AMC 10 · 2022 · #24

학년 8 algebra

lipschitz-conditionfunction-evaluationabsolute-valuebound-inequality-then-enumerateextremal-construction work-backwardsconvert-to-algebraeasier-related-problem ↑ 선수 지식: function-evaluationabsolute-value

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

Consider functions $f$ that satisfy $|f(x)-f(y)|\leq \frac{1}{2}|x-y|$ for all real numbers $x$ and $y$ . Of all such functions that also satisfy the equation $f(300) = f(900)$ , what is the greatest possible value of
$f(f(800))-f(f(400))?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

150

(E)

200

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 가 모든 실수 $x, y$ 에 대해 $|f(x) - f(y)| \le \tfrac{1}{2}|x - y|$ 를 만족하고 또 $f(300) = f(900)$ 라 합니다. 이런 $f$ 들 중에서 $f(f(800)) - f(f(400))$ 의 최댓값은?

주어진 것: $|f(x) - f(y)| \le \tfrac{1}{2}|x - y|$ (Lipschitz, 상수 $\tfrac{1}{2}$); $f(300) = f(900)$ — 이 공통값을 $c$ 라 하자; 선택지: (A) $25$, (B) $50$, (C) $100$, (D) $150$, (E) $200$

구하는 것: $f(f(800)) - f(f(400))$ 의 최댓값

이해

계획

주요 도구: #11 거꾸로 풀기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #1 그림 그리기, #6 추측하고 확인하기

도구 #11(거꾸로) — 구하는 양 $f(f(800)) - f(f(400))$ 에 Lipschitz 를 적용해 바깥 $f$ 를 먼저 벗기고 $|f(800) - f(400)|$ 을 한정하는 문제로 환원. 도구 #9(더 쉬운 문제) — "$f(300) = f(900) = c$ 조건 하 $f(800), f(400)$ 의 차이의 최댓값은?" 보조 문제 해결. 도구 #13(대수) — 두 한정을 결합해 $\le 50$ 도출. 도구 #1(그림) — 모든 기울기 $\le \tfrac{1}{2}$ 인 조각별 일차함수 그래프로 등식 도달 입증. 도구 #6(추측 확인) — 구체적인 $f$ 후보를 제시하고 각 기울기 점검.

실행 — 정답: B

#11 거꾸로 풀기 8.F.A.1 단계 1

바깥 $f$ 부터 Lipschitz 로 벗기기.
$u = f(800), v = f(400)$ (실수!) 로 두면 $|f(u) - f(v)| \le \tfrac{1}{2}|u - v|$, 즉 $|f(f(800)) - f(f(400))| \le \tfrac{1}{2}|f(800) - f(400)|$.
문제는 $|f(800) - f(400)|$ 한정으로 환원.

$$|f(f(800)) - f(f(400))| \le \tfrac{1}{2}|f(800) - f(400)|$$

💡 8학년 — Lipschitz 부등식은 임의의 두 실수 입력에 적용 — $f(800), f(400)$ 포함.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.NS.A.3 단계 2

$f(900) = c$ 를 기준점으로 $f(800)$ 한정: $|f(800) - c| = |f(800) - f(900)| \le \tfrac{1}{2}|800 - 900| = 50$.
$f(300) = c$ 를 기준점으로 $f(400)$ 한정: $|f(400) - c| \le \tfrac{1}{2}|400 - 300| = 50$.
따라서 $f(800), f(400) \in [c - 50, c + 50]$.

$$f(800), f(400) \in [c - 50, c + 50]$$

💡 7학년 — 기준점 $c$ 와의 거리는 입력 거리의 절반 이내.

#13 대수로 바꾸기 7.NS.A.3 단계 3

차: $f(800) - f(400) \le (c+50) - (c-50) = 100$ 이고 $\ge -100$, 따라서 $|f(800) - f(400)| \le 100$.
단계 1 에 대입: $|f(f(800)) - f(f(400))| \le \tfrac{1}{2}(100) = 50$.
답은 최대 $50$.

$$f(f(800)) - f(f(400)) \le 50$$

💡 7학년 — 구간 양 끝의 차로 차의 가능한 범위를 읽기.

#11 거꾸로 풀기 8.F.B.4 단계 4

$50$ 도달 가능함 보이기.
위 모든 부등식이 등식이 되어야 함.
편의상 $c = 0$, 즉 $f(300) = f(900) = 0$.
목표는 $f(800) = 50, f(400) = -50$, 그리고 $f(50) - f(-50) = 50$ ($f(800)=50, f(400)=-50$ 이면 $f(f(800)) - f(f(400)) = f(50) - f(-50)$).
$f(50) - f(-50) = 50$ 을 Lipschitz 극한에서 달성하려면 $-50 \to 50$ 사이 기울기 정확히 $\tfrac{1}{2}$.

$$f(300) = f(900) = 0, \; f(800) = 50, \; f(400) = -50, \; f(50) - f(-50) = 50$$

💡 8학년 — 등식 조건에서 거꾸로 작업해 $f$ 의 요구값 설계.

#6 추측하고 확인하기 8.F.B.4 단계 5

꼭짓점 $(-50, -25), (50, 25), (300, 0), (400, -50), (800, 50), (900, 0)$ 인 조각별 일차함수로 $f$ 구성 (좌우 바깥은 상수 연장).
각 구간 기울기 계산: $(-50,-25)\to(50,25)$: $\tfrac{50}{100} = \tfrac{1}{2}$.
$(50,25)\to(300,0)$: $\tfrac{-25}{250} = -\tfrac{1}{10}$.
$(300,0)\to(400,-50)$: $-\tfrac{1}{2}$.
$(400,-50)\to(800,50)$: $\tfrac{100}{400} = \tfrac{1}{4}$.
$(800,50)\to(900,0)$: $-\tfrac{1}{2}$.
모두 $|\text{기울기}| \le \tfrac{1}{2}$.

$$|\text{기울기}| \le \tfrac{1}{2} \text{ (모든 구간)}$$

💡 8학년 — 조각별 일차함수에서 Lipschitz $\tfrac{1}{2}$ 는 모든 구간 기울기 $\le \tfrac{1}{2}$ 와 동치.

#13 대수로 바꾸기 5.NBT.B.7 단계 6

목표 확인.
$f(800) = 50, f(400) = -50$ 이라 $f(f(800)) = f(50) = 25, f(f(400)) = f(-50) = -25$.
따라서 $f(f(800)) - f(f(400)) = 25 - (-25) = 50$.
상한 $50$ 도달, 최댓값은 정확히 $50$.
정답 (B).

$$f(f(800)) - f(f(400)) = 25 - (-25) = 50 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 5학년 — 간단한 뺄셈으로 값 확인.

[1] #11 8.F.A.1 바깥 $f$ 부터 Lipschitz 로 벗기기. $u = f(800), v = f(400)$ (실수!) 로 두면 $|f(u) - f(v)| \l

[2] #9 7.NS.A.3 $f(900) = c$ 를 기준점으로 $f(800)$ 한정: $|f(800) - c| = |f(800) - f(900)| \le \tfrac{1

[3] #13 7.NS.A.3 차: $f(800) - f(400) \le (c+50) - (c-50) = 100$ 이고 $\ge -100$, 따라서 $|f(800) - f(4

[4] #11 8.F.B.4 $50$ 도달 가능함 보이기. 위 모든 부등식이 등식이 되어야 함. 편의상 $c = 0$, 즉 $f(300) = f(900) = 0$. 목표는

[5] #6 8.F.B.4 꼭짓점 $(-50, -25), (50, 25), (300, 0), (400, -50), (800, 50), (900, 0)$ 인 조각별 일차함수

[6] #13 5.NBT.B.7 목표 확인. $f(800) = 50, f(400) = -50$ 이라 $f(f(800)) = f(50) = 25, f(f(400)) = f(-50

검토

합리성 확인: 수치 점검. Lipschitz 상수 $\tfrac{1}{2}$ 가 부등식을 쓸 때마다 "거리 예산" 을 절반으로. 두 번 적용 = 1/4. 입력 차이 $|800 - 400| = 400$ 에서 naïve 하게 $\tfrac{1}{4}\cdot 400 = 100$ 일 듯하지만, 기준점 $f(300) = f(900) = c$ 가 $f(800), f(400)$ 을 폭 $100$ 의 띠로 묶어 (폭 $200$ 이 아니라) 안쪽 차이가 최대 $100$, 다시 절반 해서 $50$. 구성으로 $50$ 달성 확인, 정답 (B). 선택지 (E) $200 = \tfrac{1}{2}\cdot 400$ 는 기준점과 Lipschitz 한 번을 모두 무시; (C) $100$ 은 Lipschitz 한 번을 무시; (A) $25$ 는 과도 보정.

대안 접근: 도구 #1(그림). $y = f(x)$ 그래프. 조건 $|f(x)-f(y)| \le \tfrac{1}{2}|x-y|$ 은 그래프가 모든 점에서 기울기 $\pm \tfrac{1}{2}$ 선 사이에 위치함을 의미. $f(300) = f(900) = c$ 에서 두 점으로부터 $\pm \tfrac{1}{2}$ 이중원뿔이 닫히고, $x=400$ 에서 높이 $c \pm 50$, $x=800$ 도 마찬가지. 그림에서 $f(800), f(400) \in [c-50, c+50]$, 차는 $[-100, 100]$. 한 번 더 절반 적용해 $|f(f(800)) - f(f(400))| \le 50$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.NBT.B.7 소수 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈 (백분의 자리) (최댓값 확인을 위한 마지막 뺄셈 $25 - (-25) = 50$.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙 연산으로 실생활·수학 문제 해결 ($f(800), f(400)$ 의 구간 $[c-50, c+50]$ 들의 차를 한정해 $|f(800) - f(400)| \le 100$ 도출.)
8.F.A.1 함수는 각 입력에 정확히 하나의 출력을 대응시키는 규칙 (바깥 $f$ 에 Lipschitz 부등식 적용 (입력 $u = f(800), v = f(400)$).)
8.F.B.4 두 양의 일차 관계를 모형화하는 함수 구성 (모든 기울기 $\le \tfrac{1}{2}$ 인 조각별 일차함수 $f$ 를 명시적으로 만들어 상한 $50$ 도달.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 함수만 있으면 풀려요 — Lipschitz 규칙 "$f$ 의 변화량은 $x$ 변화량의 절반 이하" 가 이중합성 $f(f(\cdot))$ 에 두 번 적용. 기준점 $f(300) = f(900) = c$ 가 $f(800), f(400)$ 을 모두 $c$ 와 $50$ 이내로 묶어 차가 최대 $100$, 한 번 더 절반 해서 답 $\le 50$. 모든 구간 기울기 $\le \tfrac{1}{2}$ 인 조각별 일차함수 그래프로 정확히 $50$ 도달.