AMC 10 · 2022 · #21

학년 8 number-theory

polynomial-factoringpolynomial-rootssystems-of-equationspolynomial-remainderconvert-to-algebra easier-related-problemconvert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: polynomial-factoringsystems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Let $P(x)$ be a polynomial with rational coefficients such that when $P(x)$ is divided by the polynomial
$x^2 + x + 1$ , the remainder is $x+2$ , and when $P(x)$ is divided by the polynomial $x^2+1$ , the remainder
is $2x+1$ . There is a unique polynomial of least degree with these two properties. What is the sum of
the squares of the coefficients of that polynomial?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 유리수 계수 다항식 $P(x)$ 가 $x^2+x+1$ 로 나눈 나머지가 $x+2$, $x^2+1$ 로 나눈 나머지가 $2x+1$ 이라 합니다. 이런 $P(x)$ 중 차수가 가장 작은 유일한 다항식을 찾아, 그 계수들의 제곱의 합을 구하세요.

주어진 것: $P(x) = (x^2+x+1)\,Q_1(x) + (x+2)$ (어떤 다항식 $Q_1$ 이 존재); $P(x) = (x^2+1)\,Q_2(x) + (2x+1)$ (어떤 다항식 $Q_2$ 가 존재); $P(x)$ 의 계수는 유리수; 선택지: (A) $10$, (B) $13$, (C) $19$, (D) $20$, (E) $23$

구하는 것: 최소 차수 $P(x)$ 의 계수의 제곱의 합

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제) — $P$ 의 차수를 가장 작은 후보부터 시도(차수 $2$, 몫이 상수)해 무엇이 막히는지 보고, 그 다음 차수 $3$ (몫이 1차) 로 넘어가기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 두 표현 $A = B$ 를 $x$ 의 거듭제곱별 계수 일치 식 세 개로 분해. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 이 작은 연립방정식을 풀기. 도구 #3(가능성 지우기) — 마지막 합 $1^2+2^2+3^2+3^2 = 23$ 이 (E) 임을 확인.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.4 단계 1

쉬운 경우부터: $P$ 가 차수 $2$ 라면?
그러면 두 몫 $Q_1, Q_2$ 가 모두 상수, $c_1, c_2$.
전개: $P = c_1 x^2 + (c_1+1)x + (c_1+2)$, 그리고 $P = c_2 x^2 + 2x + (c_2+1)$.
$x^2$ 계수: $c_1 = c_2$.
$x$ 계수: $c_1+1 = 2$ 라 $c_1 = 1$.
상수: $c_1+2 = c_2+1$, 즉 $3 = 2$.
모순!
차수 $2$ 는 불가능.

$$\text{차수 } 2 \;\Rightarrow\; 3 = 2 \;\text{(모순)}$$

💡 6학년 — 두 표현이 같은 다항식인지 계수별로 비교해 확인.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.2 단계 2

차수 $3$ 시도.
이때 몫 $Q_1, Q_2$ 는 1차.
두 표현의 $x^3$ 계수가 같아야 하므로 $Q_1(x) = ax+b, Q_2(x) = ax+c$ ($a$ 공통).

$$Q_1 = ax+b, \quad Q_2 = ax+c$$

💡 6학년 — 미지의 계수를 문자로 두기.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 3

표현 1 전개: $(x^2+x+1)(ax+b) + (x+2) = ax^3 + (a+b)x^2 + (a+b)x + b + x + 2 = ax^3 + (a+b)x^2 + (a+b+1)x + (b+2)$.

$$P = ax^3 + (a+b)x^2 + (a+b+1)x + (b+2)$$

💡 6학년 — 분배법칙으로 풀고 동류항 정리.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 4

표현 2 전개: $(x^2+1)(ax+c) + (2x+1) = ax^3 + cx^2 + ax + c + 2x + 1 = ax^3 + cx^2 + (a+2)x + (c+1)$.

$$P = ax^3 + cx^2 + (a+2)x + (c+1)$$

💡 6학년 — 같은 방식으로 두 번째 표현도 정리.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.8 단계 5

계수를 차수별로 일치시키기.
$x^3$: 양쪽 $a$ 로 자동 일치.
$x^2$: $a+b = c$.
$x$: $a+b+1 = a+2$ 에서 $b = 1$.
상수: $b+2 = c+1$ 에서 $c = 2$.
$x^2$ 식으로 돌아가 $a+1 = 2$, $a = 1$.

$$a = 1, \quad b = 1, \quad c = 2$$

💡 8학년 — 세 미지수 연립방정식을 대입으로 풀이.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 6

$a=1, b=1$ 을 표현 1 에 대입: $P(x) = x^3 + (1+1)x^2 + (1+1+1)x + (1+2) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3$.
표현 2 로 확인 ($c=2$): $x^3 + 2x^2 + (1+2)x + (2+1) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3$.
일치.

$$P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3$$

💡 6학년 — 대입해 $P(x)$ 를 읽고 두 표현이 같은지 확인.

#3 가능성 지우기 6.EE.A.1 단계 7

$P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3$ 의 계수 $1, 2, 3, 3$ 의 제곱의 합: $1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 + 9 = 23$.
정답 (E).

$$1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 = 23 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 6학년 — 거듭제곱 포함 수치식 계산 후 선택지 확인.

[1] #9 6.EE.A.4 쉬운 경우부터: $P$ 가 차수 $2$ 라면? 그러면 두 몫 $Q_1, Q_2$ 가 모두 상수, $c_1, c_2$. 전개: $P = c_1 x

[2] #9 6.EE.A.2 차수 $3$ 시도. 이때 몫 $Q_1, Q_2$ 는 1차. 두 표현의 $x^3$ 계수가 같아야 하므로 $Q_1(x) = ax+b, Q_2(x)

[3] #7 6.EE.A.3 표현 1 전개: $(x^2+x+1)(ax+b) + (x+2) = ax^3 + (a+b)x^2 + (a+b)x + b + x + 2 = ax^3

[4] #7 6.EE.A.3 표현 2 전개: $(x^2+1)(ax+c) + (2x+1) = ax^3 + cx^2 + ax + c + 2x + 1 = ax^3 + cx^2 +

[5] #13 8.EE.C.8 계수를 차수별로 일치시키기. $x^3$: 양쪽 $a$ 로 자동 일치. $x^2$: $a+b = c$. $x$: $a+b+1 = a+2$ 에서 $

[6] #13 6.EE.A.2 $a=1, b=1$ 을 표현 1 에 대입: $P(x) = x^3 + (1+1)x^2 + (1+1+1)x + (1+2) = x^3 + 2x^2 +

[7] #3 6.EE.A.1 $P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3$ 의 계수 $1, 2, 3, 3$ 의 제곱의 합: $1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 =

검토

합리성 확인: 수치 점검. $P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3$ 을 원래 조건에 다시 대입. $x^2+x+1$ 로 나누면 $P = (x^2+x+1)(x+1) + (x+2)$, 나머지 $x+2$ — 일치. $x^2+1$ 로 나누면 $P = (x^2+1)(x+2) + (2x+1)$, 나머지 $2x+1$ — 일치. 계수 제곱 합 $1+4+9+9 = 23$, 정확히 (E). 차수 $2$ 시도가 $3 = 2$ 라는 수치 모순으로 실패했으니 차수 $3$ 이 최소가 맞음. 선택지 $10, 13, 19, 20$ 은 계수 하나를 빠뜨리거나 제곱 안 한 합 $1+2+3+3 = 9$ 같은 함정.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기). 두 나머지 $x+2, 2x+1$ 의 차수 $\le 1$. 다항식 중국인 나머지 정리식 논증으로 최소 차수는 $\deg((x^2+x+1)(x^2+1)) = 4$ 미만, 즉 $\deg P \le 3$. 차수 $2$ 모순까지 합쳐 $\deg P = 3$ 이 강제됨. 이후 $\omega$ ($\omega^2+\omega+1 = 0$) 와 $i$ ($i^2+1=0$) 를 $P$ 에 대입해 $P(\omega) = \omega+2, P(i) = 2i+1$ 을 얻고 이 네 조건으로 네 미지 계수를 복원.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.1 거듭제곱이 포함된 수치식을 쓰고 계산 (최종 답 $1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 = 23$ 계산.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 표현식 쓰기·읽기·계산 (1차 몫의 미지 계수를 $a, b, c$ 로 두고 대입해 $P(x)$ 복원.)
6.EE.A.3 연산 성질로 동치 표현식 만들기 ($(x^2+x+1)(ax+b), (x^2+1)(ax+c)$ 분배 후 동류항 정리.)
6.EE.A.4 두 표현식이 동치인지 판단 (차수 $2$ 시도: 두 표현의 모든 계수가 같아야 하는데 모순.)
8.EE.C.8 한 쌍의 연립 일차방정식 분석·풀이 ($a+b=c, b=1, b+2=c+1$ 연립을 풀어 $a, b, c$ 결정.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 연립방정식만 있으면 풀려요 — 가장 작은 차수부터 시도하면 ($3=2$ 라는 깔끔한 모순으로) 막히고, 다음 차수에서 미지 계수를 문자로 두고 동류항 비교로 세 식의 연립을 만듭니다. 풀면 $P(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 3$, 계수 제곱 합은 $1+4+9+9 = 23$.