AMC 10 · 2022 · #9

학년 7 geometry-2d

combinations-basiccaseworksystematic-enumeration caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

A rectangle is partitioned into $5$ regions as shown. Each region is to be painted a solid color - red, orange, yellow, blue, or green - so that regions that touch are painted different colors, and colors can be used more than once. How many different colorings are possible?

$\textbf{(A) }120\qquad\textbf{(B) }270\qquad\textbf{(C) }360\qquad\textbf{(D) }540\qquad\textbf{(E) }720$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

120

(B)

270

(C)

360

(D)

540

(E)

720

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 직사각형이 다섯 개의 직사각형 구역으로 나뉘어 있습니다. 빨강·주황·노랑·파랑·초록 중 한 색으로 각 구역을 칠하되, 변을 공유하는 두 구역은 서로 다른 색이어야 합니다. 색은 여러 번 써도 됩니다. 가능한 칠하기의 수를 구하세요.

주어진 것: 다섯 구역 — 아래줄에 세 개(BL, BC, BR), 위줄에 두 개(TL, TR); 아래줄 폭 $2, 6, 4$, 위줄 폭 $6, 6$, 위줄 경계선 $x=6$ 이 BC 위에 떨어져 있고 BL 은 TL 아래, BR 은 TR 아래에 들어 있음; 사용 가능한 색 $5$ 가지; 인접하지 않은 구역은 같은 색 가능; 선택지: (A) $120$, (B) $270$, (C) $360$, (D) $540$, (E) $720$

구하는 것: 가능한 다섯 구역 칠하기의 수

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

도구 #1(그림 그리기) — 그림을 그대로 옮겨 어느 구역이 어느 구역과 변을 공유하는지 인접 관계를 표시. 그 인접도가 곧 문제 전부. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 다섯 개의 부분 계산으로 나누고 곱셈 원리로 합칩니다. 색칠 순서가 핵심 — 각 새 구역이 이미 칠해진 이웃을 최대 두 개만 갖도록 순서를 정하면 매 단계 $5$ 에서 최대 $2$ 만 빼면 됨. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 보조 — 인접 목록을 표로 정리하면 "앞선 이웃 두 개" 검사가 쉬워집니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 1

그림에서 인접 관계 읽기.
BC 는 가운데에서 나머지 네 구역 모두와 변을 공유 ($x=2$ 에서 BL 과, $x=8$ 에서 BR 과, $y=2$ 의 왼쪽 절반에서 TL 과, 오른쪽 절반에서 TR 과).
TL 은 BL 과도, 그리고 $x=6$ 경계에서 TR 과 변을 공유.
TR 은 BR 과도.
TL–BR 은 변을 공유하지 않고, BL–TR 도 마찬가지.

$$\text{인접쌍: }\{TL\!-\!BL,\;TL\!-\!BC,\;TL\!-\!TR,\;TR\!-\!BC,\;TR\!-\!BR,\;BL\!-\!BC,\;BC\!-\!BR\}$$

💡 BC 가 모든 구역과 닿는 허브; 비인접쌍은 대각선의 TL–BR 과 BL–TR 둘뿐.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.2 단계 2

새 구역이 앞선 이웃을 최대 두 개만 갖도록 순서 정하기 — TL, BL, BC, TR, BR.
앞선 이웃 수 점검 — TL: $0$, BL: $1$ (TL), BC: $2$ (TL, BL), TR: $2$ (TL, BC), BR: $2$ (TR, BC).
모든 단계가 $\le 2$, 좋음.

$$\text{순서: TL}\to\text{BL}\to\text{BC}\to\text{TR}\to\text{BR};\;\text{앞선 이웃: }0,1,2,2,2$$

💡 단계마다 앞선 이웃이 $\le 2$ 이면 $5$ 에서 최대 $2$ 색만 빠지므로 선택 수가 깔끔.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 3

구역별 선택 수 — TL: 제약 없음 $5$.
BL: TL 과 달라야 함 $4$.
BC: TL 과 BL 모두와 달라야 함 — 그런데 TL 과 BL 도 서로 인접이라 다른 색을 쓰므로 정확히 두 색이 금지, 남는 색 $3$.

$$\text{TL}:5,\;\text{BL}:4,\;\text{BC}:3$$

💡 앞선 이웃 두 개가 서로 인접이면 두 색을 차지, 정확히 두 색이 금지됨.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

TR: TL 과 BC 모두와 달라야 함.
TL 과 BC 도 서로 인접이라 다른 색 — 두 색 금지, $3$ 남음.
BR: TR 과 BC 모두와 달라야 함.
TR 과 BC 도 서로 인접 — 두 색 금지, $3$ 남음.

$$\text{TR}:3,\;\text{BR}:3$$

💡 같은 논리 — 인접한 앞선 이웃 두 개가 정확히 두 색을 차지.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 5

곱셈 원리로 구역별 선택 수를 곱합니다.

$$5 \times 4 \times 3 \times 3 \times 3 = 20 \times 27 = 540 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 독립된 단계의 선택은 곱셈 — 곱셈 셈하기의 기본 원리.

[1] #1 5.G.A.2 그림에서 인접 관계 읽기. BC 는 가운데에서 나머지 네 구역 모두와 변을 공유 ($x=2$ 에서 BL 과, $x=8$ 에서 BR 과, $y=2

[2] #7 5.OA.A.2 새 구역이 앞선 이웃을 최대 두 개만 갖도록 순서 정하기 — TL, BL, BC, TR, BR. 앞선 이웃 수 점검 — TL: $0$, BL:

[3] #7 7.SP.C.8 구역별 선택 수 — TL: 제약 없음 $5$. BL: TL 과 달라야 함 $4$. BC: TL 과 BL 모두와 달라야 함 — 그런데 TL 과 B

[4] #7 7.SP.C.8 TR: TL 과 BC 모두와 달라야 함. TL 과 BC 도 서로 인접이라 다른 색 — 두 색 금지, $3$ 남음. BR: TR 과 BC 모두와

[5] #7 7.SP.C.8 곱셈 원리로 구역별 선택 수를 곱합니다.

검토

합리성 확인: 구조 점검 — 인접 그래프는 $5$ 꼭짓점·$7$ 변, BC 가 차수 $4$ 의 허브에 TL–BL–BC–TR–TL 사이클 + TR–BR–BC 삼각형 구조. 표준 채색 수 공식과 일치, (D) $540$. (A) $120 = 5!$ 은 다섯 구역이 모두 서로 인접한 완전그래프일 때, (E) $720 = 6!$ 은 무관, (B), (C) 는 BC 의 제약을 잘못 세었을 때 ($4$ 를 곱하는 등) 나오는 값.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 직접 — BC 가 모두에게 닿으니 BC 부터 ($5$ 가지). 이후 TL, TR, BL, BR 각각이 BC 와 달라야 함. TL 은 BL, TR 과도, TR 은 BR 과도 추가 제약. TL 과 TR 이 같은 색인지에 따라 경우 나눠야 하므로 번거로움. TL→BL→BC→TR→BR 순서는 경우 분기 없이 깔끔.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.G.A.2 실생활·수학 문제를 점 그래프로 나타내기 (그림의 좌표에서 구역 인접 관계 읽어내기.)
5.OA.A.2 계산 과정을 식으로 기록하기 (구역별 선택 수 $5, 4, 3, 3, 3$ 의 곱으로 표현.)
7.SP.C.8 조직된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (다섯 구역 단계에 곱셈 원리(독립 단계의 곱) 적용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 곱셈 원리만 알면 풀 수 있어요 — 어느 구역끼리 닿는지 그림으로 표시하고, 새 구역이 앞선 이웃을 최대 두 개만 갖는 순서로 칠해, $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 540$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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