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AMC 10 · 2022 · #9

학년 7 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition
factorialfraction-arithmetictelescoping-sumpattern-recognition pattern-recognitioneasier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: factorialfraction-arithmetic
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The sum
12!+23!+34!+⋯+20212022!\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+\cdots+\frac{2021}{2022!} can be expressed as a−1b!a-\frac{1}{b!}, where aa and bb are positive integers. What is a+ba+b?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2020
(B)
2021
(C)
2022
(D)
2023
(E)
2024
보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 합 $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{2021}{2022!}$ 이 양의 정수 $a, b$ 에 대해 $a - \frac{1}{b!}$ 로 표현됩니다. $a + b$ 를 구하세요.

주어진 것: 각 항은 $\frac{n}{(n+1)!}$ 꼴, $n = 1, 2, \ldots, 2021$; 정의 — $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k$, $(k+1)! = (k+1) \cdot k!$; 목표 형태: 합 $= a - \frac{1}{b!}$, $a, b$ 는 양의 정수; 선택지: (A) $2020$, (B) $2021$, (C) $2022$, (D) $2023$, (E) $2024$

구하는 것: $a$ 와 $b$ 의 값; $a + b$

이해

문제 재정리: 합 $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \cdots + \frac{2021}{2022!}$ 이 양의 정수 $a, b$ 에 대해 $a - \frac{1}{b!}$ 로 표현됩니다. $a + b$ 를 구하세요.

주어진 것: 각 항은 $\frac{n}{(n+1)!}$ 꼴, $n = 1, 2, \ldots, 2021$; 정의 — $k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k$, $(k+1)! = (k+1) \cdot k!$; 목표 형태: 합 $= a - \frac{1}{b!}$, $a, b$ 는 양의 정수; 선택지: (A) $2020$, (B) $2021$, (C) $2022$, (D) $2023$, (E) $2024$

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #7 작은 문제로 쪼개기

$2021$ 항을 직접 더하는 것은 불가능. 도구 #9(더 쉬운 문제)로 처음 $2, 3$ 개 부분합부터 — 모양을 본다. 도구 #5(패턴)로 작은 경우에서 닫힌 형태를 추측, 한 번 더 확인. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 '한 항을 차로 다시 쓰기'(이웃과 상쇄되게)와 '다시 쓴 항들을 합치기'로 분리. $\frac{n}{(n+1)!}$ 을 $\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$ 로 다시 쓰면 전체 합이 망원경처럼 접혀 거의 다 사라짐.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NF.A.1 단계 1
  • 가장 작은 부분합 계산.
  • $S_1 = \frac{1}{2!} = \frac{1}{2}$.
  • $S_2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$.
  • $S_3 = \frac{5}{6} + \frac{3}{24} = \frac{20}{24} + \frac{3}{24} = \frac{23}{24}$.
$$S_1 = \tfrac{1}{2},\;S_2 = \tfrac{5}{6},\;S_3 = \tfrac{23}{24}$$

💡 구체적 세 값으로 패턴 찾을 데이터 확보.

#5 패턴 찾기 5.OA.B.3 단계 2
  • 패턴 찾기.
  • $S_1 = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$.
  • $S_2 = \frac{5}{6} = 1 - \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{3!}$.
  • $S_3 = \frac{23}{24} = 1 - \frac{1}{24} = 1 - \frac{1}{4!}$.
  • 추측 — $S_n = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$.
$$S_1 = 1 - \tfrac{1}{2!},\;S_2 = 1 - \tfrac{1}{3!},\;S_3 = 1 - \tfrac{1}{4!}$$

💡 각 부분합은 $1$ 에서 정확히 다음 단계 계승의 역수만큼 부족.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.EE.A.2 단계 3
  • 패턴의 정체를 설명하는 재작성.
  • 분자 $n$ 을 $n = (n+1) - 1$ 로 나누면 $\frac{n}{(n+1)!} = \frac{(n+1) - 1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$ ($(n+1)! = (n+1) \cdot n!$ 사용).
$$\dfrac{n}{(n+1)!} = \dfrac{1}{n!} - \dfrac{1}{(n+1)!}$$

💡 $n$ 을 $(n+1) - 1$ 로 쪼개면 각 항이 이웃하는 두 계승 역수의 *차* — 줄줄이 상쇄되는 모양.

#5 패턴 찾기 7.EE.A.1 단계 4
  • 망원경 합.
  • 각 항을 차로 풀어 — $S = (\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!}) + (\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) + (\frac{1}{3!} - \frac{1}{4!}) + \cdots + (\frac{1}{2021!} - \frac{1}{2022!})$.
  • 첫 괄호의 $-\frac{1}{2!}$ 과 둘째 괄호의 $+\frac{1}{2!}$ 가 상쇄, 그 다음도 마찬가지.
  • 처음 $+\frac{1}{1!}$ 과 마지막 $-\frac{1}{2022!}$ 만 남음.
$$S = \dfrac{1}{1!} - \dfrac{1}{2022!} = 1 - \dfrac{1}{2022!}$$

💡 안쪽 모든 항은 한 번은 $+$, 한 번은 $-$ 로 등장 — 도미노처럼 무너짐.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.4 단계 5
  • 목표 형태 $a - \frac{1}{b!}$ 와 맞춤.
  • $S = 1 - \frac{1}{2022!}$ 이므로 $a = 1$, $b = 2022$.
  • 둘 다 양의 정수 ✓.
$$1 - \dfrac{1}{2022!} = a - \dfrac{1}{b!} \;\Rightarrow\; a = 1,\;b = 2022$$

💡 같은 형태의 두 식은 항별로 일치.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.NBT.B.4 단계 6
  • 합 — $a + b = 1 + 2022 = 2023$.
  • 답 (D).
$$a + b = 1 + 2022 = 2023 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 간단한 덧셈으로 마무리.

[1] #9 5.NF.A.1 가장 작은 부분합 계산. $S_1 = \frac{1}{2!} = \frac{1}{2}$. $S_2 = \frac{1}{2} + \frac{2}{
[2] #5 5.OA.B.3 패턴 찾기. $S_1 = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}$. $S_2 = \frac{5}{6} = 1 - \frac{1}{
[3] #7 7.EE.A.2 패턴의 정체를 설명하는 재작성. 분자 $n$ 을 $n = (n+1) - 1$ 로 나누면 $\frac{n}{(n+1)!} = \frac{(n+1)
[4] #5 7.EE.A.1 망원경 합. 각 항을 차로 풀어 — $S = (\frac{1}{1!} - \frac{1}{2!}) + (\frac{1}{2!} - \frac{1
[5] #7 6.EE.A.4 목표 형태 $a - \frac{1}{b!}$ 와 맞춤. $S = 1 - \frac{1}{2022!}$ 이므로 $a = 1$, $b = 2022$
[6] #9 4.NBT.B.4 합 — $a + b = 1 + 2022 = 2023$. 답 (D).

검토

합리성 확인: 작은 $n$ 독립 검증 — $n = 3$ 까지의 합에 공식 적용 $S_3 = 1 - \frac{1}{4!} = \frac{23}{24}$, 1단계 직접 계산과 일치 ✓. 크기 감각 — $\frac{1}{2022!}$ 은 천문학적으로 작으므로 합은 $1$ 에 거의 근접, 이는 $\frac{1}{2}, \frac{5}{6}, \frac{23}{24}, \ldots$ 가 $1$ 로 향하는 흐름과 일치. (D) $2023$ 은 $a = 1, b = 2022$ 와 정확히 부합. 가까운 (C) $2022$ 또는 (E) $2024$ 는 망원경 끝항 $b$ 에서 한 칸 어긋난 결과.

대안 접근: 도구 #5(패턴)만으로 — 처음 세 값에서 $S_n = 1 - \frac{1}{(n+1)!}$ 을 추측하고 그대로 $S_{2021} = 1 - \frac{1}{2022!}$ 로 점프. 더 빠르지만 *왜* (재작성 → 망원경)는 빠짐. 두 도구 길이 답과 증명을 함께 줌.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

  • 5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 (분모 $2!, 3!, 4!$ 부분합 $S_1, S_2, S_3$ 계산.)
  • 5.OA.B.3 두 규칙으로 두 수열 만들고 관계 찾기 (각 $S_n$ 이 $1 - \frac{1}{(n+1)!}$ 와 일치함을 관찰.)
  • 7.EE.A.2 문제 통찰을 위해 식을 다른 형태로 다시 쓰기 ($\frac{n}{(n+1)!}$ 을 $\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$ 로 다시 쓰기.)
  • 7.EE.A.1 연산 성질로 일차식 더하기·빼기·인수분해·전개하기 (차들의 연쇄에서 안쪽 $\pm\frac{1}{k!}$ 항들 상쇄.)
  • 6.EE.A.4 두 식이 동치인지 판별하기 ($1 - \frac{1}{2022!}$ 과 $a - \frac{1}{b!}$ 매칭으로 $a = 1, b = 2022$ 읽어내기.)
  • 4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙히 하기 (마지막 $1 + 2022 = 2023$.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 식 다시 쓰기만 알면 풀 수 있어요 — $\frac{n}{(n+1)!}$ 을 $\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$ 로 쪼개면 도미노처럼 상쇄돼 $1 - \frac{1}{2022!}$ 만 남으니, $a + b = 1 + 2022 = 2023$.

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 식 다시 쓰기만 알면 풀 수 있어요 — $\frac{n}{(n+1)!}$ 을 $\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$ 로 쪼개면 도미노처럼 상쇄돼 $1 - \frac{1}{2022!}$ 만 남으니, $a + b = 1 + 2022 = 2023$.

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