AMC 10 · 2022 · #2

학년 6 rate-ratio

rateratio-proportionestimation dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: rateratio-proportion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Mike cycled $15$ laps in $57$ minutes. Assume he cycled at a constant speed throughout. Approximately how many laps did he complete in the first $27$ minutes?

$\textbf{(A) } 5 \qquad\textbf{(B) } 7 \qquad\textbf{(C) } 9 \qquad\textbf{(D) } 11 \qquad\textbf{(E) } 13$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마이크는 일정한 속도로 $57$ 분 동안 $15$ 바퀴를 돌았습니다. 처음 $27$ 분 동안에는 대략 몇 바퀴를 돌았을까요?

주어진 것: 총 바퀴 수: $15$; 총 시간: $57$ 분; 속도가 일정함 (분당 바퀴 수가 변하지 않음); 선택지: (A) $5$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $11$, (E) $13$

구하는 것: $27$ 분 동안 완주한 바퀴 수의 근사값

이해

문제 재정리: 마이크는 일정한 속도로 $57$ 분 동안 $15$ 바퀴를 돌았습니다. 처음 $27$ 분 동안에는 대략 몇 바퀴를 돌았을까요?

주어진 것: 총 바퀴 수: $15$; 총 시간: $57$ 분; 속도가 일정함 (분당 바퀴 수가 변하지 않음); 선택지: (A) $5$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $11$, (E) $13$

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

일정한 속도 = 일정한 비율 — 도구 #8(단위 살펴보기)이 제격입니다. $\dfrac{\text{바퀴}}{\text{분}}$ 단위만 따라가면 답이 저절로 나옵니다. $\dfrac{135}{19}$ 에서 도구 #6(추측하고 확인하기)이 곱셈 한 번($19 \times 7 = 133$)으로 정수를 잡고, 도구 #3(가능성 지우기)이 선택지가 듬성듬성한 점을 이용해 답을 확정합니다. 미지수가 없으니 대수(#13)는 불필요 — 단위가 일을 다 해 줍니다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

$27$ 이 $57$ 의 거의 절반($27/57 \approx 0.474$, 절반보다 살짝 작음)이라는 점을 먼저 눈치챕니다.
그러면 답은 $15$ 바퀴의 절반보다 살짝 작은 값, 즉 $7.5$ 바로 아래여야 합니다.
이것만으로도 정답은 $7$ 근방으로 좁혀집니다.

$$\dfrac{27}{57} \approx \dfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; \text{바퀴} \approx \dfrac{15}{2} \approx 7.5$$

💡 절반의 시간이 절반의 바퀴를 준다면, $27$ 분(거의 절반)은 $15$ 의 거의 절반을 주는 것 — 한눈에 잡히는 6학년 비율 감각.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.2 단계 2

정확히 계산.
마이크의 속도는 $\dfrac{15 \text{ 바퀴}}{57 \text{ 분}}$.
$27$ 분 동안의 바퀴 수는 속도 $\times$ 시간.
분 단위가 약분되어 바퀴 단위만 남습니다.

$$\dfrac{15 \text{ 바퀴}}{57 \text{ 분}} \times 27 \text{ 분} = \dfrac{15 \times 27}{57} \text{ 바퀴}$$

💡 분당 바퀴 수를 단위 비율로 보고 분 수에 곱하기 — 표준적인 6학년 단위 비율 사용.

#8 단위 살펴보기 4.OA.B.4 단계 3

분수를 약분.
$15$ 와 $57$ 둘 다 $3$ 의 배수($15 = 3 \cdot 5$, $57 = 3 \cdot 19$)이므로 비율이 줄고 곱셈이 작아집니다.

$$\dfrac{15 \times 27}{57} = \dfrac{5 \times 27}{19} = \dfrac{135}{19}$$

💡 공통 인수 $3$ 을 알아채 숫자를 작게 — 4학년 인수쌍·배수 인식 표준.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.6 단계 4

가장 가까운 정수를 찾기.
$19 \times ?$ 에 추측: $19 \times 7 = 133$ 이라 나머지가 $2$ 뿐.
따라서 $\dfrac{135}{19} = 7\dfrac{2}{19} \approx 7.1$.
선택지 ($5, 7, 9, 11, 13$) 중에선 $7$ 만 근방.

$$19 \times 7 = 133, \quad 135 - 133 = 2 \;\Rightarrow\; \dfrac{135}{19} \approx 7.1 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $7$ 을 추측해 곱해 보기가 긴 나눗셈보다 빠름 — 나머지는 5학년 "전략으로 나누기" 가 처리.

[1] #8 6.RP.A.3 $27$ 이 $57$ 의 거의 절반($27/57 \approx 0.474$, 절반보다 살짝 작음)이라는 점을 먼저 눈치챕니다. 그러면 답은 $1

[2] #8 6.RP.A.2 정확히 계산. 마이크의 속도는 $\dfrac{15 \text{ 바퀴}}{57 \text{ 분}}$. $27$ 분 동안의 바퀴 수는 속도 $\ti

[3] #8 4.OA.B.4 분수를 약분. $15$ 와 $57$ 둘 다 $3$ 의 배수($15 = 3 \cdot 5$, $57 = 3 \cdot 19$)이므로 비율이 줄고

[4] #6 5.NBT.B.6 가장 가까운 정수를 찾기. $19 \times ?$ 에 추측: $19 \times 7 = 133$ 이라 나머지가 $2$ 뿐. 따라서 $\dfra

검토

합리성 확인: 속도 점검: $57$ 분에 $15$ 바퀴면 한 바퀴에 약 $4$ 분. $27$ 분이면 $27/4 \approx 6.75$ 바퀴 — 사실상 $7$. 어림, 정확 계산 $7\dfrac{2}{19}$, 그리고 선택지 (B) $7$ 이 모두 일치.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기). 절반 시간 기준점 사용: $57$ 분의 절반은 $28.5$ 분이고 $7.5$ 바퀴에 해당. $27 < 28.5$ 이므로 정답은 $7.5$ 바로 아래 — (C) $9$ 는 너무 크고 (D), (E) 도 너무 큼; (A) $5$ 는 너무 작음. 남는 것은 (B) $7$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 자연수의 인수쌍 찾기·배수 인식하기 ($15$ 와 $57$ 의 공통 인수 $3$ 을 찾아 $\dfrac{15}{57}$ 을 $\dfrac{5}{19}$ 로 약분하는 데 사용.)
5.NBT.B.6 두 자리 수로 나누기 (네 자리 피제수까지) ($135 \div 19$ 를 $19 \times 7 = 133$ 으로 잡아 몫 $7$, 나머지 $2$ 를 읽어 내는 데 사용.)
6.RP.A.2 단위 비율 개념 이해하고 비율 언어 사용하기 (일정한 속도를 단위 비율 $\dfrac{15 \text{ 바퀴}}{57 \text{ 분}}$ 로 쓰고 $27$ 분에 곱해 바퀴 수를 구하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ($27$ 분이 $57$ 분의 거의 절반이므로 바퀴 수도 $15$ 의 거의 절반 — 어림값을 $7$ 근방으로 묶는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 비율 감각만 알면 풀 수 있어요 — $27$ 분은 $57$ 분의 거의 절반, 따라서 바퀴도 $15$ 의 거의 절반인 $7$!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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