AMC 10 · 2022 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

pythagorean-theoremsimilar-trianglescoordinate-geometryarea-trianglesarea-rectangles identify-subproblemsarea-differencecomplementary-counting ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremsimilar-triangles

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

The diagram below shows a rectangle with side lengths $4$ and $8$ and a square with side length $5$ . Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the area of the region inside both the square and the rectangle?

$\textbf{(A) }15\dfrac{1}{8} \qquad \textbf{(B) }15\dfrac{3}{8} \qquad \textbf{(C) }15\dfrac{1}{2} \qquad \textbf{(D) }15\dfrac{5}{8} \qquad \textbf{(E) }15\dfrac{7}{8}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$15\dfrac{1}{8}$

(B)

$15\dfrac{3}{8}$

(C)

$15\dfrac{1}{2}$

(D)

$15\dfrac{5}{8}$

(E)

$15\dfrac{7}{8}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $4 \times 8$ 직사각형 안에 변의 길이가 $5$ 인 정사각형이 들어 있습니다. 정사각형의 세 꼭짓점이 직사각형의 서로 다른 세 변 (아래, 오른쪽, 위) 위에 놓여 있습니다. 두 도형이 겹치는 영역의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 직사각형의 두 변의 길이는 $4$ 와 $8$; 정사각형의 한 변의 길이는 $5$; 정사각형의 세 꼭짓점이 직사각형의 서로 다른 세 변 위에 놓임 (아래·오른쪽·위 변에 하나씩); 선택지: (A) $15\tfrac{1}{8}$, (B) $15\tfrac{3}{8}$, (C) $15\tfrac{1}{2}$, (D) $15\tfrac{5}{8}$, (E) $15\tfrac{7}{8}$

구하는 것: 정사각형과 직사각형이 동시에 차지하는 영역의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기

도구 #1 (그림): 직사각형을 $[0,8] \times [0,4]$ 좌표에 올려놓기. 도구 #7 (쪼개기): 정사각형의 비스듬한 변과 직사각형 아래/오른쪽 변이 만드는 두 직각삼각형이 모두 3-4-5 — 이것으로 모든 꼭짓점의 좌표가 결정됩니다. 도구 #16 (관점 바꾸기): 겹치는 영역 (오각형) 을 직접 구하는 대신, 정사각형 전체 넓이 ($25$) 에서 직사각형 위로 삐져나간 작은 삼각형을 빼는 쪽이 훨씬 깔끔합니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 1

직사각형을 $(0,0)$, $(8,0)$, $(8,4)$, $(0,4)$ 에 놓고, 직사각형 변 위에 있는 정사각형의 세 꼭짓점을 위쪽 변의 $A$, 아래쪽 변의 $B$, 오른쪽 변의 $C$ 라 하자.
그림에서 $A$-$B$-$C$ 는 연속한 세 꼭짓점이며 직각은 $B$ 에 있으므로 $AB = BC = 5$.

$$AB = BC = 5,\ \angle ABC = 90°$$

💡 좌표를 도입하면 그림 문제가 계산 문제로 바뀝니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

$A$ 에서 아래쪽 변에 수선을 내려 그 발을 $A'$ 라 하면, 삼각형 $AA'B$ 는 세로변 $AA' = 4$ (직사각형 높이), 빗변 $AB = 5$ 인 직각삼각형.
남은 가로변은 $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ — 친숙한 3-4-5 직각삼각형.

$$A'B = \sqrt{25 - 16} = 3$$

💡 세로 $4$, 빗변 $5$ — 남은 변은 반드시 $3$.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.G.A.2 단계 3

대칭으로, $B$ 에서 오른쪽 변 $x = 8$ 까지의 두 번째 삼각형도 가로 $4$, 세로 $3$ 의 3-4-5.
따라서 $B$ 는 모서리 $(8,0)$ 에서 왼쪽으로 $4$ 떨어진 $B = (4, 0)$.
$A$ 는 $B$ 에서 왼쪽으로 $3$ 떨어진 $A = (1, 4)$.
$C$ 는 $(8,0)$ 에서 위로 $3$ 떨어진 $C = (8, 3)$.

$$A = (1, 4),\ B = (4, 0),\ C = (8, 3)$$

💡 두 개의 같은 3-4-5 삼각형이 정사각형의 직각 꼭짓점 $B$ 양쪽을 감쌉니다.

#1 그림 그리기 5.G.A.2 단계 4

정사각형의 네 번째 꼭짓점 $D$.
$ABCD$ 가 정사각형이므로 $D = A + (C - B) = (1,4) + (4,3) = (5, 7)$.
직사각형 윗변은 $y = 4$, 그런데 $D$ 의 $y$ 좌표는 $7$ 이므로 $D$ 는 직사각형 위로 $3$ 만큼 삐져나옵니다.

$$D = (1+4,\ 4+3) = (5, 7)$$

💡 $A$ 에 변 벡터 $\vec{BC}$ 를 더해 맞은편 꼭짓점 $D$ 를 얻습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.B.6 단계 5

정사각형 변 $CD$ 가 직사각형 윗변 $y = 4$ 와 만나는 점 찾기.
$C(8,3)$ 에서 $D(5,7)$ 까지의 기울기는 $\tfrac{7-3}{5-8} = -\tfrac{4}{3}$.
$y = 4$ 를 대입하면 $4 - 3 = -\tfrac{4}{3}(x - 8)$, 즉 $x - 8 = -\tfrac{3}{4}$, $x = \tfrac{29}{4}$.
이 교점을 $G = \left(\tfrac{29}{4},\ 4\right)$.

$$G = \left(\tfrac{29}{4},\ 4\right)$$

💡 비스듬한 변이 직사각형 천장과 만나는 자리 찾기.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 6

직사각형 위로 삐져나간 부분은 삼각형 $A$-$G$-$D$.
밑변은 $y = 4$ 위에서 $A(1,4)$ 부터 $G(\tfrac{29}{4}, 4)$ 까지로 길이 $\tfrac{29}{4} - 1 = \tfrac{25}{4}$.
높이는 $D(5,7)$ 에서 $y = 4$ 까지 수직 거리 $3$.
삼각형 넓이 $= \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{25}{4} \cdot 3 = \tfrac{75}{8}$.

$$\text{바깥 넓이} = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{25}{4} \cdot 3 = \tfrac{75}{8}$$

💡 삐져나간 조각은 천장을 밑변으로, 꼭짓점이 $D$ 인 깔끔한 삼각형 하나.

#16 관점 바꾸기 5.NF.A.1 단계 7

관점 바꾸기 (도구 #16): 겹친 넓이 = 정사각형 넓이 $-$ 삐져나간 삼각형 $= 25 - \tfrac{75}{8} = \tfrac{200 - 75}{8} = \tfrac{125}{8} = 15\tfrac{5}{8}$.
선택지에서 $\textbf{(D)}$.

$$25 - \tfrac{75}{8} = \tfrac{125}{8} = 15\tfrac{5}{8}$$

💡 정사각형 전체에서 새어 나간 삼각형을 빼면 겹친 부분이 남습니다.

[1] #1 5.G.A.1 직사각형을 $(0,0)$, $(8,0)$, $(8,4)$, $(0,4)$ 에 놓고, 직사각형 변 위에 있는 정사각형의 세 꼭짓점을 위쪽 변의 $

[2] #7 8.G.B.7 $A$ 에서 아래쪽 변에 수선을 내려 그 발을 $A'$ 라 하면, 삼각형 $AA'B$ 는 세로변 $AA' = 4$ (직사각형 높이), 빗변 $A

[3] #7 5.G.A.2 대칭으로, $B$ 에서 오른쪽 변 $x = 8$ 까지의 두 번째 삼각형도 가로 $4$, 세로 $3$ 의 3-4-5. 따라서 $B$ 는 모서리 $

[4] #1 5.G.A.2 정사각형의 네 번째 꼭짓점 $D$. $ABCD$ 가 정사각형이므로 $D = A + (C - B) = (1,4) + (4,3) = (5, 7)$.

[5] #7 8.EE.B.6 정사각형 변 $CD$ 가 직사각형 윗변 $y = 4$ 와 만나는 점 찾기. $C(8,3)$ 에서 $D(5,7)$ 까지의 기울기는 $\tfrac{

[6] #7 6.G.A.1 직사각형 위로 삐져나간 부분은 삼각형 $A$-$G$-$D$. 밑변은 $y = 4$ 위에서 $A(1,4)$ 부터 $G(\tfrac{29}{4},

[7] #16 5.NF.A.1 관점 바꾸기 (도구 #16): 겹친 넓이 = 정사각형 넓이 $-$ 삐져나간 삼각형 $= 25 - \tfrac{75}{8} = \tfrac{200

검토

합리성 확인: 겹친 부분은 정사각형 ($25$) 보다도 작고 직사각형 ($32$) 보다도 작아야 하는데, $15\tfrac{5}{8}$ 는 둘 다 만족합니다. 삐져나간 삼각형 넓이 $\tfrac{75}{8} \approx 9.4$ 는 밑변 $\approx 6.25$, 높이 $3$ 의 삼각형으로서 자연스러운 크기. 선택지가 $15\tfrac{1}{8}$ 부터 $15\tfrac{7}{8}$ 까지 $\tfrac{1}{8}$ 간격으로 촘촘해서, $\tfrac{75}{8}$ 을 정확히 계산해야만 답이 갈립니다.

대안 접근: 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 겹친 오각형의 꼭짓점을 차례로 늘어놓고 신발끈 공식 (Shoelace) 으로 직접 넓이 계산: 꼭짓점은 $(1,0), B(4,0), (8,0), C(8,3), G(\tfrac{29}{4}, 4), A(1,4)$. 정사각형의 왼쪽 변이 $A(1,4)$ 에서 $(1,0)$ 까지 직사각형 안쪽에 들어 있다는 사실을 빠뜨리지 말 것. 신발끈으로 계산해도 결국 $\tfrac{125}{8}$ 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.1 수직인 두 수직선으로 좌표평면 구성 (직사각형을 $(0,0)$–$(8,4)$ 좌표에 놓아 꼭짓점을 수치화.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 모르는 변 구하기 (다리 $4$, 빗변 $5$ 인 3-4-5 직각삼각형에서 남은 다리 $3$ 구하기.)
5.G.A.2 좌표평면에 점을 찍어 실생활·수학 문제 표현 (정사각형 네 꼭짓점을 $A(1,4)$, $B(4,0)$, $C(8,3)$, $D(5,7)$ 좌표로 고정.)
8.EE.B.6 닮은 삼각형으로 두 점 사이 기울기 설명 (변 $CD$ 의 기울기 $-\tfrac{4}{3}$ 을 구해 $y = 4$ 와의 교점 결정.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형 넓이를 분해하여 구하기 (삐져나간 삼각형 넓이를 $\tfrac{1}{2} \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$ 로 계산.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($25 = \tfrac{200}{8}$ 에서 $\tfrac{75}{8}$ 을 빼서 $\tfrac{125}{8}$ 으로 마무리.)

⭐ 숨어 있는 두 개의 3-4-5 직각삼각형이 정사각형의 모든 꼭짓점을 잡아 줍니다. 정사각형 위쪽 꼭짓점 $(5, 7)$ 이 직사각형 밖으로 삐져나가니까, 그 작은 삼각형 (넓이 $\tfrac{75}{8}$) 을 잘라 내면 남는 게 $25 - \tfrac{75}{8} = 15\tfrac{5}{8}$, 선택지 $\textbf{(D)}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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