AMC 10 · 2022 · #25

학년 8 geometry-2d

coordinate-geometrydivisibility-rulesmulti-digit-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblemsguess-and-check ↑ 선수 지식: divisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Let $R$ , $S$ , and $T$ be squares that have vertices at lattice points (i.e., points whose coordinates are both integers) in the coordinate plane, together with their interiors. The bottom edge of each square is on the $x$ -axis. The left edge of $R$ and the right edge of $S$ are on the $y$ -axis, and $R$ contains $\frac{9}{4}$ as many lattice points as does $S$ . The top two vertices of $T$ are in $R \cup S$ , and $T$ contains $\frac{1}{4}$ of the lattice points contained in $R \cup S.$ See the figure (not drawn to scale).

The fraction of lattice points in $S$ that are in $S \cap T$ is $27$ times the fraction of lattice points in $R$ that are in $R \cap T$ . What is the minimum possible value of the edge length of $R$ plus the edge length of $S$ plus the edge length of $T$ ?

$\textbf{(A) }336\qquad\textbf{(B) }337\qquad\textbf{(C) }338\qquad\textbf{(D) }339\qquad\textbf{(E) }340$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

336

(B)

337

(C)

338

(D)

339

(E)

340

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 축에 평행한 세 격자 정사각형 — $R$(1사분면, 왼쪽 변이 $y$ 축 위), $S$(2사분면, 오른쪽 변이 $y$ 축 위), $T$(아래쪽 변이 $x$ 축 위, 위쪽 두 꼭짓점이 $R \cup S$ 안, $y$ 축을 가로지름) — 이 다음을 만족합니다: $R$ 의 격자점 수 $= \tfrac{9}{4} \cdot S$ 의 격자점 수; $T$ 의 격자점 수 $= \tfrac{1}{4} \cdot (R \cup S)$ 의 격자점 수; $S$ 의 격자점 중 $S \cap T$ 에 있는 비율 $= 27 \cdot R$ 의 격자점 중 $R \cap T$ 에 있는 비율. $\ell_R + \ell_S + \ell_T$ (변 길이 합) 의 최솟값을 구하세요.

주어진 것: $R, S, T$ 는 축에 평행하고 꼭짓점이 격자점인 정사각형; 아래쪽 변은 $x$ 축 위; $R$ 의 왼쪽 변이 $y$ 축, $S$ 의 오른쪽 변이 $y$ 축 위; $T$ 는 $y$ 축을 가로지르며 위쪽 두 꼭짓점이 $R \cup S$ 내부; $\# R = \tfrac{9}{4}\#S$ (격자점 수); $\#T = \tfrac{1}{4}\#(R \cup S)$; $\tfrac{\#(S \cap T)}{\#S} = 27 \cdot \tfrac{\#(R \cap T)}{\#R}$; 선택지: (A) $336$, (B) $337$, (C) $338$, (D) $339$, (E) $340$

구하는 것: $\ell_R + \ell_S + \ell_T$ 의 최솟값

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

도구 #1(그림 그리기) — $R, S$ 가 $y$ 축에서 만나고 $T$ 가 가로지르는 모양을 스케치하고 변 길이 $\ell_R, \ell_S, \ell_T$ 와 변당 격자점 수 $r = \ell_R + 1, s = \ell_S + 1, t = \ell_T + 1$ 을 라벨링. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 세 조건이 각각 $r, s, t$ 의 식 세 개로 변환되고, $T$ 를 $y$ 축으로 수평 분할. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 합쳐서 디오판토스 방정식 $t^2 = k(13k - 1)$ ($s = 4k$) 한 개로 정리. 도구 #6(추측하고 확인) — 서로소 두 인자 $k, 13k - 1$ 이 각각 완전제곱이어야 하므로 $k = 1^2, 2^2, 3^2, \ldots$ 을 시도해 $13k - 1$ 도 완전제곱인 가장 작은 $k$ 를 찾기. 도구 #3(가능성 지우기) — 선택지 범위 $336$ ~ $340$ 으로 크기 확인.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

스케치와 라벨링.
$r = \ell_R + 1, s = \ell_S + 1, t = \ell_T + 1$ (변당 격자점 수).
그러면 $\#R = r^2, \#S = s^2, \#T = t^2$.
첫째 조건 $\#R = \tfrac{9}{4} \#S$ 에서 $r^2 = \tfrac{9}{4} s^2$, 즉 $r = \tfrac{3}{2} s$.
$r$ 이 정수가 되려면 $s$ 가 짝수이며 $r > s$, 따라서 $\ell_R > \ell_S$.

$$r = \tfrac{3}{2} s, \quad s \text{ 짝수}$$

💡 5학년 — 좌표 스케치, 격자 정사각형의 변당 점 수 $(l+1)^2$ 헤아리기.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

$R \cup S$ 의 격자점.
두 정사각형은 오직 $y$ 축 위의 공통 변을 공유.
$\ell_R > \ell_S$ 이므로 공유 변 길이 $= \ell_S$, 공유 격자점 수 $= s$.
포함-배제로 $\#(R \cup S) = r^2 + s^2 - s$.
둘째 조건 $\#T = \tfrac{1}{4}\#(R \cup S)$ 는 $4 t^2 = r^2 + s^2 - s$.
$r^2 = \tfrac{9}{4} s^2$ 을 대입하고 $4$ 를 곱하면 $16 t^2 = 9 s^2 + 4 s^2 - 4 s = 13 s^2 - 4 s = s(13 s - 4)$.

$$16 t^2 = s(13 s - 4)$$

💡 7학년 격자점 집합의 포함-배제, 이어 대수 정리.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 3

$T$ 를 $y$ 축으로 분할.
$T$ 의 아래쪽 변에서 $y$ 축 오른쪽(또는 위) 의 격자 열 수를 $y_p$, 왼쪽의 격자 열 수를 $x_p$ 라 두면 $y$ 축 열이 양쪽에서 중복으로 세어지므로 $t = x_p + y_p - 1$.
그러면 $R \cap T$ 는 격자점 직사각형 $y_p \times t$ ($T$ 가 위쪽까지 $R \cup S$ 안에 있으므로 전체 높이 $t$ 공유), $\#(R \cap T) = y_p \cdot t$, $\#(S \cap T) = x_p \cdot t$.
셋째 조건 $\tfrac{\#(S \cap T)}{s^2} = 27 \cdot \tfrac{\#(R \cap T)}{r^2}$ 는 $\tfrac{x_p t}{s^2} = 27 \cdot \tfrac{y_p t}{r^2}$.
$r^2 = \tfrac{9}{4} s^2$ 으로 $x_p = 27 \cdot \tfrac{4}{9} y_p = 12 y_p$.
따라서 $t = 13 y_p - 1$ 이고 $t \equiv -1 \pmod{13}$, $t^2 \equiv 1 \pmod{13}$.

$$x_p = 12 y_p, \quad t = 13 y_p - 1, \quad t^2 \equiv 1 \pmod{13}$$

💡 6학년 비율 추론 — $27$ 이 $R$ 과 $S$ 의 $\tfrac{9}{4}$ 비율에 깔끔히 들어맞아 $x_p = 12 y_p$.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

디오판토스 방정식 정리.
$s$ 가 짝수라 $s = 2j$ 라 쓰면 $16 t^2 = 2j(26j - 4) = 4j(13j - 2)$, 즉 $4 t^2 = j(13j - 2)$.
우변이 $4$ 의 배수가 되려면 $j$ 도 짝수($13j - 2$ 가 $j$ 와 반대 홀짝).
따라서 $j = 2k$, $s = 4k$, 식은 $t^2 = k(13k - 1)$.

$$s = 4k, \quad t^2 = k(13 k - 1)$$

💡 8학년 — $s = 4k$ 대입으로 식을 깔끔히; 우변 두 인자는 서로소.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 5

$\gcd(k, 13k - 1) = \gcd(k, -1) = 1$ 이라 두 인자 서로소.
곱이 완전제곱이려면 둘 다 완전제곱 필수.
$k = m^2$ 라 두면 (i) $13 m^2 - 1$ 도 완전제곱이어야 하고, (ii) $t^2 \equiv 1 \pmod{13}$ 으로부터 $k(13k - 1) \equiv 1$, 즉 $k \cdot (-1) \equiv 1$, $k \equiv -1 \equiv 12 \pmod{13}$, 다시 말해 $m^2 \equiv 12 \pmod{13}$.

$$k = m^2, \quad 13 m^2 - 1 \text{ 완전제곱}, \quad m^2 \equiv 12 \pmod{13}$$

💡 8학년 — 완전제곱 추론에 작은 잉여 점검 결합으로 최소 $m$ 후보 좁히기.

#6 추측하고 확인하기 8.EE.A.2 단계 6

$m = 1, 2, 3, 4, 5$ 의 $13$ 로 나눈 제곱 잉여: $1, 4, 9, 3, 12$.
$m^2 \equiv 12 \pmod{13}$ 을 만족하는 최초 $m$ 은 $m = 5$.
확인: $k = 25$, $13 k - 1 = 325 - 1 = 324 = 18^2$ — 완전제곱이 맞음.
그러므로 최소 $m = 5, k = 25$.

$$m = 5, \;k = 25, \;13 k - 1 = 324 = 18^2$$

💡 8학년 — $m = 1, \ldots, 5$ 을 손으로 시도; $5^2 = 25$ 가 $13$ 으로 나눈 나머지 $12$, $324 = 18^2$ 이 필요한 완전제곱.

#13 대수로 바꾸기 5.NBT.B.5 단계 7

값들 읽기.
$s = 4 k = 100$, $r = \tfrac{3}{2} s = 150$, $t^2 = 25 \cdot 324 = 8100$, $t = 90$.
변 길이 $\ell_R = 149, \ell_S = 99, \ell_T = 89$, 합 $149 + 99 + 89 = 337$, 선택지 (B).

$$\ell_R + \ell_S + \ell_T = 149 + 99 + 89 = 337 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 5학년 — 마무리 곱셈·덧셈.

[1] #1 5.G.A.2 스케치와 라벨링. $r = \ell_R + 1, s = \ell_S + 1, t = \ell_T + 1$ (변당 격자점 수). 그러면 $\#R

[2] #7 7.SP.C.8 $R \cup S$ 의 격자점. 두 정사각형은 오직 $y$ 축 위의 공통 변을 공유. $\ell_R > \ell_S$ 이므로 공유 변 길이 $=

[3] #7 6.RP.A.3 $T$ 를 $y$ 축으로 분할. $T$ 의 아래쪽 변에서 $y$ 축 오른쪽(또는 위) 의 격자 열 수를 $y_p$, 왼쪽의 격자 열 수를 $x_

[4] #13 8.EE.C.7 디오판토스 방정식 정리. $s$ 가 짝수라 $s = 2j$ 라 쓰면 $16 t^2 = 2j(26j - 4) = 4j(13j - 2)$, 즉 $4

[5] #13 8.EE.A.2 $\gcd(k, 13k - 1) = \gcd(k, -1) = 1$ 이라 두 인자 서로소. 곱이 완전제곱이려면 둘 다 완전제곱 필수. $k = m

[6] #6 8.EE.A.2 $m = 1, 2, 3, 4, 5$ 의 $13$ 로 나눈 제곱 잉여: $1, 4, 9, 3, 12$. $m^2 \equiv 12 \pmod{13

[7] #13 5.NBT.B.5 값들 읽기. $s = 4 k = 100$, $r = \tfrac{3}{2} s = 150$, $t^2 = 25 \cdot 324 = 8100$,

검토

합리성 확인: 수치 점검. 세 비율($9/4, 1/4, 27$) 이 모두 같은 소인수 패턴($2, 3$) 을 공유해 $r : s : t = 150 : 100 : 90 = 15 : 10 : 9$ 의 깔끔한 답이 나옵니다. $t = 13 y_p - 1$ 에서 $y_p = 7, x_p = 12 \cdot 7 = 84$ 라 $T$ 의 아래 변에서 $R$ 안쪽 $7$ 열, $S$ 안쪽 $84$ 열 — 모두 $\le s = 100, \le r = 150$ 으로 $T$ 의 위쪽 꼭짓점이 $R \cup S$ 안에 들어옴이 확인. $149 + 99 + 89 = 337$ 가 (B) 와 정확히 일치. $336$ ~ $340$ 범위로 답의 자리수 확정.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): $r : s : t = 3 : 2 : t/k$ 구조와 $t = 13 y_p - 1$ 의 모듈러 조건 결합으로, 변 길이 합 $r + s + t - 3$ 의 가능한 값이 매우 제한됨. 선택지 $336, 337, 338, 339, 340$ 중 "$13 y_p - 1$ 형 $t$" 와 "완전제곱 $k$" 패턴을 동시에 만족시키는 $\ell_T$ 가 $89$ 뿐이라 (B) 만 유효.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.2 좌표평면 1사분면에 점을 그려 실생활·수학 문제 표현 ($R, S, T$ 의 좌표 스케치와 각 정사각형의 변당 격자점 수 $(l+1)^2$ 헤아리기.)
5.NBT.B.5 표준 알고리즘으로 다자릿 정수 능숙히 곱하기 ($25 \cdot 324 = 8100$, $\sqrt{8100} = 90$, 그리고 최종 합 $149 + 99 + 89 = 337$ 계산.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (셋째 조건 $\tfrac{x_p}{s^2} = 27 \cdot \tfrac{y_p}{r^2}$ 을 $x_p = 12 y_p$ 로 축약.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·나무그림·모의실험으로 복합 사건의 확률 구하기 (격자점 집합 포함-배제 $\#(R \cup S) = r^2 + s^2 - s$.)
8.EE.A.2 방정식의 해를 제곱근·세제곱근으로 표현; 작은 완전제곱의 제곱근 계산 ($k$ 와 $13 k - 1$ 이 서로소 완전제곱임을 인식하고 $324 = 18^2$, $8100 = 90^2$ 확인.)
8.EE.C.7 한 변수의 일차방정식 풀이 ($s = 4 k$ 대입 후 $16 t^2 = s(13 s - 4)$ 을 $t^2 = k(13 k - 1)$ 로 단순화.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 대수와 제곱근만 있으면 풀려요 — 세 격자점 비율을 $r, s, t$ 의 식으로 옮겨 $s = 4k$ 일 때 $t^2 = k(13k - 1)$ 까지 정리하고, 서로소 두 인자가 각각 완전제곱이어야 한다는 사실로 $k = 1, 4, 9, 16, 25$ 를 손으로 시도해 $k = 25$ ($13 \cdot 25 - 1 = 324 = 18^2$) 가 답이 됨을 봅니다. 그러면 $r = 150, s = 100, t = 90$ 이고 $\ell_R + \ell_S + \ell_T = 149 + 99 + 89 = 337$.