AMC 10 · 2022 · #13

학년 8 number-theory

prime-numberstwin-primesdifference-of-cubespolynomial-factoringdigit-sum easier-related-problemguess-and-checksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numberspolynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The positive difference between a pair of primes is equal to $2$ , and the positive difference between the cubes of the two primes is $31106$ . What is the sum of the digits of the least prime that is greater than those two primes?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 차가 2 인 두 소수(쌍둥이 소수) 의 세제곱의 차가 31106 입니다. 두 소수보다 큰 가장 작은 소수를 찾고, 그 소수의 자릿수 합을 구하는 문제입니다.

주어진 것: $p > q$, 둘 다 소수, $p - q = 2$ (쌍둥이 소수); $p^3 - q^3 = 31106$; $p$ 보다 큰 가장 작은 소수의 자릿수 합을 구해야 함; 선택지: (A) 8, (B) 10, (C) 11, (D) 13, (E) 16

구하는 것: 두 소수 $p, q$; $p$ 다음의 소수; 그 소수의 자릿수 합

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #5 패턴 찾기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제)가 먼저: $p$ 와 $q$ 가 단 2 만큼 차이가 나므로 $p \approx q$, 그러면 세제곱 차이는 대략 $3q^2 \cdot 2 = 6q^2$. $6q^2 \approx 31106$ 에서 $q^2 \approx 5184$, 즉 $q \approx \sqrt{5184} = 72$. 이 추정으로 거대한 세제곱 방정식이 "72 근처의 쌍둥이 소수는?" 이라는 작은 질문으로 줄어듭니다. 도구 #6(추측·확인) 으로 자연스러운 후보 $q = 71, p = 73$ 을 $73^3 - 71^3$ 직접 계산으로 확인. 도구 #5(패턴) 의 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ 정체성으로 산수를 깔끔히. 도구 #2(나열) 로 74, 75, 76, 77, 78 을 차례로 지우고 79 가 다음 소수임을 확정합니다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.A.2 단계 1

$p, q$ 의 크기 추정.
$p - q = 2$ 가 $p, q$ 의 크기에 비해 작으므로 $p^3 - q^3 \approx 6q^2$ (미분 관점에서 $2 \cdot 3q^2$).
$6q^2 \approx 31106$ 에서 $q^2 \approx 5184$, 따라서 $q \approx \sqrt{5184} = 72$.

$$6q^2 \approx 31106 \;\Rightarrow\; q^2 \approx 5184 \;\Rightarrow\; q \approx 72$$

💡 8학년 제곱근: 거대한 세제곱 차이를 작은 제곱근 추정으로 바꾸면 탐색이 "72 근처 소수" 로 좁혀짐.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 2

72 근처의 쌍둥이 소수 짝 고르기.
72 근처에서 차가 2 인 쌍둥이 소수는 $(71, 73)$ — 71 은 2, 3, 5, 7 어떤 것으로도 안 나누어짐 (소수), 73 도 같은 확인으로 소수.
그러므로 $q = 71, p = 73$ 으로 추측.

$$q = 71, \; p = 73 \quad (\text{쌍둥이 소수})$$

💡 4학년 소수 판정: 72 근처에서 71 과 73 의 약수를 확인 — 둘 다 통과.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.3 단계 3

세제곱 차 정체성으로 검증.
$p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$ 사용.
$p - q = 2$, $p^2 = 5329$, $pq = 71 \cdot 73 = 5183$, $q^2 = 5041$, 따라서 $p^2 + pq + q^2 = 5329 + 5183 + 5041 = 15553$.
곱하면 $2 \cdot 15553 = 31106$.
정확히 일치.

$$73^3 - 71^3 = 2 \cdot (5329 + 5183 + 5041) = 2 \cdot 15553 = 31106 \;\checkmark$$

💡 6학년 대수 정체성: 세제곱 차 패턴 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ 로 큰 세제곱 두 개를 직접 계산하지 않아도 됨.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

73 다음 소수 찾기.
앞으로 한 칸씩 가며 후보를 지우기.
74 짝수; 75 는 5 로 나뉨; 76 짝수; 77 = 7 $\times$ 11; 78 짝수.
79 — 2, 3, 5, 7 ($\sqrt{79} < 9$) 검사 모두 통과.
따라서 79 가 다음 소수.

$$74, 75, 76, 77, 78 \text{ 합성수}; \; 79 \text{ 소수}$$

💡 4학년 소수: 후보를 나열하고 짝수·5 로 끝남·3 의 배수 같은 빠른 판정으로 지움.

#2 빠짐없이 나열하기 2.NBT.B.5 단계 5

79 의 자릿수 합: $7 + 9 = 16$.

$$7 + 9 = 16$$

💡 2학년: 자릿수를 떼어 더하기 한 번.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 6

16 을 선택지와 매칭: (E).

$$16 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 마지막 비교 — 다섯 선택지 중 16 은 (E) 하나뿐.

[1] #9 8.EE.A.2 $p, q$ 의 크기 추정. $p - q = 2$ 가 $p, q$ 의 크기에 비해 작으므로 $p^3 - q^3 \approx 6q^2$ (미분

[2] #6 4.OA.B.4 72 근처의 쌍둥이 소수 짝 고르기. 72 근처에서 차가 2 인 쌍둥이 소수는 $(71, 73)$ — 71 은 2, 3, 5, 7 어떤 것으로도

[3] #5 6.EE.A.3 세제곱 차 정체성으로 검증. $p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$ 사용. $p - q = 2$, $p^2 = 53

[4] #2 4.OA.B.4 73 다음 소수 찾기. 앞으로 한 칸씩 가며 후보를 지우기. 74 짝수; 75 는 5 로 나뉨; 76 짝수; 77 = 7 $\times$ 11;

[5] #2 2.NBT.B.5 79 의 자릿수 합: $7 + 9 = 16$.

[6] #3 6.EE.B.5 16 을 선택지와 매칭: (E).

검토

합리성 확인: 추정 점검. $6 \cdot 72^2 = 6 \cdot 5184 = 31104$, 31106 과 거의 일치 — 72 근방 추정이 정확했음. 직접 확인: $71^3 = 357911$, $73^3 = 389017$, 차 $= 31106$ 정확. 71 과 73 은 잘 알려진 쌍둥이 소수. 73 이후 74-78 모두 합성수이고 79 가 첫 소수 — 잘 알려진 "소수 간격". 자릿수 합 16 은 (E) 와 일치.

대안 접근: 도구 #13(대수): $p = q + 2$ 를 $p^3 - q^3 = 31106$ 에 대입해 전개하면 $6q^2 + 12q + 8 = 31106$, 정리하면 $q^2 + 2q = 5183$, 완전제곱식으로 $(q+1)^2 = 5184 = 72^2$, $q = 71$. 같은 쌍둥이 소수 짝이지만 세제곱 전개와 완전제곱이 필요 — 추정-검증 경로가 평범한 산수로 끝남.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

2.NBT.B.5 100 이내의 덧셈·뺄셈을 유창하게 하기 (마지막에 자릿수 $7 + 9 = 16$ 을 더하는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수쌍 찾고 배수 인식; 소수 또는 합성수 판단하기 (71, 73 의 소수성 확인과 74-79 의 다음 소수 찾기에 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치인 식 만들기 (세제곱 차 정체성 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ 로 $73^3 - 71^3 = 31106$ 을 두 거대 세제곱 직접 계산 없이 검증하는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 (자릿수 합 16 을 다섯 선택지와 비교해 (E) 를 고르는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해를 표현하기 ($6q^2 \approx 31106$ 에서 $q \approx \sqrt{5184} = 72$ 를 추정하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 제곱근 추정만 알면 풀 수 있어요! 세제곱 차로부터 $q \approx \sqrt{5184} = 72$ 이 나오고, 그 근처 쌍둥이 소수는 71, 73, 그 다음 소수 79 의 자릿수 합 $7+9=16$ 으로 (E).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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