AMC 10 · 2022 · #12

학년 7 probability

probability-basiccomplementary-countingexponentsfraction-arithmeticbound-inequality-then-enumerate complementary-countingbound-inequality-then-enumerateguess-and-check ↑ 선수 지식: probability-basicfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A pair of fair $6$ -sided dice is rolled $n$ times. What is the least value of $n$ such that the probability that the sum of the numbers face up on a roll equals $7$ at least once is greater than $\frac{1}{2}$ ?

$\textbf{(A) } 2 \qquad \textbf{(B) } 3 \qquad \textbf{(C) } 4 \qquad \textbf{(D) } 5 \qquad \textbf{(E) } 6$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 공정한 6면체 주사위 두 개를 $n$ 번 굴립니다. 매번 두 눈의 합을 봅니다. $n$ 번 중에 합이 7 인 경우가 적어도 한 번 나올 확률이 $\tfrac{1}{2}$ 보다 커지는 가장 작은 $n$ 을 구하는 문제입니다.

주어진 것: 공정한 6면체 주사위 두 개를 $n$ 번 굴림; 한 번 굴림의 모든 경우의 수는 $6 \times 6 = 36$ 으로 동등; 굴림들은 서로 독립; 선택지: (A) 2, (B) 3, (C) 4, (D) 5, (E) 6

구하는 것: $P(n \text{ 번 중 합 7 이 적어도 한 번}) > \tfrac{1}{2}$ 을 만족하는 최소 정수 $n$

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

도구 #16(관점 바꾸기 = 여사건)이 "적어도 한 번" 문제의 정석. "$n$ 번 중 7 이 한 번이라도" 를 직접 세면 겹치는 경우가 많아지지만, 반대로 "한 번도 7 이 안 나옴" 은 $n$ 마다 깔끔한 한 개의 값. 도구 #2(나열) 로 합이 7 인 순서쌍 6 개를 36 개 중에서 골라 1회 확률 $\tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}$ 을 확정. 도구 #6(추측·확인) 으로 선택지 $n = 2, 3, 4, \ldots$ 를 차례로 $(\tfrac{5}{6})^n$ 에 대입해 $\tfrac{1}{2}$ 아래로 처음 떨어지는 지점을 찾습니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 첫 성공 지점에서 멈추도록 해 줍니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 1

한 번 굴림에서 합 7 이 나올 확률 구하기.
주사위 두 개의 동등 경우는 $6 \times 6 = 36$ 개.
합이 7 인 순서쌍 나열: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ — 정확히 6 개.
따라서 1회 $P(\text{합}=7) = \tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}$.

$$P(7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$$

💡 7학년: 확률은 (유리한 경우) / (전체 경우), 그리고 나열은 빠뜨림 없이 세는 가장 안전한 방법.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.5 단계 2

여사건으로 뒤집기.
"$n$ 번 중 7 이 적어도 한 번" 의 반대는 "매번 7 이 아님".
한 번에 7 이 아닐 확률은 $1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}$.

$$P(\text{not } 7) = 1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}$$

💡 7학년: 사건과 여사건의 확률 합은 1, 그래서 빼는 쪽이 다시 세는 쪽보다 빠름.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 3

독립이므로 곱하기.
굴림이 서로 독립이므로 $n$ 번 모두 7 이 아닐 확률은 $(\tfrac{5}{6})^n$.
따라서 적어도 한 번 7 일 확률은 $1 - (\tfrac{5}{6})^n$.

$$P(\text{적어도 한 번 } 7) = 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^n$$

💡 7학년: 독립 사건은 확률을 곱함 — 매번 "7 아님" 이 $n$ 번 이어지면 $(\tfrac{5}{6})^n$.

#16 관점 바꾸기 6.EE.B.8 단계 4

"$\tfrac{1}{2}$ 보다 크다" 를 깔끔한 부등식으로 정리.
$1 - (\tfrac{5}{6})^n > \tfrac{1}{2}$, 즉 $(\tfrac{5}{6})^n < \tfrac{1}{2}$.
그러므로 $(\tfrac{5}{6})^n$ 을 $\tfrac{1}{2}$ 아래로 끌어내리는 가장 작은 $n$ 을 찾으면 됩니다.

$$\left(\dfrac{5}{6}\right)^n < \dfrac{1}{2}$$

💡 6학년: 부등식을 옮겨도 뜻은 같음 — 단지 검사하기 더 쉬워졌을 뿐.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.1 단계 5

선택지를 차례로 대입.
$n=2$: $(\tfrac{5}{6})^2 = \tfrac{25}{36} \approx 0.69$ — 여전히 큼.
$n=3$: $\tfrac{125}{216} \approx 0.58$ — 아직 큼.
$n=4$: $\tfrac{625}{1296} \approx 0.48$ — 드디어 $0.5$ 아래.
따라서 $n=4$ 가 최소.

$$\left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = \dfrac{625}{1296} \approx 0.482 < \dfrac{1}{2}$$

💡 6학년 지수: 굴림이 늘 때마다 $\tfrac{5}{6}$ 이 한 번 더 곱해져 값이 한 단계씩 줄어듭니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 6

$n=4$ 를 선택지와 매칭: (C).
선택지 (D), (E) 도 부등식을 만족하지만 필요 이상으로 큼.
(A), (B) 는 아직 부족.

$$n = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 마지막 비교: 문제는 "최소" 를 묻기에 첫 번째 성공에서 멈춤.

[1] #2 7.SP.C.7 한 번 굴림에서 합 7 이 나올 확률 구하기. 주사위 두 개의 동등 경우는 $6 \times 6 = 36$ 개. 합이 7 인 순서쌍 나열: $(

[2] #16 7.SP.C.5 여사건으로 뒤집기. "$n$ 번 중 7 이 적어도 한 번" 의 반대는 "매번 7 이 아님". 한 번에 7 이 아닐 확률은 $1 - \tfrac{

[3] #16 7.SP.C.8 독립이므로 곱하기. 굴림이 서로 독립이므로 $n$ 번 모두 7 이 아닐 확률은 $(\tfrac{5}{6})^n$. 따라서 적어도 한 번 7 일

[4] #16 6.EE.B.8 "$\tfrac{1}{2}$ 보다 크다" 를 깔끔한 부등식으로 정리. $1 - (\tfrac{5}{6})^n > \tfrac{1}{2}$, 즉

[5] #6 6.EE.A.1 선택지를 차례로 대입. $n=2$: $(\tfrac{5}{6})^2 = \tfrac{25}{36} \approx 0.69$ — 여전히 큼. $n

[6] #3 6.EE.B.5 $n=4$ 를 선택지와 매칭: (C). 선택지 (D), (E) 도 부등식을 만족하지만 필요 이상으로 큼. (A), (B) 는 아직 부족.

검토

합리성 확인: 한 번에 7 이 나올 확률이 약 $16.7\%$ 이므로 한두 번 굴림으로는 절반에 못 미침이 직관적으로 분명. 세 번에는 약 $42\%$ (아직 부족), 네 번에는 약 $52\%$ 로 갓 넘김 — 우리 계산과 일치. 또 $0.48 + 0.52 = 1$ 로 여사건 산수도 맞아떨어집니다.

대안 접근: 도구 #2(나열) 만으로 직접: $36^n$ 중 적어도 한 번 7 이 포함된 순서를 포함-배제 원리로 ($\binom{n}{1} \cdot 6 \cdot 30^{n-1} - \binom{n}{2} \cdot 6^2 \cdot 30^{n-2} + \cdots$). $n=4$ 면 $36^4 = 1{,}679{,}616$ 가운데 계산해야 — 같은 답이지만 산수가 훨씬 무거움. 여사건 도구가 이기는 이유.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.1 자연수 지수가 포함된 수 식을 쓰고 계산하기 ($(\tfrac{5}{6})^2, (\tfrac{5}{6})^3, (\tfrac{5}{6})^4$ 를 계산해 부등식을 시험하는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 ($(\tfrac{5}{6})^n < \tfrac{1}{2}$ 을 만족하는 가장 작은 정수 $n$ 을 선택지에서 고르는 데 사용.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식 쓰고 수직선에 나타내기 ("확률이 $\tfrac{1}{2}$ 보다 크다" 를 $(\tfrac{5}{6})^n < \tfrac{1}{2}$ 로 다시 쓰는 데 사용.)
7.SP.C.5 확률이 0 과 1 사이의 수임을 이해하기 (여사건 규칙으로 $P(\text{not } 7) = 1 - P(7) = \tfrac{5}{6}$ 을 얻는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모형을 만들고 사용해 사건의 확률 구하기 (두 주사위의 균등 모형으로 $P(\text{합}=7) = \tfrac{6}{36}$ 을 구하는 데 사용.)
7.SP.C.8 조직적인 목록, 표, 시뮬레이션을 사용해 복합 사건의 확률 구하기 (독립인 굴림 확률을 곱해 $P(n \text{ 번 7 안 나옴}) = (\tfrac{5}{6})^n$ 을 만드는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 때 배운 확률만 알면 풀 수 있어요! "적어도 한 번 7" 을 반대편 "전혀 7 이 아님" 으로 뒤집으면 $(\tfrac{5}{6})^n < \tfrac{1}{2}$ 가 되고, $n=2, 3, 4$ 를 대입하면 $n=4$ 가 첫 번째로 성공.

문제

도구 + CCSS 풀이

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계획

실행 — 정답: C

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사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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