학년 일차방정식 처리 방법, 그 결과 다항식이 곧장 모습을 드러냅니다.

#11 거꾸로 풀기 8.EE.C.7 단계 5

도구 #11(거꾸로 풀기): 우리가 원하는 건 두 근의 합이지 각 근이 아님.
이차방정식 $am^{2} + bm + c = 0$ 의 근의 합은 $-b/a$ (비에트).
여기서 $a = 1, b = -7$ 이므로 합 $= 7$.
안전점검을 위해 인수분해: $m^{2} - 7m + 12 = (m-3)(m-4)$, 근은 $3$ 과 $4$, 합 $3 + 4 = 7$.
일치.

$$\text{근의 합} = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-7}{1} = 7 \quad\big[(m-3)(m-4)=0,\; 3+4=7\big]$$

💡 근을 구하지 않고 이차방정식 계수에서 근의 합으로 "거꾸로" 도달 — 훨씬 빠른 길.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 6

$7$ 을 선택지와 매칭: $7$ 은 (C).
나머지 선택지($5, 6, 8, 9$)는 다른 이차방정식 계수가 필요하므로 불일치.

$$\text{합} = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 계산한 답을 다섯 선택지와 즉시 대조하는 표준 객관식 마무리.

[1] #5 8.EE.A.1 패턴 포착: $4096 = 2^{12}$ 은 $2$ 의 거듭제곱. 역수도 $\dfrac{1}{4096} = 2^{-12}$ 로 바꿉니다. 이로써

[2] #5 8.EE.A.2 근호를 분수 지수로 변환: $\sqrt{x} = x^{1/2}$, $\sqrt[m]{x} = x^{1/m}$. 양변은 $2^{m} \cdot (

[3] #13 8.EE.A.1 각 변에서 $a^{b} \cdot a^{c} = a^{b+c}$ 로 지수를 모읍니다. 좌변은 $2^{m-6}$, 우변은 $2^{1 - 12/m}

[4] #13 8.EE.C.7 양변에 $m$ 을 곱해 분수를 없애고 ($m \neq 0$ 이므로 가능), 모든 항을 한쪽으로 모아 표준 이차방정식 형태로 정리.

[5] #11 8.EE.C.7 도구 #11(거꾸로 풀기): 우리가 원하는 건 두 근의 합이지 각 근이 아님. 이차방정식 $am^{2} + bm + c = 0$ 의 근의 합은

[6] #3 6.EE.B.5 $7$ 을 선택지와 매칭: $7$ 은 (C). 나머지 선택지($5, 6, 8, 9$)는 다른 이차방정식 계수가 필요하므로 불일치.

검토

합리성 확인: 두 근을 원래 식에 대입해 확인. $m = 3$: 좌 $= 2^{3} \cdot \sqrt{2^{-12}} = 8 \cdot 2^{-6} = 8/64 = 1/8$; 우 $= 2 \cdot \sqrt[3]{2^{-12}} = 2 \cdot 2^{-4} = 2/16 = 1/8$. 일치. $m = 4$: 좌 $= 2^{4} \cdot 2^{-6} = 16/64 = 1/4$; 우 $= 2 \cdot \sqrt[4]{2^{-12}} = 2 \cdot 2^{-3} = 2/8 = 1/4$. 일치. 두 근 모두 실수이며 유효, 합 $3 + 4 = 7$ 이 맞고 답은 (C).

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 작은 정수 $m$ 부터 시도: $m = 3$ — 양변 $1/8$. $m = 4$ — 양변 $1/4$. $m = 5$ — 좌 $= 32/64 = 1/2$, 우 $= 2 \cdot 2^{-12/5} \approx 0.379$, 불일치. 따라서 정수 근은 $3, 4$. 합 $7$. 이차방정식을 세우지 않고도 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.EE.A.1 정수 지수의 성질 알고 적용하기 ($4096 = 2^{12}$, $\dfrac{1}{4096} = 2^{-12}$ 로 다시 쓰고 양변에서 $2^{m} \cdot 2^{-6} = 2^{m-6}$ 처럼 지수를 모으는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근 및 세제곱근 기호로 해 표현하기 ($\sqrt{\,\cdot\,}$ 와 $\sqrt[m]{\,\cdot\,}$ 를 분수 지수 $\,\cdot\,^{1/2}$, $\,\cdot\,^{1/m}$ 로 바꾸는 데 사용.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀기 ($m - 6 = 1 - 12/m$ 양변에 $m$ 을 곱해 분수를 없애고, 결과 이차방정식 $m^{2} - 7m + 12 = 0$ 의 계수에서 비에트 공식 $-b/a$ 로 근의 합을 읽어내는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 (후보 근 $m = 3, 4$ 를 원래 식에 대입해 검증하고, 그 합을 다섯 선택지와 비교하는 마무리에 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 정수 지수 법칙만 알면 풀 수 있어요! 모든 $4096$ 을 $2^{12}$ 로 바꿔 양변 지수를 같다고 놓으면 깔끔한 이차방정식 $m^{2} - 7m + 12 = 0$ 이 나오고, 근의 합은 $-b/a = 7$ 이 바로 답이에요.