AMC 10 · 2022 · #6

학년 8 algebra

absolute-valuesign-analysis caseworkeasier-related-problem ↑ 선수 지식: absolute-value

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Which expression is equal to $\left|a-2-\sqrt{(a-1)^2}\right|$ for $a<0?$

$\textbf{(A) } 3-2a \qquad \textbf{(B) } 1-a \qquad \textbf{(C) } 1 \qquad \textbf{(D) } a+1 \qquad \textbf{(E) } 3$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3-2a

(B)

1-a

(C)

(D)

a+1

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $a$ 가 음수일 때 식 $\left|a-2-\sqrt{(a-1)^2}\right|$ 을 간단히 합니다. 답은 다섯 개의 식 중 하나입니다.

주어진 것: 식: $\left|a-2-\sqrt{(a-1)^2}\right|$; 조건: $a < 0$; 선택지: (A) $3-2a$, (B) $1-a$, (C) $1$, (D) $a+1$, (E) $3$

구하는 것: 모든 음수 $a$ 에 대해 원래 식과 같아지는 보기 한 개

이해

문제 재정리: $a$ 가 음수일 때 식 $\left|a-2-\sqrt{(a-1)^2}\right|$ 을 간단히 합니다. 답은 다섯 개의 식 중 하나입니다.

주어진 것: 식: $\left|a-2-\sqrt{(a-1)^2}\right|$; 조건: $a < 0$; 선택지: (A) $3-2a$, (B) $1-a$, (C) $1$, (D) $a+1$, (E) $3$

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #6 추측하고 확인하기

객관식이고 모든 선택지가 $a$ 에 대한 구체적인 식. 도구 #3(가능성 지우기)이 AMC 의 정석 — 음수 한 개를 골라 원래 식 값을 구한 다음, 선택지마다 같은 수를 넣어 같은 값이 나오는 것만 살린다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 그 "음수 한 개"를 정하는 단계 — 추상적인 $a$ 대신 가장 다루기 쉬운 $a = -1$. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 확인용 — 한 번만으로는 우연일 수 있으니 다른 음수로 한 번 더. 어려운 대수적 정체성 $\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|$ 를 외울 필요 없이, 숫자 한 번 대입으로 자연스럽게 드러납니다.

실행 — 정답: A

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.NS.C.5 단계 1

가장 단순한 음수 $a = -1$ 을 고릅니다.
($a < 0$ 도 만족하고 계산이 가장 간단합니다.)

$$a = -1$$

💡 미지수 $a$ 를 구체적인 음수로 바꿔놓으면 대수 문제가 산수 검산으로 줄어듭니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.A.2 단계 2

안쪽 제곱근부터.
$a=-1$ 이면 $a-1 = -2$, $(a-1)^2 = 4$, 주 제곱근은 양수 쪽 $\sqrt{4} = 2$.

$$\sqrt{(a-1)^2} = \sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$$

💡 $\sqrt{x^2}$ 은 항상 "크기" 만 돌려줍니다 — 제곱이 먼저 음수 부호를 지워버렸기 때문.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.NS.C.7 단계 3

바깥 절댓값에 대입: $a - 2 - 2 = -1 - 2 - 2 = -5$.
절댓값 취하기.

$$\left|a - 2 - 2\right| = |-5| = 5$$

💡 절댓값은 부호를 떼어내는 — 수직선에서 $0$ 까지의 거리.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.2 단계 4

이제 각 선택지에 $a=-1$ 을 대입해 $5$ 가 되는 것만 남깁니다.
(A) $3-2(-1)=5$.
(B) $1-(-1)=2$.
(C) $1$.
(D) $(-1)+1=0$.
(E) $3$.
(A) 만 일치.

$$(A)\,3-2a = 5\;\checkmark \quad (B)\,2 \quad (C)\,1 \quad (D)\,0 \quad (E)\,3$$

💡 같은 수를 모든 선택지에 넣어 원래 식과 같은 값을 주는 것이 정답.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.4 단계 5

$a=-1$ 에서 우연히 맞았을 수 있으니 $a=-2$ 로 한 번 더.
안쪽: $\sqrt{(-3)^2}=3$.
바깥: $|-2-2-3| = |-7| = 7$.
(A): $3-2(-2)=7$.
여전히 일치, 다른 보기는 모두 다른 값.

$$a=-2:\;|-2-2-3| = 7,\; 3-2(-2)=7\;\checkmark$$

💡 한 번 일치는 우연일 수 있지만, 다른 입력에서도 같으면 대수적으로 같다고 봐도 됩니다.

[1] #9 6.NS.C.5 가장 단순한 음수 $a = -1$ 을 고릅니다. ($a < 0$ 도 만족하고 계산이 가장 간단합니다.)

[2] #9 8.EE.A.2 안쪽 제곱근부터. $a=-1$ 이면 $a-1 = -2$, $(a-1)^2 = 4$, 주 제곱근은 양수 쪽 $\sqrt{4} = 2$.

[3] #9 6.NS.C.7 바깥 절댓값에 대입: $a - 2 - 2 = -1 - 2 - 2 = -5$. 절댓값 취하기.

[4] #3 6.EE.A.2 이제 각 선택지에 $a=-1$ 을 대입해 $5$ 가 되는 것만 남깁니다. (A) $3-2(-1)=5$. (B) $1-(-1)=2$. (C) $1

[5] #6 6.EE.A.4 $a=-1$ 에서 우연히 맞았을 수 있으니 $a=-2$ 로 한 번 더. 안쪽: $\sqrt{(-3)^2}=3$. 바깥: $|-2-2-3| = |

검토

합리성 확인: 독립된 두 음수 $a=-1, a=-2$ 에서 모두 $3-2a$ 와 원래 식이 같은 값. 나머지 네 선택지는 $a=-1$ 에서 이미 어긋났으므로 (A) 만 가능. 구조적 점검: $a$ 가 음수면 $a-2-\sqrt{(a-1)^2} = a-2-(1-a) = 2a-3$ 이 음수, 절댓값으로 부호가 뒤집혀 $3-2a$ — 정확히 (A).

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기). $\sqrt{x^2}=|x|$ 사용. $a<0$ 이면 $a-1<0$ 이므로 $|a-1|=1-a$. 식이 $|a-2-(1-a)|=|2a-3|$ 가 되고, $a<0$ 이므로 $2a-3<0$, 따라서 $|2a-3|=3-2a$. 대입 경로가 더 빠르고 절댓값 부호 케이스 분기 두 번을 건너뜁니다 — 학생들이 가장 자주 실수하는 지점.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.5 양수와 음수로 양을 나타내기 ($a < 0$ 조건을 만족하는 $a=-1$ 을 골라 음수로 계산하는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해를 나타내기 ($\sqrt{(-2)^2}=2$ 계산 — 주 제곱근은 항상 음이 아닌 크기.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해하기 ($|-5|=5$, $|-7|=7$ — 절댓값은 $0$ 까지의 거리.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 읽고 계산하기 ($a=-1$ 을 다섯 보기 각각에 대입해 값을 구하는 데 사용.)
6.EE.A.4 두 식이 동치인지 판단하기 (두 번째 시험값 $a=-2$ 에서도 $3-2a$ 가 원래 식과 같아 우연이 아님을 확인.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 제곱근 개념만 알면 풀 수 있어요 — $a=-1$ 을 넣고 연산 순서대로 계산한 다음, 다섯 보기에 같은 수를 넣어 같은 값이 나오는 (A) $3-2a$ 를 고르면 됩니다.