AMC 10 · 2022 · #2

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

pythagorean-theoreminteger-pythagorean-triplesarea-rectangles identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

In rhombus $ABCD$ , point $P$ lies on segment $\overline{AD}$ so that $\overline{BP}$ $\perp$ $\overline{AD}$ , $AP = 3$ , and $PD = 2$ . What is the area of $ABCD$ ? (Note: The figure is not drawn to scale.)

$\textbf{(A) }3\sqrt 5 \qquad \textbf{(B) }10 \qquad \textbf{(C) }6\sqrt 5 \qquad \textbf{(D) }20\qquad \textbf{(E) }25$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3\sqrt 5$

(B)

(C)

$6\sqrt 5$

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 마름모 $ABCD$ 에서 변 $\overline{AD}$ 위의 점 $P$ 가 변을 $AP = 3$ 과 $PD = 2$ 로 나누고, $\overline{BP}$ 는 $\overline{AD}$ 와 수직입니다. 마름모의 넓이를 구합니다.

주어진 것: $ABCD$ 는 마름모 (네 변의 길이가 모두 같음); $P$ 는 $\overline{AD}$ 위의 점; $AP = 3$, $PD = 2$; $\overline{BP} \perp \overline{AD}$ — $\triangle APB$ 는 $P$ 에서 직각; 선택지: (A) $3\sqrt{5}$, (B) $10$, (C) $6\sqrt{5}$, (D) $20$, (E) $25$

구하는 것: 마름모 $ABCD$ 의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

그림은 이미 있지만, 핵심은 문제의 조건 — $AP=3$, $PD=2$, $P$ 에서 직각 — 을 그림 위에 표시하는 것입니다. 도구 #1(그림 그리기)이 라벨을 정리해 주면, $BP$ 가 밑변 $AD$ 에 대한 마름모의 높이임이 바로 보입니다. 그 다음은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계: 직각삼각형 $APB$ 에서 $BP$ 를 먼저 구하고, 평행사변형 넓이 공식 "밑변 × 높이" 에 대입.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 5.G.B.4 단계 1

그림에서 한 변의 길이를 읽습니다.
$P$ 가 $\overline{AD}$ 위에 있으므로 $AD = AP + PD = 3 + 2 = 5$.
마름모는 네 변이 모두 같으니 $AB = 5$ 도 함께 결정됩니다.

$$AD = 3 + 2 = 5, \quad AB = AD = 5$$

💡 "마름모는 네 변이 모두 같다" 는 5학년 "도형을 성질로 분류" — 한 변의 길이가 네 변 모두에 적용됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

직각삼각형 $APB$ 에 집중.
두 다리는 $AP = 3$ 과 $BP = ?$, 빗변은 $AB = 5$.
피타고라스 정리로 $BP$ 를 구합니다.

$$AP^2 + BP^2 = AB^2 \;\Rightarrow\; 3^2 + BP^2 = 5^2 \;\Rightarrow\; BP^2 = 25 - 9 = 16 \;\Rightarrow\; BP = 4$$

💡 고전적인 3-4-5 직각삼각형 — 8학년 "피타고라스 정리로 미지 변 구하기". 계산하지 않아도 알아챌 수 있을 정도.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

평행사변형(마름모) 넓이 공식에 $AD$ 를 밑변, $BP$ 를 높이로 넣어 곱합니다.

$$\text{넓이} = AD \times BP = 5 \times 4 = 20$$

💡 마름모도 평행사변형이므로 넓이 = 밑변 × 높이 — 6학년 "도형을 조립해 넓이 구하기". 정답 (D).

[1] #1 5.G.B.4 그림에서 한 변의 길이를 읽습니다. $P$ 가 $\overline{AD}$ 위에 있으므로 $AD = AP + PD = 3 + 2 = 5$. 마름

[2] #7 8.G.B.7 직각삼각형 $APB$ 에 집중. 두 다리는 $AP = 3$ 과 $BP = ?$, 빗변은 $AB = 5$. 피타고라스 정리로 $BP$ 를 구합니다

[3] #7 6.G.A.1 평행사변형(마름모) 넓이 공식에 $AD$ 를 밑변, $BP$ 를 높이로 넣어 곱합니다.

검토

합리성 확인: 그림으로 다시 점검: 한 변이 $5$ 인 마름모의 넓이는 정사각형일 때의 $5 \times 5 = 25$ 가 최대. 높이 $BP = 4$ 는 한 변보다 살짝 작으므로 마름모는 정사각형에 거의 가깝지만 그것은 아닌 상태 — 넓이 $20$ 은 $[0, 25]$ 구간에 자연스럽게 들어가고 선택지 (D) 와 맞습니다. 또 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$ 으로 3-4-5 삼각형도 정확히 확인됩니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) + 좌표. $A = (0,0)$, $D = (5,0)$, $P = (3,0)$ 으로 두면 $BP$ 가 수직 길이 $4$ 이므로 $B = (3,4)$, $C = B + \vec{AD} = (8,4)$. 대각선 $AC, BD$ 의 길이를 구해 $\text{넓이} = \tfrac{1}{2}|AC| \cdot |BD|$ 로도 가능. 더 빠르지만 밑변·높이 풀이가 6학년 수준에 머무릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.B.4 2차원 도형을 성질의 위계로 분류 (마름모의 네 변이 모두 같다는 성질에서 $AB = AD = 5$ 를 얻는 데 사용.)
6.G.A.1 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이를 조립해 구하기 (평행사변형 넓이 공식 "밑변 × 높이" 를 마름모에 적용하는 데 사용.)
8.G.B.7 직각삼각형의 미지 변을 피타고라스 정리로 구하기 (직각삼각형 $APB$ 에서 두 다리 $3, BP$ 와 빗변 $5$ 로부터 $BP = 4$ 를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "3-4-5 직각삼각형" 만 알면 풀 수 있어요 — $BP$ 가 $4$ 로 떨어지면 마름모 넓이는 $5 \times 4 = 20$ 으로 마무리됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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