AMC 10 · 2022 · #20

학년 8 geometry-2d

similar-trianglesangle-sum-triangleisosceles-trianglesupplementary-angles identify-subproblemswork-backwards ↑ 선수 지식: similar-trianglesangle-sum-triangle

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Let $ABCD$ be a rhombus with $\angle ADC = 46^\circ$ . Let $E$ be the midpoint of $\overline{CD}$ , and let $F$ be the point
on $\overline{BE}$ such that $\overline{AF}$ is perpendicular to $\overline{BE}$ . What is the degree measure of $\angle BFC$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

110

(B)

111

(C)

112

(D)

113

(E)

114

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\angle ADC = 46°$ 인 마름모 $ABCD$ 에서 $E$ 가 $\overline{CD}$ 의 중점이고, $F$ 가 $\overline{BE}$ 위의 점으로 $\overline{AF} \perp \overline{BE}$ 일 때, $\angle BFC$ 의 크기를 구하세요.

주어진 것: $ABCD$ 는 마름모 (네 변 모두 같음); $\angle ADC = 46°$; $E$ 는 $\overline{CD}$ 의 중점; $F$ 는 $\overline{BE}$ 위의 점이며 $\overline{AF} \perp \overline{BE}$; 선택지: (A) $110$, (B) $111$, (C) $112$, (D) $113$, (E) $114$

구하는 것: $\angle BFC$ 의 각도

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #11 거꾸로 풀기

도구 #1 (그림): 마름모를 그리고 $\overline{CD}$ 위에 $E$ 를 표시, $\overline{AD}$ 와 $\overline{BE}$ 의 연장선이 만나는 점을 $G$ 라 두기. $G$ 가 모든 열쇠 — 평행선 두 쌍이 $\triangle GDE \sim \triangle GAB$ (비율 $1:2$) 를 강제하고, $D$ 가 $\overline{AG}$ 의 중점이 됨. 도구 #7 (쪼개기): 답을 (i) 직각 $\triangle AFG$ 의 빗변에 대한 중선 정리로 $FD = AD$ 보이기, (ii) $F, A, G, C$ 가 $D$ 를 중심으로 한 원 위에 있음을 보이기, (iii) 원주각 정리로 $\angle GFC$ 를 중심각의 절반으로 환산. 도구 #11 (거꾸로 풀기): 목표 $\angle BFC$ 는 $\angle GFC$ 의 보각 ($B, F, G$ 공선), 그래서 $\angle ADC = 46° \to \angle GDC = 134° \to \angle GFC = 67° \to \angle BFC = 113°$ 로 거꾸로 추적.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 8.G.A.5 단계 1

$\overline{AD}$ 를 $D$ 너머로, $\overline{BE}$ 를 $E$ 너머로 연장해 만나는 점을 $G$ 라 하자.
$ABCD$ 가 마름모이므로 $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$, $E$ 가 $\overline{CD}$ 위에 있으니 $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$.
두 삼각형 $\triangle GDE$, $\triangle GAB$ 는 꼭짓점 $G$ 를 공유하고 $\overline{DE} \parallel \overline{AB}$ 이므로 AA 닮음.

$$\triangle GDE \sim \triangle GAB$$

💡 두 직선을 연장해 만나게 하면, 평행 변 한 쌍이 자동으로 닮음 삼각형을 만들어 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.A.1 단계 2

닮음비 $\frac{DE}{AB} = \frac{s/2}{s} = \frac{1}{2}$ ($s$ 는 마름모의 변 길이, $E$ 가 중점이므로).
따라서 $\frac{GD}{GA} = \frac{1}{2}$, 즉 $GA = 2 \cdot GD$ — $D$ 가 선분 $\overline{AG}$ 의 중점.

$$\frac{GD}{GA} = \frac{1}{2} \Rightarrow AD = DG$$

💡 $\overline{DE}$ 가 $\overline{AB}$ 의 절반 길이 → $D$ 가 비스듬한 선 위에서 $A$ 와 $G$ 사이 정확히 한가운데.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 3

$F$ 가 직선 $\overline{BE}$ 위에 있고 $\overline{AF} \perp \overline{BE}$.
그런데 $F$ 는 점 $B, E, G$ 를 지나는 같은 직선 위에 있으므로 $\overline{AF} \perp \overline{BG}$, 즉 $\angle AFG = 90°$.
따라서 $\triangle AFG$ 는 빗변이 $\overline{AG}$ 인 직각삼각형 (직각은 $F$ 에).

$$\angle AFG = 90°,\ \overline{AG}\text{ 빗변}$$

💡 $F$ 는 연장된 직선 $\overline{BG}$ 위, $A$ 에서 수선을 내리니 빗변 $\overline{AG}$ 에 대해 직각.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.A.2 단계 4

직각삼각형 빗변에 대한 중선 정리 적용: 직각꼭짓점에서 빗변 중점까지의 선분 길이는 빗변의 절반.
여기서 $D$ 가 빗변 $\overline{AG}$ 의 중점이므로 $\overline{FD}$ 가 그 중선.
따라서 $FD = \tfrac{1}{2} AG = AD = DG$.

$$FD = AD = DG$$

💡 직각꼭짓점에서 빗변 중점까지는 정확히 빗변의 절반 — $F, A, G$ 가 $D$ 와 같은 거리.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 5

또한 마름모 변이 같으므로 $AD = CD$.
따라서 $CD = AD = DG = FD$.
네 점 $F, A, G, C$ 가 모두 $D$ 로부터 거리 $AD$ — 즉 $D$ 를 중심으로 반지름 $AD$ 인 원 위에 있음.

$$F, A, G, C \text{ 는 } D \text{ 중심 원 위}$$

💡 $D$ 로부터 같은 거리의 네 점 — 원의 정의 그대로.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.5 단계 6

원주각 정리.
원주각 $\angle GFC$ 와 중심각 $\angle GDC$ 가 같은 호 $\widehat{GC}$ 를 끼고 있으므로 $\angle GFC = \tfrac{1}{2} \angle GDC$.
$A$, $D$, $G$ 가 공선 (우리가 $G$ 를 $\overline{AD}$ 의 연장으로 잡았으니) 이므로 $\angle GDC$ 와 $\angle ADC$ 는 보각: $\angle GDC = 180° - 46° = 134°$.
따라서 $\angle GFC = \tfrac{1}{2}(134°) = 67°$.

$$\angle GFC = \tfrac{1}{2} \angle GDC = \tfrac{1}{2}(134°) = 67°$$

💡 원주각은 같은 호 중심각의 절반; 보각으로 중심각 결정.

#11 거꾸로 풀기 7.G.B.5 단계 7

마지막으로 도구 #11 (거꾸로 풀기): $B, F, G$ 가 공선 (연장된 $\overline{BE}$ 위) 이므로 $\angle BFC$ 와 $\angle GFC$ 는 보각.
$\angle BFC = 180° - 67° = 113°$.
답 $\textbf{(D)}$.

$$\angle BFC = 180° - 67° = 113°$$

💡 $B, F, G$ 일직선 — $F$ 양옆의 각 합 $180°$.

[1] #1 8.G.A.5 $\overline{AD}$ 를 $D$ 너머로, $\overline{BE}$ 를 $E$ 너머로 연장해 만나는 점을 $G$ 라 하자. $ABCD$

[2] #7 7.G.A.1 닮음비 $\frac{DE}{AB} = \frac{s/2}{s} = \frac{1}{2}$ ($s$ 는 마름모의 변 길이, $E$ 가 중점이므로)

[3] #7 7.G.B.5 $F$ 가 직선 $\overline{BE}$ 위에 있고 $\overline{AF} \perp \overline{BE}$. 그런데 $F$ 는 점

[4] #7 7.G.A.2 직각삼각형 빗변에 대한 중선 정리 적용: 직각꼭짓점에서 빗변 중점까지의 선분 길이는 빗변의 절반. 여기서 $D$ 가 빗변 $\overline{A

[5] #7 7.G.B.4 또한 마름모 변이 같으므로 $AD = CD$. 따라서 $CD = AD = DG = FD$. 네 점 $F, A, G, C$ 가 모두 $D$ 로부터

[6] #7 7.G.B.5 원주각 정리. 원주각 $\angle GFC$ 와 중심각 $\angle GDC$ 가 같은 호 $\widehat{GC}$ 를 끼고 있으므로 $\an

[7] #11 7.G.B.5 마지막으로 도구 #11 (거꾸로 풀기): $B, F, G$ 가 공선 (연장된 $\overline{BE}$ 위) 이므로 $\angle BFC$ 와

검토

합리성 확인: 확인: $\angle ADC = 46°$, 답 $113° = 90° + 23° = 90° + \tfrac{46°}{2}$. 깔끔한 관계 $\angle BFC = 90° + \tfrac{1}{2} \angle ADC$ 가 원주각/보각 사슬과 일치: $180° - \tfrac{1}{2}(180° - 46°) = 113°$. 선택지 $110, 111, 112, 113, 114$ 중 반각 공식에 맞는 것은 $113$ 뿐, 다른 답들은 보각 단계에서 한 칸 차이로 빠지는 함정.

대안 접근: 도구 #13 (대수로 바꾸기) 좌표 풀이: $D$ 를 원점, $\overline{DA}$ 와 각 $46°$ 인 방향으로 $C$ 를 놓고 변 길이 $s = 2$ 로 설정 ($E$ 가 $\overline{DC}$ 위 절반 지점). 직선 $\overline{BE}$ 를 구하고 $A$ 에서 수선을 내려 $F$ 를 찾은 뒤, 벡터 내적으로 $\angle BFC$ 계산. 삼각함수가 들어가지만 결국 $113°$. 종합기하 (중선 정리) 풀이가 훨씬 깔끔.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

8.G.A.5 각의 합·외각에 관한 비형식적 논증 (평행 변과 공유 꼭짓점으로 $\triangle GDE \sim \triangle GAB$ AA 닮음 설정.)
7.G.A.1 축척 도형의 문제 해결 ($1:2$ 닮음비로 $D$ 가 $\overline{AG}$ 의 중점임을 유도.)
7.G.B.4 원의 넓이·둘레 공식 알기 (네 점 $F, A, G, C$ 가 $D$ 로부터 같은 거리 → 원 위 확인.)
7.G.B.5 보각·여각·맞꼭지각·인접각 사실 활용 (보각 쌍 $\angle ADC + \angle GDC = 180°$, $\angle GFC + \angle BFC = 180°$, 그리고 원주각/직각삼각형 사슬.)
7.G.A.2 주어진 조건으로 도형 그리기 (삼각형 포함) (직각 $\triangle AFG$ 내에서 빗변 중선 정리로 $FD = AD$ 도출.)

⭐ $\overline{AD}$ 와 $\overline{BE}$ 를 연장해 만나는 점을 $G$. 그러면 $D$ 가 직각 $\triangle AFG$ 빗변의 중점이라 $FD = AD = CD$ — 네 점 $F, A, G, C$ 가 $D$ 중심 원 위. 원주각은 중심각의 절반, $\angle GFC = \tfrac{1}{2}(134°) = 67°$, 보각으로 $\angle BFC = 113°$, 답 $\textbf{(D)}$.