AMC 10 · 2022 · #5

학년 8 arithmetic

fraction-arithmeticdifference-of-squarespolynomial-factoringexponents identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticdifference-of-squares

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

What is the value of $\frac{\left(1+\frac13\right)\left(1+\frac15\right)\left(1+\frac17\right)}{\sqrt{\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\left(1-\frac{1}{7^2}\right)}}?$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\sqrt3$

(B)

(C)

$\sqrt{15}$

(D)

(E)

$\sqrt{105}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\dfrac{\left(1 + \tfrac{1}{3}\right)\left(1 + \tfrac{1}{5}\right)\left(1 + \tfrac{1}{7}\right)}{\sqrt{\left(1 - \tfrac{1}{3^2}\right)\left(1 - \tfrac{1}{5^2}\right)\left(1 - \tfrac{1}{7^2}\right)}}$ 의 값을 구합니다. 분자와 근호 안에는 숨은 연결이 있습니다 — $1 - \tfrac{1}{n^2} = \left(1 - \tfrac{1}{n}\right)\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)$ 로 쪼개면 분자에 있는 $\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)$ 들이 근호 안에도 그대로 나타납니다.

주어진 것: 분자: $N = \left(1 + \tfrac{1}{3}\right)\left(1 + \tfrac{1}{5}\right)\left(1 + \tfrac{1}{7}\right)$; 분모: $\sqrt{D}$, 여기서 $D = \left(1 - \tfrac{1}{3^2}\right)\left(1 - \tfrac{1}{5^2}\right)\left(1 - \tfrac{1}{7^2}\right)$; 공식: $1 - \tfrac{1}{n^2} = \left(1 - \tfrac{1}{n}\right)\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)$ (제곱의 차); 선택지: (A) $\sqrt{3}$, (B) $2$, (C) $\sqrt{15}$, (D) $4$, (E) $\sqrt{105}$

구하는 것: $\dfrac{N}{\sqrt{D}}$ 의 간단해진 값

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #13 대수로 바꾸기, #6 추측하고 확인하기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 식을 세 단계로 — (가) 근호 안을 인수분해, (나) 비율을 단순화, (다) 마지막 계산. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 (가) 의 지렛대 "제곱의 차" $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ 를 $1 - \tfrac{1}{n^2}$ 에 적용합니다. 그러면 전체가 하나의 깔끔한 분수의 제곱근으로 정리되고 약분이 한 번에 마무리. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 객관식 안전망 — 답이 $\sqrt{3}, 2, \sqrt{15}, 4, \sqrt{105}$ 중 하나이므로 수치가 나오면 바로 대조 가능.

실행 — 정답: B

#13 대수로 바꾸기 7.EE.A.1 단계 1

근호 안 각 인수에 제곱의 차를 적용: $1 - \tfrac{1}{n^2} = \left(1 - \tfrac{1}{n}\right)\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)$ ($n = 3, 5, 7$).

$$D = \left(1 - \tfrac{1}{3}\right)\left(1 + \tfrac{1}{3}\right)\left(1 - \tfrac{1}{5}\right)\left(1 + \tfrac{1}{5}\right)\left(1 - \tfrac{1}{7}\right)\left(1 + \tfrac{1}{7}\right)$$

💡 제곱의 차는 7학년 "일차식의 인수분해·전개" — 각 $1 - \tfrac{1}{n^2}$ 가 우리가 필요한 두 조각으로 정확히 갈라집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 2

$D$ 의 인수들을 묶어 $(1 + \tfrac{1}{n})$ 쪽이 분자 $N$ 과 정렬되도록.
$M = \left(1 - \tfrac{1}{3}\right)\left(1 - \tfrac{1}{5}\right)\left(1 - \tfrac{1}{7}\right)$ 라 하면 $D = N \cdot M$, 따라서 $\sqrt{D} = \sqrt{N} \cdot \sqrt{M}$.
전체식이 $\dfrac{N}{\sqrt{N} \cdot \sqrt{M}} = \dfrac{\sqrt{N}}{\sqrt{M}} = \sqrt{\dfrac{N}{M}}$ 가 됩니다.

$$\dfrac{N}{\sqrt{D}} = \dfrac{N}{\sqrt{N \cdot M}} = \sqrt{\dfrac{N}{M}}$$

💡 $\tfrac{a}{\sqrt{a}} = \sqrt{a}$ 가 무거운 분수를 깨끗한 제곱근으로 압축 — 8학년 "제곱근 기호로 해 나타내기".

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 3

$N$ 과 $M$ 의 각 단순 분수를 계산 (공통분모로 더하기·빼기).

$$N = \tfrac{4}{3} \cdot \tfrac{6}{5} \cdot \tfrac{8}{7}, \quad M = \tfrac{2}{3} \cdot \tfrac{4}{5} \cdot \tfrac{6}{7}$$

💡 $1 \pm \tfrac{1}{n} = \tfrac{n \pm 1}{n}$ — 5학년 "분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈". 여기서는 $1$ 에 단위분수만 더하고 빼는 가장 단순한 형태.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 4

$\tfrac{N}{M}$ 을 구성.
분모의 $3 \cdot 5 \cdot 7$ 이 약분되고, 남은 분자에서 $4$ 와 $6$ 도 사라집니다.

$$\dfrac{N}{M} = \dfrac{\tfrac{4 \cdot 6 \cdot 8}{3 \cdot 5 \cdot 7}}{\tfrac{2 \cdot 4 \cdot 6}{3 \cdot 5 \cdot 7}} = \dfrac{4 \cdot 6 \cdot 8}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \dfrac{8}{2} = 4$$

💡 분수 × 분수와 약분 — 5학년 "분수 곱셈". 모든 인수가 깔끔하게 짝지어집니다.

#6 추측하고 확인하기 8.EE.A.2 단계 5

제곱근을 취해 마무리.

$$\sqrt{\dfrac{N}{M}} = \sqrt{4} = 2 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $\sqrt{4} = 2$ — 8학년 "제곱근 기호". 선택지와 대조하면 (B) 와 정확히 일치.

[1] #13 7.EE.A.1 근호 안 각 인수에 제곱의 차를 적용: $1 - \tfrac{1}{n^2} = \left(1 - \tfrac{1}{n}\right)\left(1

[2] #7 8.EE.A.2 $D$ 의 인수들을 묶어 $(1 + \tfrac{1}{n})$ 쪽이 분자 $N$ 과 정렬되도록. $M = \left(1 - \tfrac{1}{3

[3] #7 5.NF.A.1 $N$ 과 $M$ 의 각 단순 분수를 계산 (공통분모로 더하기·빼기).

[4] #7 5.NF.B.4 $\tfrac{N}{M}$ 을 구성. 분모의 $3 \cdot 5 \cdot 7$ 이 약분되고, 남은 분자에서 $4$ 와 $6$ 도 사라집니다.

[5] #6 8.EE.A.2 제곱근을 취해 마무리.

검토

합리성 확인: 어림 검산. $1 + \tfrac{1}{n}$ 은 $1$ 보다 살짝 크고, $1 - \tfrac{1}{n}$ 은 살짝 작으므로 $\tfrac{1 + 1/n}{1 - 1/n}$ 은 $1$ 보다 조금 큼. $n = 3, 5, 7$ 에 대한 곱은 $1$ 보다 크고 $10$ 보다 훨씬 작은 범위, 제곱근까지 씌우면 $1$ 에 더 가까워집니다. 값 $2$ 가 그 크기 감각과 정확히 맞고, 약분 $4 \cdot 6 \cdot 8 = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 4$ 로 $\sqrt{4} = 2$ 가 근사가 아닌 정확한 값임이 보장됩니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기). 더 작은 버전 $n = 3$ 하나만 시도: $\dfrac{1 + \tfrac{1}{3}}{\sqrt{1 - \tfrac{1}{9}}} = \dfrac{4/3}{\sqrt{8/9}} = \dfrac{4/3}{(2\sqrt{2})/3} = \dfrac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. 즉 $\dfrac{1 + 1/n}{\sqrt{1 - 1/n^2}} = \sqrt{\dfrac{1 + 1/n}{1 - 1/n}} = \sqrt{\dfrac{n+1}{n-1}}$. $n = 3, 5, 7$ 을 곱하면 $\sqrt{\tfrac{4}{2} \cdot \tfrac{6}{4} \cdot \tfrac{8}{6}} = \sqrt{\tfrac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$. 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($1 \pm \tfrac{1}{n} = \tfrac{n \pm 1}{n}$ 을 $n = 3, 5, 7$ 에 대해 계산하는 데 사용.)
5.NF.B.4 분수 × 분수의 곱셈 ($N, M$ 내 단순 분수의 곱과 $N/M$ 비율에서 공통 인수를 약분하는 데 사용.)
7.EE.A.1 일차식의 덧셈·뺄셈·인수분해·전개 ($1 - \tfrac{1}{n^2}$ 를 제곱의 차 $\left(1 - \tfrac{1}{n}\right)\left(1 + \tfrac{1}{n}\right)$ 로 인수분해하는 핵심 지렛대.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해 나타내기 ($\tfrac{N}{\sqrt{N \cdot M}}$ 를 $\sqrt{N/M}$ 로 압축하고 마지막에 $\sqrt{4} = 2$ 로 마무리하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "$1 - \tfrac{1}{n^2} = (1 - \tfrac{1}{n})(1 + \tfrac{1}{n})$" 만 알면 풀 수 있어요 — 이 인수분해 한 줄에 거대한 분수가 무너져 $\sqrt{4} = 2$ 가 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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