AMC 10 · 2023 · #1

학년 6 rate-ratio

ratelinear-equations-one-varunit-conversion dimensional-analysisidentify-subproblems ↑ 선수 지식: ratemulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Cities $A$ and $B$ are $45$ miles apart. Alicia lives in $A$ and Beth lives in $B$ . Alicia bikes towards $B$ at 18 miles per hour. Leaving at the same time, Beth bikes toward $A$ at 12 miles per hour. How many miles from City $A$ will they be when they meet?

$\textbf{(A) }20\qquad\textbf{(B) }24\qquad\textbf{(C) }25\qquad\textbf{(D) }26\qquad\textbf{(E) }27$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $45$ 마일 떨어진 도시 $A$ 와 $B$ 에서 두 사람이 동시에 자전거를 타고 서로 마주 보며 출발합니다. 알리시아는 $A$ 에서 시속 $18$ 마일, 베스는 $B$ 에서 시속 $12$ 마일로 달립니다. 두 사람이 만나는 지점은 도시 $A$ 로부터 몇 마일 떨어져 있을까요?

주어진 것: 도시 $A$ 와 $B$ 사이 거리는 $45$ 마일; 알리시아는 $A$ 에서 $B$ 방향으로 시속 $18$ 마일; 베스는 $B$ 에서 $A$ 방향으로 시속 $12$ 마일; 두 사람은 동시에 출발; 선택지: (A) $20$, (B) $24$, (C) $25$, (D) $26$, (E) $27$

구하는 것: 만나는 지점과 도시 $A$ 사이의 거리 (마일)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #8 단위 살펴보기

도로 위의 위치와 그 위에서의 운동이 나오는 문제 — 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 출발점입니다. $A$ 에서 $B$ 까지의 선분에 두 사람의 화살표와 속력을 적어두면 구조가 단번에 보입니다 — $45$ 마일의 간격이 양쪽에서 합쳐서 시속 $18 + 12 = 30$ 마일로 줄어든다는 것. 거기에 도구 #8(단위 살펴보기)을 짝지어, 마일·시속·시간 단위가 곱셈마다 어떻게 약분되는지 따라가면 최종 답이 "마일"로 떨어지는지 한눈에 확인할 수 있습니다. 대수(#13)도 통하지만, 그림+단위 조합이 6학년 비율 개념에 더 빠르고 시각적입니다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 6.RP.A.2 단계 1

왼쪽에 $A$, 오른쪽에 $B$ 를 두고 $45$ 마일짜리 선분을 그립니다.
$A$ 쪽에는 알리시아의 오른쪽 화살표(시속 $18$ 마일), $B$ 쪽에는 베스의 왼쪽 화살표(시속 $12$ 마일)를 표시합니다.
양 끝에서 동시에 간격이 줄어드는 그림이 됩니다.

$$A \xrightarrow{18\,\text{마일/시간}} \;\cdots\; \xleftarrow{12\,\text{마일/시간}} B, \quad |AB| = 45$$

💡 도로에 두 화살표를 그리면 문장제가 "좁아지는 간격" 그림으로 바뀝니다 — "시속" 이 곧 간격이 줄어드는 속도라는 6학년 단위비율 사고.

#1 그림 그리기 4.OA.A.3 단계 2

그림에서 두 화살표가 동시에 간격을 줄이므로 속력은 더해집니다.
합친 속력(접근 속력)을 계산합니다.

$$18 + 12 = 30 \text{ 마일/시간}$$

💡 두 물체가 서로 마주 보고 움직이면 간격은 두 속력의 합으로 줄어든다 — 4학년 다단계 문장제의 덧셈.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 3

$45$ 마일 간격을 시속 $30$ 마일로 나누면 만나는 데 걸리는 시간이 나옵니다.
단위 추적: 마일 $\div$ 마일/시간 $=$ 시간.

$$t = \dfrac{45 \text{ mi}}{30 \text{ mi/hr}} = 1.5 \text{ hr}$$

💡 거리 $\div$ 속력 $=$ 시간 — 마일이 약분되고 시간만 남는 6학년 비율 사고. 다음 단계에서 곱하기 좋은 단위가 손에 들어왔습니다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 4

만나는 지점은 알리시아가 $1.5$ 시간 동안 간 곳이므로, 그녀의 속력에 시간을 곱하면 됩니다.
"$A$ 로부터의 거리" 가 곧 알리시아가 달린 거리입니다.

$$d_A = 18 \text{ mi/hr} \times 1.5 \text{ hr} = 27 \text{ mi} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 속력 $\times$ 시간 $=$ 거리 — 같은 6학년 단위비율 동작의 역방향. 마일/시간 $\times$ 시간이 마일로 약분되어 문제가 요구한 단위가 그대로 나옵니다.

[1] #1 6.RP.A.2 왼쪽에 $A$, 오른쪽에 $B$ 를 두고 $45$ 마일짜리 선분을 그립니다. $A$ 쪽에는 알리시아의 오른쪽 화살표(시속 $18$ 마일), $B

[2] #1 4.OA.A.3 그림에서 두 화살표가 동시에 간격을 줄이므로 속력은 더해집니다. 합친 속력(접근 속력)을 계산합니다.

[3] #8 6.RP.A.3 $45$ 마일 간격을 시속 $30$ 마일로 나누면 만나는 데 걸리는 시간이 나옵니다. 단위 추적: 마일 $\div$ 마일/시간 $=$ 시간.

[4] #8 6.RP.A.3 만나는 지점은 알리시아가 $1.5$ 시간 동안 간 곳이므로, 그녀의 속력에 시간을 곱하면 됩니다. "$A$ 로부터의 거리" 가 곧 알리시아가 달

검토

합리성 확인: 베스 쪽에서 교차 확인. $1.5$ 시간 동안 베스는 $B$ 에서 $A$ 방향으로 $12 \times 1.5 = 18$ 마일을 갑니다. 알리시아의 $27$ 마일 $+$ 베스의 $18$ 마일 $=$ $45$ 마일 — 정확히 전체 거리, 따라서 그 지점에서 진짜로 만납니다. 또 알리시아가 더 빠르므로 만나는 지점은 중점($22.5$ 마일) 보다 $B$ 쪽에 있어야 하는데, $27 > 22.5$ 이므로 맞습니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 만나는 시간을 $t$ 라 두면 $A$ 로부터 알리시아의 위치는 $18t$, 베스의 위치는 $45 - 12t$. 두 값을 같다고 놓으면 $18t = 45 - 12t \Rightarrow 30t = 45 \Rightarrow t = 1.5$, 그리고 $18 \cdot 1.5 = 27$ 마일. 같은 답 (E), 단지 기호 조작이 더 많을 뿐.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 사칙연산을 사용하는 다단계 문장제 풀기 (두 속력 $18 + 12 = 30$ 을 더해 두 사람 사이 간격이 줄어드는 합친 속력을 구하는 데 사용.)
6.RP.A.2 단위비율의 개념을 이해하고 비율 언어 사용하기 ("시속 $18$ 마일" 을 알리시아가 한 시간에 가는 마일 수, 즉 단위비율로 해석해 그림에 명확한 의미를 부여하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 사고로 실세계·수학 문제 풀기 (거리 $=$ 속력 $\times$ 시간 관계를 두 번 사용 — 먼저 $t = 45/30 = 1.5$ 시간, 그다음 $d_A = 18 \times 1.5 = 27$ 마일.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "단위비율"만 알면 풀 수 있어요 — 마주 보고 달리면 속력이 더해지고, 그다음엔 속력 $\times$ 시간 $=$ 거리!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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