AMC 10 · 2022 · #12

학년 6 arithmetic

logical-deductionsystems-of-equationscasework caseworkconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

On Halloween $31$ children walked into the principal's office asking for candy. They
can be classified into three types: Some always lie; some always tell the truth; and
some alternately lie and tell the truth. The alternaters arbitrarily choose their first
response, either a lie or the truth, but each subsequent statement has the opposite
truth value from its predecessor. The principal asked everyone the same three
questions in this order.

"Are you a truth-teller?" The principal gave a piece of candy to each of the $22$
children who answered yes.

"Are you an alternater?" The principal gave a piece of candy to each of the $15$
children who answered yes.

"Are you a liar?" The principal gave a piece of candy to each of the $9$ children who
answered yes.

How many pieces of candy in all did the principal give to the children who always
tell the truth?

$\textbf{(A) } 7 \qquad \textbf{(B) } 12 \qquad \textbf{(C) } 21 \qquad \textbf{(D) } 27 \qquad \textbf{(E) } 31$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $31$ 명의 아이가 세 종류로 나뉩니다 — 항상 참만 말하는 참말쟁이, 항상 거짓만 말하는 거짓말쟁이, 그리고 참과 거짓을 번갈아 말하는 교대형(처음은 참이든 거짓이든 시작 가능). 교장 선생님이 모든 아이에게 같은 순서로 세 가지 예/아니오 질문을 합니다: (1) 너는 참말쟁이니? (2) 너는 교대형이니? (3) 너는 거짓말쟁이니? 각 질문에서 "예" 라 답한 아이마다 사탕 한 개를 받습니다. 세 "예" 의 수는 차례로 $22, 15, 9$. 참말쟁이들에게 간 사탕은 모두 몇 개일까요?

주어진 것: 전체 아이 수: $31$; "예" 답 수: 질문 1 -> $22$, 질문 2 -> $15$, 질문 3 -> $9$; 참말쟁이는 항상 참, 거짓말쟁이는 항상 거짓, 교대형은 번갈아 답하고 시작은 자유

구하는 것: 참말쟁이들이 받은 사탕의 총 개수

이해

계획

주요 도구: #4 격자 논리표

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

도구 #4(격자 논리표)가 딱 맞는 그림: 행은 네 종류 아이(참말쟁이 T, 거짓말쟁이 L, 참으로 시작하는 교대형 $A_t$, 거짓으로 시작하는 교대형 $A_\ell$), 열은 세 질문 Q1, Q2, Q3 인 작은 표. 도구 #2(빠짐없이 나열)로 행마다 규칙을 기계적으로 적용해 예/아니오를 채웁니다. 도구 #7(쪼개기)로 일을 (a) 표 만들기, (b) "예" 수를 방정식으로 옮기기, (c) 풀기 세 단계로 나눕니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 식끼리 빼면 다른 미지수를 건드리지 않고 참말쟁이 수만 곧장 분리. 마지막에 참말쟁이 행 "예-아니오-아니오" 에서 한 명당 사탕 1 개 라는 사실로 답 도출.

실행 — 정답: A

#4 격자 논리표 K.MD.B.3 단계 1

표 작성(도구 #4).
행: T 참말쟁이, L 거짓말쟁이, $A_t$ 참으로 시작 교대형, $A_\ell$ 거짓으로 시작 교대형.
열: Q1, Q2, Q3.
각 칸은 "이 아이의 입에서 나오는 답이 예인가 아니오인가".
참말쟁이는 사실대로, 거짓말쟁이는 부정해서 말합니다.
행마다 순서대로 채우면 응답 표 완성.

$$\begin{array}{c|ccc} & Q1 & Q2 & Q3 \\ \hline T & \text{예} & \text{아니오} & \text{아니오} \\ L & \text{예} & \text{예} & \text{아니오} \\ A_t & \text{아니오} & \text{아니오} & \text{아니오} \\ A_\ell & \text{예} & \text{예} & \text{예} \end{array}$$

💡 유치원 수준의 분류: 아이들을 종류로 나누고 행마다 "예" 를 세기. 어려운 건 규칙을 한 줄씩 소리 내어 읽는 것뿐.

#2 빠짐없이 나열하기 K.MD.B.3 단계 2

가장 헷갈리는 행 $A_\ell$ (거짓으로 시작하는 교대형)을 직접 확인.
Q1 "너 참말쟁이?" — 사실은 아니오인데 이 아이는 첫 답을 거짓으로 하므로 "예".
Q2 "너 교대형?" — 사실은 예이고 이번 답은 참 차례이므로 "예".
Q3 "너 거짓말쟁이?" — 사실은 아니오인데 다시 거짓 차례라 "예".
세 번 모두 "예".

$$A_\ell: \;\text{예}, \text{예}, \text{예}$$

💡 규칙 따라 한 질문씩 예/아니오를 짚어가기 — 유치원 분류, 아직 셈은 없음.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.6 단계 3

"예" 열을 읽어 식으로 옮기기.
Q1 의 "예" 는 T, L, $A_\ell$ 행에서 나옴 -> $T + L + A_\ell = 22$.
Q2 의 "예" 는 L, $A_\ell$ -> $L + A_\ell = 15$.
Q3 의 "예" 는 $A_\ell$ 만 -> $A_\ell = 9$.

$$T + L + A_\ell = 22, \quad L + A_\ell = 15, \quad A_\ell = 9$$

💡 각 열의 "예" 개수 = "그 열에서 예라 답한 행들의 합" — 6학년 식 세우기로 표가 세 식이 됨.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 4

도구 #13(대수): 가장 깔끔한 한 수, 식 1 에서 식 2 를 빼면 $L$ 과 $A_\ell$ 이 한꺼번에 소거되고 참말쟁이 수 $T$ 만 남습니다.

$$(T + L + A_\ell) - (L + A_\ell) = 22 - 15 \;\Rightarrow\; T = 7$$

💡 한 번의 뺄셈으로 $T$ 만 분리 — 6학년 방정식 풀이에서 다른 미지수는 건드릴 필요 없음.

#4 격자 논리표 3.OA.A.3 단계 5

사탕 수 세기.
표의 T 행: 예-아니오-아니오 이므로 참말쟁이 한 명은 정확히 사탕 $1$ 개를 받음(Q1 에서만).
참말쟁이 $T = 7$ 명이므로 총 사탕 $= 7 \times 1 = 7$.

$$\text{참말쟁이 사탕} = T \times 1 = 7 \times 1 = 7$$

💡 한 명당 사탕 수 × 참말쟁이 수 — 3학년 곱셈.

#3 가능성 지우기 K.MD.B.3 단계 6

$7$ 을 선택지와 매칭: (A).

$$\text{답} = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 마지막 비교 — 다섯 선택지 중 가장 작은, 깔끔한 수.

[1] #4 K.MD.B.3 표 작성(도구 #4). 행: T 참말쟁이, L 거짓말쟁이, $A_t$ 참으로 시작 교대형, $A_\ell$ 거짓으로 시작 교대형. 열: Q1,

[2] #2 K.MD.B.3 가장 헷갈리는 행 $A_\ell$ (거짓으로 시작하는 교대형)을 직접 확인. Q1 "너 참말쟁이?" — 사실은 아니오인데 이 아이는 첫 답을 거

[3] #7 6.EE.B.6 "예" 열을 읽어 식으로 옮기기. Q1 의 "예" 는 T, L, $A_\ell$ 행에서 나옴 -> $T + L + A_\ell = 22$. Q2

[4] #13 6.EE.B.7 도구 #13(대수): 가장 깔끔한 한 수, 식 1 에서 식 2 를 빼면 $L$ 과 $A_\ell$ 이 한꺼번에 소거되고 참말쟁이 수 $T$ 만

[5] #4 3.OA.A.3 사탕 수 세기. 표의 T 행: 예-아니오-아니오 이므로 참말쟁이 한 명은 정확히 사탕 $1$ 개를 받음(Q1 에서만). 참말쟁이 $T = 7$

[6] #3 K.MD.B.3 $7$ 을 선택지와 매칭: (A).

검토

합리성 확인: 전체 인원으로 점검. 식에서 $A_\ell = 9$, $L = 15 - 9 = 6$, $T = 7$, 따라서 $A_t = 31 - 7 - 6 - 9 = 9$. 시작 종류별 교대형이 각각 $9$ 명 — 자연스러움. 각 열 "예" 다시 합산: Q1 $T + L + A_\ell = 7 + 6 + 9 = 22$ ✓. Q2 $L + A_\ell = 6 + 9 = 15$ ✓. Q3 $A_\ell = 9$ ✓. 세 값 모두 주어진 데이터와 일치, 모형이 일관됨.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): $T$ 를 직접 구하지 않고 차이 $Q1 - Q2 = 22 - 15 = 7$ 이 "Q1 은 예, Q2 는 아니오" 인 행의 수를 정확히 센다는 점에 주목. 표를 보면 그 패턴은 참말쟁이 행뿐이므로 $T = 7$, 사탕도 $7$. 한 번의 보완적 뺄셈으로 같은 답 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

K.MD.B.3 주어진 범주로 사물을 분류하고 각 범주의 개수 세기 ($31$ 명의 아이를 네 행동 범주(T, L, $A_t$, $A_\ell$) 로 나누고 행마다 예/아니오 격자를 채우는 데 사용.)
3.OA.A.3 100 이내의 곱셈·나눗셈 문장제 풀기 (참말쟁이 수 ($7$) × 한 명당 받는 사탕 수 ($1$) = 총 사탕 수 ($7$) 계산에 사용.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 식 세우기로 문제 풀기 ($T, L, A_\ell$ 을 각 행동 인원 수의 변수로 두고 각 "예" 열을 합 식으로 옮기는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실세계 문제 해결 ($L + A_\ell = 15$ 를 $T + L + A_\ell = 22$ 에서 빼서 $T = 7$ 을 한 번에 분리하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 식 세우기만 알면 풀 수 있어요! 네 종류 아이의 예/아니오 작은 표 하나 만들고, 세 열의 "예" 수를 식으로 옮긴 뒤 $22 - 15$ 한 번만 빼면 참말쟁이가 $7$ 명이라는 답이 곧장 나와요. 참말쟁이는 "예" 를 한 번만 하니까 사탕도 정확히 $7$ 개.