AMC 10 · 2022 · #14
학년 7 counting문제
How many ways are there to split the integers through into pairs such that in each pair, the greater number is at least times the lesser number?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정수 $1, 2, 3, \ldots, 14$ 를 $7$ 개의 쌍으로 나누되, 모든 쌍에서 큰 수가 작은 수의 $2$ 배 이상이 되도록 합니다. 이렇게 만들 수 있는 짝짓기의 가짓수를 구하세요.
주어진 것: 정수 $1$ 부터 $14$ 까지 각각 한 번씩 사용; 총 $7$ 개의 순서 없는 쌍; 모든 쌍 $(a, b)$ ($a < b$) 에 대해 $b \ge 2a$; 선택지: (A) $108$, (B) $120$, (C) $126$, (D) $132$, (E) $144$
구하는 것: 조건을 만족하는 $7$ 개 쌍 묶기 경우의 수
이해
문제 재정리: 정수 $1, 2, 3, \ldots, 14$ 를 $7$ 개의 쌍으로 나누되, 모든 쌍에서 큰 수가 작은 수의 $2$ 배 이상이 되도록 합니다. 이렇게 만들 수 있는 짝짓기의 가짓수를 구하세요.
주어진 것: 정수 $1$ 부터 $14$ 까지 각각 한 번씩 사용; 총 $7$ 개의 순서 없는 쌍; 모든 쌍 $(a, b)$ ($a < b$) 에 대해 $b \ge 2a$; 선택지: (A) $108$, (B) $120$, (C) $126$, (D) $132$, (E) $144$
계획
주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #16 관점 바꾸기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기
도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 질문을 다시 짭니다: "$14$ 개를 $2$ 배 규칙으로 짝짓기" 대신 먼저 더 쉬운 구조 질문 "큰 수 둘이 한 쌍이 될 수 있나?" 를 묻기. 답이 "아니오" (1단계에서 확인) 이면 문제는 $L = \{1, \ldots, 7\}$ 과 $G = \{8, \ldots, 14\}$ 사이의 일대일 대응으로 축소돼 탐색 공간이 반으로 줄어듭니다. 도구 #2(빠짐없이 나열)로 각 $a \in L$ 의 합법 짝 $b$ 목록을 표로 만듭니다. 도구 #5(패턴)로 가장 제약이 심한 $a$ 부터 짝을 배정하고 곱셈 원리로 합산. 도구 #16(관점 바꾸기)은 점검 각도: 마지막 남은 작은 $a$ 들($a \le 4$) 은 제약이 모두 자동 충족되어 $4!$ 가 한 덩어리로 떨어집니다. 도구 #3 으로 최종 정수를 선택지와 매칭.
실행 — 정답: E
6.NS.C.7 단계 1 - 도구 #9(더 쉬운 문제): 먼저 더 쉬운 구조 질문 — 한 쌍의 두 수가 모두 $G = \{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\}$ 에서 올 수 있나?
- $G$ 의 임의 $x < y$ 에 대해 가장 작은 경우 $(8, 9)$ 도 $9 < 16 = 2 \times 8$.
- 일반적으로 $x \ge 8$ 이면 $2x \ge 16 > y$ 가 모든 $y \le 14$ 에 대해 성립.
- 따라서 $G$ 안에서 짝을 이루는 쌍은 없음.
- 그러므로 $G$ 의 $7$ 개 수가 각각 한 쌍의 큰 수가 되어야 하고, $L = \{1, \ldots, 7\}$ 의 $7$ 개 수가 각각 한 쌍의 작은 수.
- 문제는 $f(a) \ge 2a$ 를 만족하는 $f : L \to G$ 일대일 대응의 수로 축소.
💡 6학년 수 비교: $2x$ 와 가능한 최대 $y$ 를 비교만 해도 $G$ 내부 쌍을 한 번에 배제.
6.NS.C.7 단계 2 - 도구 #2(빠짐없이 나열): 각 $a \in L$ 에 대해 $b \ge 2a$ 인 $G$ 의 원소를 나열.
- $a$ 가 작을수록 짝 후보가 많고, $a = 7$ 이 가장 빡빡 — $14$ 만 가능.
💡 줄 별로 짝 후보를 나열하면 제약 구조가 한눈에 보이고, 병목은 $L$ 의 꼬리 쪽에 있음을 파악.
7.SP.C.8 단계 3 - 도구 #5(패턴): 제약이 가장 심한 $a$ 부터 배정.
- $a = 7$ 은 단 한 가지($14$), $a = 6$ 은 남은 $\{12, 13\}$ 중 하나(2 가지), $a = 5$ 의 경우 원래 합법 집합 $\{10, 11, 12, 13, 14\}$ 에서 $14$ ($7$ 이 가져감) 와 $6$ 이 가져간 하나를 빼면 $5 - 2 = 3$ 가지 — $6$ 이 어느 쪽을 골랐든 동일.
💡 빡빡한 것부터 배정하면 이후 카운트가 명확해짐 — 7학년 복합 사건의 조직적 나열.
7.SP.C.8 단계 4 - $7, 6, 5$ 까지 배정 후 $G$ 에서 세 수가 빠지고 $\{8, 9, 10, 11, 12, 13\}$ 의 어떤 네 원소 부분집합 $G''$ 가 남음.
- 중요한 점은 $G''$ 의 모든 $b$ 가 $b \ge 8$.
- 남은 작은 수 $a \in \{1, 2, 3, 4\}$ 에서 가장 빡빡한 조건은 $a = 4$ 의 $b \ge 8$ — $G''$ 의 모든 원소가 자동 충족.
- 따라서 $\{1, 2, 3, 4\}$ 는 $G''$ 와 자유롭게 짝지을 수 있고, $4! = 24$ 가지.
💡 도구 #16 관점: 개별 제약을 추적하는 대신 "모두 자동 충족" 임을 알아채면 자유도 만점 — $4!$ 가 한 덩어리로 떨어짐.
7.SP.C.8 단계 5 독립 단계를 곱(곱셈 원리)으로 합치기.
💡 7학년 기본 셈: 독립 단계마다 선택 수를 곱한다.
6.EE.B.5 단계 6 $144$ 를 선택지와 매칭: (E).
💡 마지막 객관식 비교.
6.NS.C.7 도구 #9(더 쉬운 문제): 먼저 더 쉬운 구조 질문 — 한 쌍의 두 수가 모두 $G = \{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14\}$ 6.NS.C.7 도구 #2(빠짐없이 나열): 각 $a \in L$ 에 대해 $b \ge 2a$ 인 $G$ 의 원소를 나열. $a$ 가 작을수록 짝 후보가 많고, 7.SP.C.8 도구 #5(패턴): 제약이 가장 심한 $a$ 부터 배정. $a = 7$ 은 단 한 가지($14$), $a = 6$ 은 남은 ${12, 13} 7.SP.C.8 $7, 6, 5$ 까지 배정 후 $G$ 에서 세 수가 빠지고 $\{8, 9, 10, 11, 12, 13\}$ 의 어떤 네 원소 부분집합 $G'' 7.SP.C.8 독립 단계를 곱(곱셈 원리)으로 합치기. 6.EE.B.5 $144$ 를 선택지와 매칭: (E). 검토
합리성 확인: 크기 점검. 느슨한 상한은 $7!$ ($L$ 과 $G$ 사이 임의 일대일 대응) 으로 $5040$. 제약 $b \ge 2a$ 가 이를 크게 줄여야 하고, 실제로 $144$ 는 $7!/35$ 정도 — 합리적. 또한 $144 = 1 \times 2 \times 3 \times 4!$ 라는 깔끔한 조합 해석: $L$ 꼬리 셋의 제약 있는 선택 × $L$ 머리 넷의 자유로운 $4!$. 부분 확인 — $7$ 은 $14$ 로 강제, $6$ 은 $\{12, 13\}$ (2 경우). 각 경우에 $5$ 는 정확히 $3$ 가지 합법 짝 ($\{10, 11, 12, 13\}$ 에서 $6$ 이 가져간 하나 제외), 따라서 상위 셋 $2 \times 3 = 6$ 가지, 하위 넷 $4! = 24$ 가지 = $144$. ✓
대안 접근: 도구 #11(거꾸로 풀기) — 제약을 반대 순서, $a = 1$ 부터 $a = 7$ 까지 배정. 이 방향은 어렵습니다 — $a = 1$ 의 $7$ 가지 선택이 이후 모든 $a$ 와 얽히기 때문. 매 단계마다 변화하는 "금지" 집합을 추적해야 하므로, 결국 도구 #5 의 빡빡한 것부터 순서가 옳음을 재확인. 어느 쪽이든 직접 열거(또는 재귀 프로그램)로 $144$ 가 나옴.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.EE.B.5방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 (계산된 $144$ 를 다섯 선택지와 대조해 (E) 를 고르는 마무리에 사용.)6.NS.C.7유리수의 순서와 절댓값 이해하기 ($G$ 내부의 $x, y$ 에 대해 $2x$ 와 $y$ 를 비교해 $G$ 내부 쌍을 배제하고, 각 $a \in L$ 의 합법 짝을 순서대로 나열하는 데 사용.)7.SP.C.8조직적 나열·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 경우의 수 구하기 (제약 있는 짝짓기의 독립 단계를 조직적 나열로 세고 곱셈 원리 $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4!$ 를 적용하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 조직적 나열 세기만 알면 풀 수 있어요! 큰 수 $8$ ~ $14$ 끼리는 절대 같은 쌍이 될 수 없다는 걸 먼저 알면 문제는 깔끔한 일대일 대응이 돼요. 가장 빡빡한 것부터 짝짓고($7$ 은 $14$ 와, 그다음 $6$, $5$), 남은 작은 수 넷은 자유로워 $1 \times 2 \times 3 \times 4! = 144$ 가지가 나와요.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 조직적 나열 세기만 알면 풀 수 있어요! 큰 수 $8$ ~ $14$ 끼리는 절대 같은 쌍이 될 수 없다는 걸 먼저 알면 문제는 깔끔한 일대일 대응이 돼요. 가장 빡빡한 것부터 짝짓고($7$ 은 $14$ 와, 그다음 $6$, $5$), 남은 작은 수 넷은 자유로워 $1 \times 2 \times 3 \times 4! = 144$ 가지가 나와요.
비슷한 유형 더 풀어보기
같은 archetype · 비슷한 학년부터.
