AMC 10 · 2022 · #3

학년 6 arithmetic

systems-of-equationslinear-equations-two-varabsolute-value convert-to-algebrawork-backwards ↑ 선수 지식: linear-equations-one-var

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

The sum of three numbers is $96.$ The first number is $6$ times the third number, and the third number is $40$ less than the second number. What is the absolute value of the difference between the first and second numbers?

$\textbf{(A) } 1 \qquad \textbf{(B) } 2 \qquad \textbf{(C) } 3 \qquad \textbf{(D) } 4 \qquad \textbf{(E) } 5$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 수(첫째·둘째·셋째)의 합이 $96$. 첫째는 셋째의 $6$ 배, 셋째는 둘째보다 $40$ 작습니다. $|\text{첫째} - \text{둘째}|$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: $\text{첫째} + \text{둘째} + \text{셋째} = 96$; $\text{첫째} = 6 \times \text{셋째}$; $\text{셋째} = \text{둘째} - 40$ (즉 $\text{둘째} = \text{셋째} + 40$); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: $|\text{첫째} - \text{둘째}|$

이해

문제 재정리: 세 수(첫째·둘째·셋째)의 합이 $96$. 첫째는 셋째의 $6$ 배, 셋째는 둘째보다 $40$ 작습니다. $|\text{첫째} - \text{둘째}|$ 의 값을 구하세요.

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #7 작은 문제로 쪼개기

세 수가 모두 셋째 수로 표현됩니다 — $\text{첫째} = 6z$, $\text{둘째} = z + 40$. 셋째가 "하나뿐인 다이얼" 인 셈. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 작은 자연수를 $z$ 에 넣어 합이 $96$ 이 되는지 보면 충분 — 세 개의 변수 이름을 새기는 것보다 훨씬 친절합니다. $z$ 가 정해진 뒤엔 도구 #11(거꾸로 풀기)·#7(작은 문제로 쪼개기)이 첫째·둘째를 되찾아 절댓값 차를 마무리합니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.6 단계 1

셋째 수를 다이얼로.
단서에서 $\text{첫째} = 6z$, $\text{둘째} = z + 40$.
따라서 세 수는 $6z, \; z+40, \; z$ — $z$ 에 어떤 값을 넣든 세 수가 한 번에 결정됩니다.

$$\text{첫째} = 6z, \quad \text{둘째} = z + 40, \quad \text{셋째} = z$$

💡 가장 작은 조각을 $z$ 로 이름 짓고 나머지를 그 식으로 적기 — 6학년 "변수로 미지수를 나타내기" 그대로. 수 하나가 세 수를 모두 잡습니다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.7 단계 2

추측.
$z = 5$ 시도: 합 $= 30 + 45 + 5 = 80$.
너무 작음.
$z = 10$ 시도: 합 $= 60 + 50 + 10 = 120$.
너무 큼.
$z = 7$ 시도: 합 $= 42 + 47 + 7 = 96$.
적중!

$$z=5: 30+45+5 = 80, \; z=10: 60+50+10 = 120, \; z=7: 42+47+7 = 96 \;\checkmark$$

💡 방향성 있는 두 추측이 $z$ 를 $5$ 와 $10$ 사이로 좁히고, 한 번 더가 $7$ 에 안착 — 6학년 "$px+q=r$ 풀기" 를 종이 대수 없이.

#11 거꾸로 풀기 5.OA.A.1 단계 3

$z = 7$ 로 첫째·둘째를 읽어내기: $\text{첫째} = 6 \cdot 7 = 42$, $\text{둘째} = 7 + 40 = 47$.

$$\text{첫째} = 42, \quad \text{둘째} = 47$$

💡 $z = 7$ 에서 두 짧은 식을 거꾸로 되짚어 실제 수를 얻기 — 5학년 "수식 계산하기".

#11 거꾸로 풀기 6.NS.C.7 단계 4

절댓값 차 계산.
둘째가 더 크므로 $|\text{첫째} - \text{둘째}| = |42 - 47| = 5$.

$$|42 - 47| = 5 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 절댓값은 두 수 사이의 거리일 뿐 — 6학년 "순서·절댓값".

[1] #7 6.EE.B.6 셋째 수를 다이얼로. 단서에서 $\text{첫째} = 6z$, $\text{둘째} = z + 40$. 따라서 세 수는 $6z, \; z+40,

[2] #6 6.EE.B.7 추측. $z = 5$ 시도: 합 $= 30 + 45 + 5 = 80$. 너무 작음. $z = 10$ 시도: 합 $= 60 + 50 + 10 =

[3] #11 5.OA.A.1 $z = 7$ 로 첫째·둘째를 읽어내기: $\text{첫째} = 6 \cdot 7 = 42$, $\text{둘째} = 7 + 40 = 47$.

[4] #11 6.NS.C.7 절댓값 차 계산. 둘째가 더 크므로 $|\text{첫째} - \text{둘째}| = |42 - 47| = 5$.

검토

합리성 확인: 세 수 확인: $42 + 47 + 7 = 96 \checkmark$. 첫째 $=$ 셋째의 $6$ 배: $42 = 6 \cdot 7 \checkmark$. 셋째 $=$ 둘째 $- 40$: $7 = 47 - 40 \checkmark$. 모든 단서가 맞으므로 $|42 - 47| = 5$ 가 확실 — 선택지 (E) 와 일치.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)로 한 줄 증명. 합 식에 대입: $6z + (z+40) + z = 96 \Rightarrow 8z = 56 \Rightarrow z = 7$. 그러면 $|6z - (z+40)| = |5z - 40| = |35 - 40| = 5$. 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.OA.A.1 괄호가 있는 수식 만들고 계산하기 ($z = 7$ 이 정해진 뒤 $6 \cdot 7$ 과 $7 + 40$ 을 계산해 첫째·둘째 수를 되찾는 데 사용.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 식을 써서 문제 해결하기 (셋째 수를 $z$ 로 두고 첫째를 $6z$, 둘째를 $z + 40$ 으로 적어 한 변수로 세 수를 모두 표현하는 데 사용.)
6.EE.B.7 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결 ("합이 $96$" 을 $z$ 에 대한 방정식으로 보고 방향성 있는 추측으로 $z = 7$ 을 찾는 데 사용.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해 ($|42 - 47|$ 을 두 수 사이의 거리($= 5$)로 읽는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "미지수에 이름 붙이고 작은 수부터 넣어 보기" 만 알면 풀 수 있어요 — 셋째가 $7$ 임이 드러나면 $42$ 와 $47$ 의 거리는 딱 $5$!