AMC 10 · 2022 · #22

학년 8 arithmetic

tangent-circlescoordinate-geometryarea-circlescaseworksystems-of-equations caseworkidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: tangent-circlescoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Let $S$ be the set of circles in the coordinate plane that are tangent to each of the three circles with equations $x^{2}+y^{2}=4$ , $x^{2}+y^{2}=64$ , and $(x-5)^{2}+y^{2}=3$ . What is the sum of the areas of all circles in $S$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$48\pi$

(B)

$68\pi$

(C)

$96\pi$

(D)

$102\pi$

(E)

$136\pi$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 원 — $C_1: x^2+y^2=4$ (중심 $O$, 반지름 $2$), $C_2: x^2+y^2=64$ (중심 $O$, 반지름 $8$), $C_3: (x-5)^2+y^2=3$ (중심 $(5,0)$, 반지름 $\sqrt{3}$) — 모두에 접하는 원 $S$ 들의 모임을 생각합니다. 이런 원 $S$ 들의 넓이의 총합을 구하세요.

주어진 것: $C_1, C_2$ 는 원점이 공통 중심, 반지름 각각 $2, 8$; $C_3$ 는 중심 $(5,0)$, 반지름 $\sqrt{3}$; $C_3$ 는 $C_1, C_2$ 사이 환(annulus) 안에 위치 (중심과 원점 거리 $5$, 반지름 $\sqrt{3}$); 선택지: (A) $48\pi$, (B) $68\pi$, (C) $96\pi$, (D) $102\pi$, (E) $136\pi$

구하는 것: 조건을 만족하는 모든 원 $S$ 의 넓이의 합 $\sum_S \pi r_S^2$

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #13 대수로 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기

도구 #1(그림) — 두 동심원과 환 안에 살짝 비껴 들어간 $C_3$ 를 그리면 $S$ 가 $C_1, C_2$ 사이에 들어가는 방식이 둘뿐임이 보임. 도구 #9(더 쉬운 문제) — 먼저 "두 동심원 모두에 접하는 원" 이라는 작은 문제부터 풀면 반지름이 $3$ 또는 $5$ 둘 중 하나로 강제됨. 도구 #7(쪼개기) — 두 경우(반지름 $3, 5$) 안에서 $C_3$ 접선 부호 선택으로 다시 둘로 분기. 도구 #2(나열) — 누락 없이 모든 접 구성 정리. 도구 #13(대수) — 중심에 대한 거리 방정식으로 각 경우 유효한 원이 실재함을 확인.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

$C_1$ (반지름 $2$), $C_2$ (반지름 $8$) 을 원점 공통으로 그리기.
두 원 사이 환의 폭은 $8 - 2 = 6$.
$C_3$ 는 $(5,0)$ 중심, 반지름 $\sqrt{3} \approx 1.73$.
$5 - \sqrt{3} \approx 3.27 > 2$ 이고 $5 + \sqrt{3} \approx 6.73 < 8$ 이므로 $C_3$ 전체가 환 안에 있음.

$$\text{환 폭} = 8 - 2 = 6, \quad C_3 \subset \text{환}$$

💡 7학년 — $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 형태에서 원의 중심·반지름 읽고 그리기.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.G.B.4 단계 2

쉬운 보조 문제: 동심원 $C_1, C_2$ 둘 다에 접하는 원 $S$ (반지름 $r$, 중심 $C$) 는?
원점까지 거리 $d = |OC|$.
두 가지 뿐: (i) $S$ 가 환 내부, $C_1$ 외접·$C_2$ 내접 — $d = r+2 = 8-r$, 따라서 $r = 3, d = 5$.
(ii) $S$ 가 $C_1$ 포함·$C_2$ 안 — $d = r-2 = 8-r$, 따라서 $r = 5, d = 3$.

$$r = 3, \;d = 5 \quad \text{또는} \quad r = 5, \;d = 3$$

💡 7학년 — 두 원의 접 조건을 중심 거리 $d = r_1 \pm r_2$ 로 옮겨 적기.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.8 단계 3

그래서 해답 원의 중심은 $x^2+y^2 = 25$ ($r=3$ 경우) 또는 $x^2+y^2 = 9$ ($r=5$ 경우) 위에 놓임.
추가로 $C_3$ 접 조건 $\text{dist}(C,(5,0)) = r \pm \sqrt{3}$ 을 양변 제곱하면 $(x-5)^2 + y^2 = (r \pm \sqrt{3})^2$.

$$(x-5)^2 + y^2 = (r \pm \sqrt{3})^2$$

💡 8학년 — 좌표평면에서 두 점 사이 거리 공식으로 세 번째 접 조건을 식으로.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.8 단계 4

경우 A ($r=3$): $(x-5)^2 + y^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2 = 25 + 25 - 10x = 50 - 10x$ ($x^2+y^2=25$ 대입).
그래서 $50 - 10x = (3 \pm \sqrt{3})^2$.
두 부호로 서로 다른 $x$ 값 두 개, 그리고 각 $x$ 에 $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ 로 두 중심 ($x$ 축 대칭).
총 $2 \times 2 = 4$ 개 원 ($r=3$).

$$50 - 10x = (3 \pm \sqrt{3})^2 \;\Rightarrow\; 4 \text{ 개}$$

💡 8학년 — 두 부호 선택 $\times$ $x$ 축 대칭 두 반사.

#13 대수로 바꾸기 8.G.B.8 단계 5

경우 B ($r=5$): 같은 전개, 이번엔 $x^2+y^2=9$.
$(x-5)^2 + y^2 = 9 + 25 - 10x = 34 - 10x = (5 \pm \sqrt{3})^2$.
또 부호별로 $x$ 두 개.
점검: $(5+\sqrt{3})^2 \approx 45.3$ 에서 $x \approx -1.13$, $(5-\sqrt{3})^2 \approx 10.7$ 에서 $x \approx 2.33$.
모두 $|x| < 3$ 이라 $y$ 실수.
다시 $4$ 개 원 ($r=5$).

$$34 - 10x = (5 \pm \sqrt{3})^2 \;\Rightarrow\; 4 \text{ 개}$$

💡 8학년 — 같은 방식을 두 번째 반지름에 적용.

#2 빠짐없이 나열하기 7.G.B.4 단계 6

넓이 정리.
$r=3$ 인 $4$ 개 원 $\to 4 \cdot \pi \cdot 3^2 = 36\pi$.
$r=5$ 인 $4$ 개 원 $\to 4 \cdot \pi \cdot 5^2 = 100\pi$.
합 $36\pi + 100\pi = 136\pi$, 정답 (E).

$$36\pi + 100\pi = 136\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 7학년 — 원의 넓이 $\pi r^2$ 을 여덟 개 원에 대해 합.

[1] #1 7.G.B.4 $C_1$ (반지름 $2$), $C_2$ (반지름 $8$) 을 원점 공통으로 그리기. 두 원 사이 환의 폭은 $8 - 2 = 6$. $C_3$

[2] #9 7.G.B.4 쉬운 보조 문제: 동심원 $C_1, C_2$ 둘 다에 접하는 원 $S$ (반지름 $r$, 중심 $C$) 는? 원점까지 거리 $d = |OC|$.

[3] #7 8.G.B.8 그래서 해답 원의 중심은 $x^2+y^2 = 25$ ($r=3$ 경우) 또는 $x^2+y^2 = 9$ ($r=5$ 경우) 위에 놓임. 추가로 $

[4] #13 8.G.B.8 경우 A ($r=3$): $(x-5)^2 + y^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2 = 25 + 25 - 10x = 50 - 10x$

[5] #13 8.G.B.8 경우 B ($r=5$): 같은 전개, 이번엔 $x^2+y^2=9$. $(x-5)^2 + y^2 = 9 + 25 - 10x = 34 - 10x =

[6] #2 7.G.B.4 넓이 정리. $r=3$ 인 $4$ 개 원 $\to 4 \cdot \pi \cdot 3^2 = 36\pi$. $r=5$ 인 $4$ 개 원 $\to

검토

합리성 확인: 수치 점검. 두 동심원만으로 $S$ 의 반지름이 $\{3, 5\}$ 둘 중 하나라는 깔끔한 기하 강제 — 그림으로 즉시 검증 가능. 세 번째 원 $C_3$ 와의 접 조건은 부호 $\pm$ 와 $y$ 축 대칭으로 한 반지름당 $4$ 개씩 나옴. 각 경우 계산한 $x$ 가 해당 중심 궤적 원 내부 ($|x|<5$ 또는 $|x|<3$) 이므로 $y$ 가 실수이고 여덟 원 모두 실재. 합 $36\pi+100\pi = 136\pi$ 가 정확히 (E). 선택지 $48\pi, 68\pi, 96\pi, 102\pi$ 는 한 경우 또는 한 부호 누락 함정.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기). 답은 $\pi$ 의 정수배여야 하고, 정확히 $36 k_1 + 100 k_2$ ($k_1, k_2 \in \{0,1\}$) 형태 — 누락 가능한 경우 수에 따라. $(k_1, k_2) = (1,1)$ 만 $136\pi$ 를 주고 이것이 (E). 더 작은 선택지들은 한 경우 전체를 놓쳤을 때 나오는 값들.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.B.4 원의 넓이·둘레 공식 알고 문제 해결 (원 방정식에서 원 식별, 총 넓이 $4\pi \cdot 9 + 4\pi \cdot 25 = 136\pi$ 계산.)
8.G.B.8 피타고라스 정리로 좌표평면 두 점 거리 구하기 ($C_3$ 와 접 조건 $(x-5)^2 + y^2 = (r \pm \sqrt{3})^2$ 의 거리 방정식 설정.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 좌표평면 거리 공식만 있으면 풀려요 — 같은 중심의 두 원을 그리면 즉시 미지 반지름이 $3$ 또는 $5$ 둘 중 하나로 좁혀지고, 각 경우 세 번째 원과의 접 부호 두 가지 $\times$ 대칭 두 가지 $= 4$ 개씩. 총 여덟 원, 합한 넓이 $4\pi(9) + 4\pi(25) = 136\pi$.