AMC 10 · 2023 · #12

학년 4 number-theory

divisibility-rulesdigit-decompositionsystematic-enumerationmodular-arithmetic caseworksystematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: divisibility-rulesdigit-decomposition

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

How many three-digit positive integers $N$ satisfy the following properties?

The number $N$ is divisible by $7$ .
The number formed by reversing the digits of $N$ is divisible by $5$ .

$\textbf{(A) } 13 \qquad \textbf{(B) } 14 \qquad \textbf{(C) } 15 \qquad \textbf{(D) } 16 \qquad \textbf{(E) } 17$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 조건을 동시에 만족하는 세 자리 정수 $N$ 의 개수를 구합니다: $N$ 자신은 $7$ 의 배수이고, $N$ 의 자릿수를 거꾸로 뒤집어 만든 수는 $5$ 의 배수.

주어진 것: $N$ 은 세 자리 양의 정수, $100 \le N \le 999$; $N$ 은 $7$ 로 나누어떨어짐; $N = \overline{abc}$ 라 할 때 ($a, b, c$ 는 자릿수), 뒤집은 수 $\overline{cba}$ 가 $5$ 의 배수; 선택지: (A) 13, (B) 14, (C) 15, (D) 16, (E) 17

구하는 것: 두 조건을 모두 만족하는 세 자리 $N$ 의 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

두 조건이 서로 다른 자릿수에 작용하므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 잘 맞습니다 — 먼저 뒤집은 수의 $5$ 배수 조건으로 $N$ 의 백의 자리를 묶고, 그다음 $7$ 배수 조건으로 남은 후보들을 셉니다. $a \ne 0$ 이라는 세 자리 수 제약이 첫 단계에서 백의 자리를 단 하나로 좁혀줍니다. 두 번째 단계에서는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 좁혀진 범위 안의 $7$ 의 배수를 순서대로 나열하고, 도구 #3(가능성 지우기)로 최종 개수를 선택지와 맞춰 확인합니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 1

쪼개기 A: "뒤집은 수가 $5$ 의 배수" 는 무엇을 강제하는가?
$N = \overline{abc}$ 로 쓰면 뒤집은 수는 $\overline{cba}$ 이고 그 일의 자리는 $a$.
$5$ 의 배수는 일의 자리가 $0$ 또는 $5$.

$$a \in \{0, 5\}$$

💡 일의 자리 $0$ 또는 $5$ 라는 $5$ 의 배수 판정은 아이들이 처음 만나는 배수 판정 — 4학년 수 감각의 정석.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.A.1 단계 2

이제 세 자리 수 제약을 적용.
세 자리 수의 백의 자리는 절대 $0$ 이 될 수 없으므로 $a$ 는 $5$ 일 수밖에 없습니다.
즉 유효한 $N$ 은 모두 $5$ 로 시작.

$$a = 5 \;\Rightarrow\; 500 \le N \le 599$$

💡 "백의 자리는 $0$ 이 될 수 없다" 는 2학년 자릿값 규칙 한 줄로 $a = 0$ 이 떨어져 나가고 범위가 $500$ 대로 좁혀집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 3

쪼개기 B: $[500, 599]$ 안의 $7$ 의 배수가 몇 개인가?
$500 \div 7 = 71$ 나머지 $3$ 이므로 그다음 $7$ 의 배수는 $7 \times 72 = 504$.

$$\lceil 500/7 \rceil = 72, \quad 7 \times 72 = 504$$

💡 나머지가 있는 나눗셈(4학년)으로 다음 배수가 어디 있는지 한 번에 짚어낼 수 있어요.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 4

$599$ 이하 가장 큰 $7$ 의 배수도 같은 방식으로: $599 \div 7 = 85$ 나머지 $4$ 이므로 가장 큰 배수는 $7 \times 85 = 595$.

$$\lfloor 599/7 \rfloor = 85, \quad 7 \times 85 = 595$$

💡 같은 나머지-나눗셈 기법을 위쪽 끝에 적용 — 마지막 배수는 $599$ 바로 직전에 떨어집니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 5

도구 #2 로 살아남은 수를 순서대로 나열.
$7 \times 72, 7 \times 73, \dots, 7 \times 85$ — 인덱스가 $72$ 부터 $85$ 까지인 등차수열.

$$504, 511, 518, 525, 532, 539, 546, 553, 560, 567, 574, 581, 588, 595$$

💡 "$7$ 씩 더하기, $595$ 에서 멈추기" 라는 규칙을 따라 순서대로 생성 — 4학년 수의 규칙성.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.D.8 단계 6

개수 세기.
$72$ 부터 $85$ 까지의 정수 개수는 $85 - 72 + 1 = 14$.

$$85 - 72 + 1 = 14$$

💡 "마지막 빼기 처음 더하기 $1$" 은 연속된 정수 세는 3학년 기본 동작.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 7

후보 $N = 504$ 로 교차 확인.
뒤집은 수는 $405$, 일의 자리 $5$, $5$ 의 배수 — 통과.
또 $504 = 7 \times 72$ 이므로 $7$ 의 배수.
두 조건 모두 만족; 개수 $14$ 는 선택지 (B) 와 일치.

$$504 \to 405 = 5 \times 81; \quad 504 = 7 \times 72 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 리스트의 한 항목으로 두 조건 모두 직접 확인하면 리스트 전체가 올바른 궤도에 있음을 확인할 수 있어요.

[1] #7 4.OA.B.4 쪼개기 A: "뒤집은 수가 $5$ 의 배수" 는 무엇을 강제하는가? $N = \overline{abc}$ 로 쓰면 뒤집은 수는 $\overlin

[2] #7 2.NBT.A.1 이제 세 자리 수 제약을 적용. 세 자리 수의 백의 자리는 절대 $0$ 이 될 수 없으므로 $a$ 는 $5$ 일 수밖에 없습니다. 즉 유효한 $

[3] #7 4.NBT.B.6 쪼개기 B: $[500, 599]$ 안의 $7$ 의 배수가 몇 개인가? $500 \div 7 = 71$ 나머지 $3$ 이므로 그다음 $7$ 의

[4] #7 4.NBT.B.6 $599$ 이하 가장 큰 $7$ 의 배수도 같은 방식으로: $599 \div 7 = 85$ 나머지 $4$ 이므로 가장 큰 배수는 $7 \time

[5] #2 4.OA.C.5 도구 #2 로 살아남은 수를 순서대로 나열. $7 \times 72, 7 \times 73, \dots, 7 \times 85$ — 인덱스가 $

[6] #2 3.OA.D.8 개수 세기. $72$ 부터 $85$ 까지의 정수 개수는 $85 - 72 + 1 = 14$.

[7] #3 4.OA.B.4 후보 $N = 504$ 로 교차 확인. 뒤집은 수는 $405$, 일의 자리 $5$, $5$ 의 배수 — 통과. 또 $504 = 7 \times

검토

합리성 확인: 개수 상식 점검: $500$ 과 $599$ 사이 $7$ 의 배수는 대략 $\tfrac{100}{7} \approx 14.3$ 개여야 하므로 $14$ 가 자릿수상 맞습니다. 양끝 점검: $504 \to 405 = 5 \times 81$ 통과, $595 \to 595$ (회문, $595 = 17 \times 35$ 이므로 $5$ 의 배수) 통과. 리스트의 처음과 끝이 모두 유효, 경계 오류 없음.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기)을 곧장 적용: $100$ 부터 $999$ 사이 $7$ 의 모든 배수($128$ 개)를 나열한 뒤 백의 자리가 $5$ 인 것만 거르면, 결국 $504$ 부터 $595$ 까지의 $7$ 의 배수 $14$ 개로 똑같이 떨어집니다. 배수 판정 없이 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.NBT.A.1 세 자리 수의 자릿수는 백, 십, 일을 나타냄을 이해하기 (세 자리 수의 백의 자리는 $1$ 이상이어야 한다는 사실로 $a = 0$ 을 떨어뜨리고 $a = 5$ 로 고정하는 데 사용.)
3.OA.D.8 100 이내 네 가지 연산을 사용하는 두 단계 문장제 풀기 ($72$ 부터 $85$ 까지 연속된 정수의 개수를 $85 - 72 + 1 = 14$ 로 세는 데 사용.)
4.OA.B.4 1-100 범위 자연수의 모든 인수쌍 구하기; 주어진 한 자리 수의 배수인지 판단하기 (뒤집은 수에 "일의 자리 $0$ 또는 $5$" 라는 $5$ 의 배수 판정을 적용하고, $504$ 가 $7$ 의 배수임을 확인하는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따른 수 또는 모양 패턴 만들기 ($500$ 대 안의 $7$ 의 배수를 $504, 511, 518, \dots, 595$ 처럼 등차로 나열하는 데 사용.)
4.NBT.B.6 네 자리 이내 나눗셈에서 몫과 나머지 구하기 ($500 \div 7 = 71$ 나머지 $3$, $599 \div 7 = 85$ 나머지 $4$ 를 계산해 범위 안 $7$ 의 배수를 양끝에서 묶는 데 사용.)

⭐ 두 개의 배수 조건을 두 단계로 나누면 끝: "뒤집은 수가 $5$ 의 배수" 라는 규칙이 백의 자리를 $5$ 로 묶고, 그다음엔 $500$ 부터 $599$ 사이 $7$ 의 배수만 세면 $14$ 개. 4학년 배수 판정만으로 풀리는 문제예요.