AMC 10 · 2022 · #15

학년 8 arithmetic

sequences-arithmeticratio-proportionconvert-to-algebrapattern-recognition convert-to-algebraeasier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Let $S_n$ be the sum of the first $n$ terms of an arithmetic sequence that has a common difference of $2$ . The quotient $\frac{S_{3n}}{S_n}$ does not depend on $n$ . What is $S_{20}$ ?

$\textbf{(A) } 340 \qquad \textbf{(B) } 360 \qquad \textbf{(C) } 380 \qquad \textbf{(D) } 400 \qquad \textbf{(E) } 420$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

340

(B)

360

(C)

380

(D)

400

(E)

420

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 등차수열의 첫째항이 $a$, 공차가 2 입니다. $S_n$ 을 첫 $n$ 항의 합이라 할 때, 비율 $S_{3n}/S_n$ 이 $n$ 과 상관없이 같은 값으로 나옵니다. $S_{20}$ 을 구하세요.

주어진 것: 공차 $d = 2$ 인 등차수열; 첫째항 $a$ 는 미지; $S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$; $S_{3n}/S_n$ 이 상수 — $n$ 에 의존하지 않음; 선택지: (A) 340, (B) 360, (C) 380, (D) 400, (E) 420

구하는 것: 첫째항 $a$; $S_{20}$

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #6 추측하고 확인하기, #13 대수로 바꾸기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제): 간단한 $a$ 값 몇 개를 넣고 $S_{3}/S_{1}, S_{6}/S_{2}, S_{9}/S_{3}$ 을 보기. 비율은 매번 같아야 함. $a = 1$ 이면 수열은 홀수 $1, 3, 5, \ldots$ 이고 $S_n = n^2$ — 4 학년도 알아볼 만한 패턴. 그러면 $S_{3n}/S_n = (3n)^2 / n^2 = 9$ 로 모든 $n$ 에 대해 같음. 도구 #5(패턴) 가 홀수 합 법칙 $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$ 을 확인. 도구 #6(추측·확인) 으로 $a = 2, 3$ 등을 시험하면 $a = 1$ 외엔 비율이 $n$ 에 의존함이 보임. 도구 #13(대수) 가 백업: $S_n = n(a + n - 1)$, 비율이 상수이려면 $a - 1 = 0$. 도구 #3(가능성 지우기) 으로 $S_{20} = 400$ 을 선택지 (D) 와 매칭.

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

가장 간단한 첫째항 시도: $a = 1$, 공차 2.
수열은 $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ — 홀수들.
첫 $n$ 개 홀수의 합이 $n^2$ 이라는 고전 패턴 ($1 = 1, 1+3 = 4, 1+3+5 = 9, \ldots$ 로 확인 가능).
따라서 $S_n = n^2$.

$$S_n = 1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1) = n^2$$

💡 4학년 수 패턴: 홀수가 정사각형 모양으로 쌓임 — 점으로 그릴 수 있는 패턴.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.RP.A.1 단계 2

비율 점검.
$S_n = n^2$ 이면 $S_{3n} = (3n)^2 = 9n^2$.
따라서 $S_{3n}/S_n = 9n^2 / n^2 = 9$, 모든 $n$ 에 대해 같은 수.
상수 조건 만족 — $a = 1$ 이 정답 첫째항.

$$\dfrac{S_{3n}}{S_n} = \dfrac{(3n)^2}{n^2} = 9 \quad \text{(모든 } n\text{)}$$

💡 6학년 비율: $9n^2$ 대 $n^2$ 은 $9:1$ 로 단순화, $n$ 이 남지 않음 — "$n$ 에 무관" 조건 그대로.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.2 단계 3

다른 $a$ 값 배제.
$a = 2$ 시도: 수열 $2, 4, 6, 8, \ldots$, $S_n = n(n + 1)$.
그러면 $S_{3n}/S_n = 3n(3n + 1)/(n(n+1)) = 3(3n + 1)/(n + 1)$, 여전히 $n$ 이 남음 — 비상수.
따라서 $a = 2$ 탈락, 비슷한 이유로 $a = 0, 3, 4, \ldots$ 도 모두 탈락.
$a = 1$ 만 비율을 고정.

$$a = 2 \Rightarrow \dfrac{S_{3n}}{S_n} = \dfrac{3(3n+1)}{n+1} \;(\text{n 에 의존})$$

💡 6학년 비율 감각: 간소화된 비율에 $n$ 이 남으면 고정된 비율이 아님.

#13 대수로 바꾸기 8.F.B.4 단계 4

대수로 백업 확인.
$d = 2$ 의 등차 합 공식 $S_n = \tfrac{n}{2}(2a + 2(n - 1)) = n(a + n - 1)$.
그러면 $\tfrac{S_{3n}}{S_n} = \tfrac{3(a + 3n - 1)}{a + n - 1}$.
이 값이 모든 $n$ 에 대해 한 상수가 되려면 $n$ 계수의 비 $(9 : 1)$ 와 상수항의 비 $(3a - 3) : (a - 1)$ 가 같아야 함: $\tfrac{3a - 3}{a - 1} = 9$, 정리하면 ($a \neq 1$ 이면) $3 = 9$ — 모순.
따라서 $a - 1 = 0$, 즉 $a = 1$.

$$\dfrac{S_{3n}}{S_n} = \dfrac{9n + (3a - 3)}{n + (a - 1)} \text{ 상수} \;\Rightarrow\; a = 1$$

💡 8학년 일차함수: (일차 $n$) / (일차 $n$) 이 상수이려면 분자·분모의 일차식이 비례해야 — $a = 1$ 로 확정.

#5 패턴 찾기 3.OA.C.7 단계 5

$S_{20}$ 계산.
$a = 1$ 일 때 $S_n = n^2$, 따라서 $S_{20} = 20^2 = 400$.

$$S_{20} = 20^2 = 400$$

💡 3학년 곱셈: $20 \times 20 = 400$.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 6

400 을 선택지와 매칭: (D).

$$400 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 마지막 비교 — 400 은 (D) 하나뿐.

[1] #5 4.OA.C.5 가장 간단한 첫째항 시도: $a = 1$, 공차 2. 수열은 $1, 3, 5, 7, 9, \ldots$ — 홀수들. 첫 $n$ 개 홀수의 합이

[2] #9 6.RP.A.1 비율 점검. $S_n = n^2$ 이면 $S_{3n} = (3n)^2 = 9n^2$. 따라서 $S_{3n}/S_n = 9n^2 / n^2 = 9

[3] #6 6.RP.A.2 다른 $a$ 값 배제. $a = 2$ 시도: 수열 $2, 4, 6, 8, \ldots$, $S_n = n(n + 1)$. 그러면 $S_{3n}/

[4] #13 8.F.B.4 대수로 백업 확인. $d = 2$ 의 등차 합 공식 $S_n = \tfrac{n}{2}(2a + 2(n - 1)) = n(a + n - 1)$.

[5] #5 3.OA.C.7 $S_{20}$ 계산. $a = 1$ 일 때 $S_n = n^2$, 따라서 $S_{20} = 20^2 = 400$.

[6] #3 6.EE.B.5 400 을 선택지와 매칭: (D).

검토

합리성 확인: 표준 등차 합 공식으로 직접 점검. $a_1 = 1, a_{20} = 1 + 19 \cdot 2 = 39$, $S_{20} = \tfrac{20}{2} \cdot (1 + 39) = 10 \cdot 40 = 400$. 일치. 또한 홀수 수열에서 $S_n = n^2$ 은 잘 알려진 결과: $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ — 완전제곱. $S_{3n}/S_n = 9$ 도 직관적으로 자연 — 완전제곱 수열의 인덱스를 세 배 늘리면 9 배가 되어야 마땅.

대안 접근: 도구 #1(그림): 홀수 합을 정사각형 둘레의 L자 층으로 그리기. 매 홀수 $2n + 1$ 이 $n \times n$ 정사각형 둘레에 L자를 두르며 $(n+1) \times (n+1)$ 정사각형을 완성. 그림이 $S_n = n^2$ 을 대수 없이 보여 주고, 곧바로 $S_{20} = 20^2 = 400$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

3.OA.C.7 100 이내 곱셈·나눗셈을 유창하게 하기 ($S_n = n^2$ 임을 안 뒤 $20 \times 20 = 400$ 을 계산하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기 ($1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, \ldots$ 의 홀수 합 패턴을 인식하는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식·부등식 풀기를 "값 찾기" 과정으로 이해하기 ($S_{20} = 400$ 을 선택지 (D) 와 매칭하는 데 사용.)
6.RP.A.1 비율의 개념을 이해하고 비율 언어 사용하기 ($S_{3n}/S_n = (3n)^2/n^2$ 를 $9:1$ 의 비율로 읽어 $n$ 에 의존하지 않음을 확인하는 데 사용.)
6.RP.A.2 단위 비율의 개념을 이해하고 비율 언어 사용하기 ($a = 2$ 시험 시 $\tfrac{3(3n+1)}{n+1}$ 이 여전히 $n$ 에 의존함을 보여 고정된 비율이 아님을 확인하는 데 사용.)
8.F.B.4 두 양 사이의 일차 관계를 모형화하는 함수 만들기 ($S_n$ 을 $n$ 의 일차 식 $n(a + n - 1)$ 로 쓰고, 두 일차 식의 비가 상수가 되도록 강제해 $a = 1$ 을 확정하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 일차함수 추론만 알면 풀 수 있어요! 상수 비율 조건이 수열을 홀수 $1, 3, 5, \ldots$ 로 고정해 주고, 그 합은 유명한 정사각형 패턴 $S_n = n^2$ 이므로 $S_{20} = 400$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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