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AMC 10 · 2022 · #10

학년 6 arithmetic
유형 Small-Domain Constrained Search
mean-median-mode-rangeconvert-to-algebralinear-equations-one-varsystematic-enumeration convert-to-algebraguess-and-checkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Camila writes down five positive integers. The unique mode of these integers is 22 greater than their median, and the median is 22 greater than their arithmetic mean. What is the least possible value for the mode?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
5
(B)
7
(C)
9
(D)
11
(E)
13
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 카밀라가 양의 정수 다섯 개를 적었습니다. 이 다섯 수의 유일한 최빈값은 중앙값보다 $2$ 크고, 중앙값은 평균보다 $2$ 큽니다. 최빈값의 최솟값은?

주어진 것: 양의 정수 다섯 개 (중복 가능); 유일한 최빈값 — 어떤 값보다도 더 자주 등장하는 값 하나; 최빈값 = 중앙값 $+ 2$; 중앙값 = 평균 $+ 2$; 선택지: (A) $5$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $11$, (E) $13$

구하는 것: 최빈값의 최솟값

이해

문제 재정리: 카밀라가 양의 정수 다섯 개를 적었습니다. 이 다섯 수의 유일한 최빈값은 중앙값보다 $2$ 크고, 중앙값은 평균보다 $2$ 큽니다. 최빈값의 최솟값은?

주어진 것: 양의 정수 다섯 개 (중복 가능); 유일한 최빈값 — 어떤 값보다도 더 자주 등장하는 값 하나; 최빈값 = 중앙값 $+ 2$; 중앙값 = 평균 $+ 2$; 선택지: (A) $5$, (B) $7$, (C) $9$, (D) $11$, (E) $13$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #6 추측하고 확인하기

세 통계량(최빈·중앙·평균)이 한꺼번에 얽힘. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 — '정렬한 리스트는 어떻게 생겼나?', '평균 조건은 어떤 식을 주나?', '미지수를 얼마나 작게 만들 수 있나?' 셋으로 분리. 도구 #13(대수)으로 — 모양이 정해지면 $M$ 에 대한 한 변수 방정식. 도구 #6(추측·확인)으로 — 가장 작은 합법적 $x_1, x_2$ 부터 시도, 짝홀이 안 맞으면 올림. 무거운 부등식 분석 대신 양의 정수에서 작은 방향성 추측으로 바닥값을 찾음.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 1
  • 다섯 정수를 정렬 — $x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$.
  • 중앙값은 세 번째 값 $x_3$.
  • 이를 $M$ 이라 하면 최빈값은 $M + 2$.
$$\text{중앙값} = x_3 = M,\;\text{최빈값} = M + 2$$

💡 정렬한 다섯 수의 중앙값은 가운데 — 6학년 통계.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.A.3 단계 2
  • $M + 2$ 가 정렬된 리스트 어디에 들어가는지.
  • 중앙값 $M$ 보다 크므로 $x_4$ 또는 $x_5$.
  • 최빈값은 적어도 두 번 등장해야 하는데 $M$ 보다 큰 자리는 위 두 자리뿐 — 따라서 $x_4 = x_5 = M + 2$ 로 강제.
  • 최빈값이 *유일*하려면 다른 값은 두 번 이상 나오면 안 됨 — $x_1, x_2, x_3 = M$ 모두 서로 다름: $x_1 < x_2 < M$.
$$\text{정렬}:\;x_1, x_2, M, M+2, M+2,\;\;1 \le x_1 < x_2 < M$$

💡 최빈값은 위쪽 두 자리에 두 번, 아래 셋은 모두 달라야 최빈값이 유일.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 3
  • 두 번째 조건 사용 — 중앙값 = 평균 $+ 2$, 즉 $M = \text{평균} + 2$.
  • 합은 $x_1 + x_2 + M + (M+2) + (M+2) = x_1 + x_2 + 3M + 4$, 평균은 $\frac{x_1 + x_2 + 3M + 4}{5}$.
  • 그러면 $M = \frac{x_1 + x_2 + 3M + 4}{5} + 2$, 즉 $5M = x_1 + x_2 + 3M + 14$, 정리하면 $2M = x_1 + x_2 + 14$.
$$2M = x_1 + x_2 + 14$$

💡 평균 조건을 $M, x_1, x_2$ 의 깔끔한 일차식으로 변환.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.5 단계 4
  • 최빈값 $M + 2$ 를 최소화하려면 $M$ 을 최소화.
  • $2M = x_1 + x_2 + 14$ 에서 $x_1 + x_2$ 가 작을수록 $M$ 도 작음.
  • 좌변 $2M$ 은 짝수, $14$ 도 짝수이므로 $x_1 + x_2$ 도 짝수 — 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수.
$$x_1 + x_2 \text{ 는 짝수}$$

💡 양변의 짝홀이 $x_1 + x_2$ 가 짝수여야 함을 강제.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.5 단계 5
  • 짝수 합을 갖는 가장 작은 서로 다른 양의 정수 시도.
  • $x_1 = 1$ (최소).
  • $x_2$ 는 합이 짝수이려면 홀수여야 하고 $> 1$ — 가장 작은 후보 $x_2 = 3$.
  • 합 $= 1 + 3 = 4$.
  • $2M = 4 + 14 = 18$, $M = 9$.
  • $x_2 < M$ 확인 — $3 < 9$ ✓.
$$x_1 = 1,\;x_2 = 3 \;\Rightarrow\; 2M = 18 \;\Rightarrow\; M = 9$$

💡 짝수 합을 만드는 가장 작은 $x_1, x_2$ 가 $M$ 도 최소로 — 양의 정수에서 추측·확인.

#6 추측하고 확인하기 6.SP.B.5 단계 6
  • 다섯 수 집합 $\{1, 3, 9, 11, 11\}$ 검산.
  • 합 $1 + 3 + 9 + 11 + 11 = 35$, 평균 $= 35/5 = 7$.
  • 중앙값 $= 9$.
  • 최빈값 $= 11$ (두 번 등장, 유일).
  • 조건 — 최빈 $-$ 중앙 $= 11 - 9 = 2$ ✓, 중앙 $-$ 평균 $= 9 - 7 = 2$ ✓.
$$\{1,3,9,11,11\}:\;\text{평균}=7,\;\text{중앙}=9,\;\text{최빈}=11$$

💡 세 조건 모두 성립 — 구성이 유효.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 7
  • 최빈값의 최솟값 $= M + 2 = 9 + 2 = 11$.
  • 답 (D).
$$\text{최빈}_{\min} = 11 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 중앙값 최솟값에 $2$ 를 더하면 최빈값 최솟값.

[1] #7 6.SP.B.5 다섯 정수를 정렬 — $x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5$. 중앙값은 세 번째 값 $x_3$. 이를 $M$ 이라
[2] #7 6.SP.A.3 $M + 2$ 가 정렬된 리스트 어디에 들어가는지. 중앙값 $M$ 보다 크므로 $x_4$ 또는 $x_5$. 최빈값은 적어도 두 번 등장해야 하는
[3] #13 6.EE.B.7 두 번째 조건 사용 — 중앙값 = 평균 $+ 2$, 즉 $M = \text{평균} + 2$. 합은 $x_1 + x_2 + M + (M+2) +
[4] #13 6.EE.B.5 최빈값 $M + 2$ 를 최소화하려면 $M$ 을 최소화. $2M = x_1 + x_2 + 14$ 에서 $x_1 + x_2$ 가 작을수록 $M$
[5] #6 5.NBT.B.5 짝수 합을 갖는 가장 작은 서로 다른 양의 정수 시도. $x_1 = 1$ (최소). $x_2$ 는 합이 짝수이려면 홀수여야 하고 $> 1$ —
[6] #6 6.SP.B.5 다섯 수 집합 $\{1, 3, 9, 11, 11\}$ 검산. 합 $1 + 3 + 9 + 11 + 11 = 35$, 평균 $= 35/5 = 7$.
[7] #7 4.NBT.B.4 최빈값의 최솟값 $= M + 2 = 9 + 2 = 11$. 답 (D).

검토

합리성 확인: 더 작은 최빈값이 가능한지 시험. 최빈값 $= 9$ — $M = 7$, $2M = 14$, $x_1 + x_2 = 0$ — 양의 정수 불가능. 최빈값 $= 7$ — $M = 5$, $x_1 + x_2 = -4$ 불가능. 최빈값 $= 5$ — $M = 3$, $x_1 + x_2 = -8$ 불가능. (A), (B), (C) 모두 탈락. (E) $13$ 은 $M = 11, x_1 + x_2 = 8$ 로 가능은 하지만 최솟값이 아님. 최빈값 최솟값은 $11$ 로 (D) 와 일치.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열) — 후보 최빈값 $5, 7, 9, 11, 13$ 각각에 대해 거꾸로 $M = \text{최빈} - 2$, $x_1 + x_2 = 2M - 14$ 로 검토. 양의 서로 다른 $x_1 < x_2 < M$ 이 성립하는 첫 후보가 정답 — 같은 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

  • 6.SP.B.5 관측 수와 중심·산포 측도로 자료 요약하기 (다섯 수의 평균 계산, 정렬된 가운데 값으로 중앙값 읽기.)
  • 6.SP.A.3 중심 측도는 자료 전체를 한 수로 요약함을 이해하기 (유일 최빈 조건으로 $x_4 = x_5 = M + 2$, $x_1 < x_2 < M$ 강제.)
  • 6.EE.B.7 $px = q$ 꼴 방정식으로 실생활 문제 풀기 (평균 조건을 $2M = x_1 + x_2 + 14$ 방정식으로 정리.)
  • 6.EE.B.5 방정식·부등식 풀이를 값 찾는 과정으로 이해하기 (양변 짝홀을 이용해 $x_1 + x_2$ 가 짝수임을 끌어냄.)
  • 5.NBT.B.5 여러 자리 자연수 곱셈 능숙히 하기 ($x_1 + x_2 = 4$ 에서 $2M = 18$, $M = 9$ 계산.)
  • 4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙히 하기 (최종 $M + 2 = 9 + 2 = 11$.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 평균·중앙값·최빈값과 일차방정식만 알면 풀 수 있어요 — 정렬 모양 $x_1, x_2, M, M+2, M+2$ 에서 $2M = x_1 + x_2 + 14$, 짝수 합을 갖는 가장 작은 서로 다른 양의 정수 $1, 3$ 을 넣으면 $M = 9$, 최빈값 $M + 2 = 11$.

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 평균·중앙값·최빈값과 일차방정식만 알면 풀 수 있어요 — 정렬 모양 $x_1, x_2, M, M+2, M+2$ 에서 $2M = x_1 + x_2 + 14$, 짝수 합을 갖는 가장 작은 서로 다른 양의 정수 $1, 3$ 을 넣으면 $M = 9$, 최빈값 $M + 2 = 11$.

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