AMC 10 · 2023 · #15

학년 7 geometry-2d

area-circlessequences-arithmeticpattern-recognitiontriangular-numbers pattern-recognitioneasier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlessequences-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

An even number of circles are nested, starting with a radius of $1$ and increasing by $1$ each time, all sharing a common point. The region between every other circle is shaded, starting with the region inside the circle of radius $2$ but outside the circle of radius $1.$ An example showing $8$ circles is displayed below. What is the least number of circles needed to make the total shaded area at least $2023\pi$ ?

$\textbf{(A) } 46 \qquad \textbf{(B) } 48 \qquad \textbf{(C) } 56 \qquad \textbf{(D) } 60 \qquad \textbf{(E) } 64$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 짝수 개($n$ 개)의 원이 반지름 $1, 2, 3, \dots, n$ 으로 한 점을 공유하며 끼워져 있고, 가장 안쪽($1, 2$ 사이) 부터 한 칸씩 건너뛰며 색칠합니다. 색칠된 영역의 전체 넓이가 $2023\pi$ 이상이 되는 가장 작은 짝수 $n$ 을 구하세요.

주어진 것: 반지름: $1, 2, 3, \dots, n$ (연속된 정수); $n$ 은 짝수; 색칠된 고리는 반지름 쌍 $(1, 2), (3, 4), (5, 6), \dots, (n-1, n)$ 사이; 각 고리의 넓이 = $\pi(\text{바깥})^2 - \pi(\text{안쪽})^2$; 색칠된 총 넓이 $\ge 2023\pi$; 선택지: (A) $46$, (B) $48$, (C) $56$, (D) $60$, (E) $64$

구하는 것: 색칠된 총 넓이를 $2023\pi$ 이상으로 만드는 가장 작은 짝수 $n$

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #5 패턴 찾기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 주축: $n = 64$ 를 직접 다루지 말고 $n = 2, 4, 6, 8$ 의 작은 케이스로 색칠된 넓이를 계산해 패턴을 읽어냅니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 그 결과를 봉합 — 부분합이 $\pi \cdot T_n$ ($T_n = 1 + 2 + \dots + n$ 은 $n$ 번째 삼각수) 으로 떨어집니다. 이는 $\pi[(\text{바깥})^2 - (\text{안쪽})^2] = \pi(\text{바깥} + \text{안쪽})$ (두 반지름 차가 $1$ 이므로) 라는 제곱의 차로 곧장 따라옵니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지에 $n(n+1)/2$ 을 직접 넣어 $2023$ 을 넘는 가장 작은 짝수를 찾습니다. 도구 #3(가능성 지우기)이 (A)-(D) 를 빠르게 떨어내고 (E) 를 확정.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 1

색칠된 영역 하나는 "바깥 원판 - 안쪽 원판" 모양 고리.
넓이는 $\pi(\text{바깥 반지름})^2 - \pi(\text{안쪽 반지름})^2$.
반지름이 연속된 정수이므로 각 고리는 바깥 반지름 $k$, 안쪽 반지름 $k - 1$ (단, $k$ 는 짝수).

$$\text{고리 넓이} = \pi k^2 - \pi(k-1)^2$$

💡 7학년에서 $A = \pi r^2$ 등장 — 고리는 자연스럽게 "큰 원판 빼기 작은 원판" 으로 쪼개집니다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.3 단계 2

각 고리에 제곱의 차 항등식 적용: $k^2 - (k-1)^2 = (k - (k-1))(k + (k-1)) = 1 \cdot (2k - 1) = (k-1) + k$.
따라서 고리 하나는 색칠 넓이에 $\pi \bigl[(k-1) + k\bigr]$ 기여.

$$\pi[k^2 - (k-1)^2] = \pi[(k-1) + k]$$

💡 제곱의 차 ($a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$) 는 6학년 항등식으로, 고리 하나를 "두 반지름의 합" 으로 압축.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 3

도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): $n = 2$ 먼저.
색칠된 고리 하나, 반지름 $1$ 과 $2$ 사이.
넓이 $= \pi(2^2 - 1^2) = \pi(1 + 2) = 3\pi$.
다음 $n = 4$: 두 고리 $(1,2), (3,4)$.
합 $= \pi[(1+2) + (3+4)] = \pi(1+2+3+4) = 10\pi$.
패턴이 보입니다.

$$n=2: 3\pi; \quad n=4: 10\pi; \quad n=6: 21\pi; \quad n=8: 36\pi$$

💡 작은 케이스가 구조를 드러냅니다: 고리 하나마다 "안쪽 + 바깥 반지름" 쌍이 들어가고, 쌍들이 $1, 2, 3, \dots, n$ 을 빠짐없이 덮습니다.

#5 패턴 찾기 6.EE.A.2 단계 4

도구 #5(패턴 찾기).
짝수 $n$ 에서 색칠 총합은 $\pi(1 + 2 + \dots + n)$ — $n$ 번째 삼각수의 $\pi$ 배.
$3, 10, 21, 36$ 은 $T_2, T_4, T_6, T_8$ 이고 $T_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

$$S(n) = \pi \cdot \dfrac{n(n+1)}{2}$$

💡 작은 케이스를 모은 뒤 부분합이 삼각수임을 알아채는 — 6학년 "이름 있는 공식" 의 결실.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.8 단계 5

부등식 세우기.
$S(n) \ge 2023\pi$ 가 필요하므로 $\dfrac{n(n+1)}{2} \ge 2023$, 즉 $n(n+1) \ge 4046$.

$$n(n+1) \ge 4046$$

💡 $\pi$ 는 양수라 빼내고 양변에 $2$ 곱하기 — 6학년 부등식 다루기.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.8 단계 6

도구 #6(추측하고 확인하기)을 선택지에.
(D) $n = 60$: $60 \cdot 61 = 3660 < 4046$ 부족.
(E) $n = 64$: $64 \cdot 65 = 4160 \ge 4046$ 통과.
사이의 짝수 $n = 62$ 도 확인: $62 \cdot 63 = 3906 < 4046$ 부족.
따라서 가장 작은 짝수는 $64$.

$$60 \cdot 61 = 3660; \;\; 62 \cdot 63 = 3906; \;\; 64 \cdot 65 = 4160$$

💡 $60$ 부터 짝수씩 올리며 곱이 $4046$ 을 넘는 순간을 잡는 — 6학년식 직접 확인.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.8 단계 7

$64$ 가 정말 답이 되는 가장 작은 짝수임을 확정.
선택지 점검: (A) $46 \cdot 47 = 2162$, (B) $48 \cdot 49 = 2352$, (C) $56 \cdot 57 = 3192$, (D) $60 \cdot 61 = 3660$ — 모두 $< 4046$.
오직 (E) $n = 64$ 만 $\ge 4046$.

$$n = 64 \;\Rightarrow\; S(64) = \dfrac{64 \cdot 65}{2}\,\pi = 2080\pi \ge 2023\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 (A)-(D) 를 차례로 떨어뜨리고 (E) 확정 — 깔끔한 6학년 부등식 검증.

[1] #7 7.G.B.4 색칠된 영역 하나는 "바깥 원판 - 안쪽 원판" 모양 고리. 넓이는 $\pi(\text{바깥 반지름})^2 - \pi(\text{안쪽 반지름})

[2] #5 6.EE.A.3 각 고리에 제곱의 차 항등식 적용: $k^2 - (k-1)^2 = (k - (k-1))(k + (k-1)) = 1 \cdot (2k - 1) =

[3] #9 4.OA.C.5 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): $n = 2$ 먼저. 색칠된 고리 하나, 반지름 $1$ 과 $2$ 사이. 넓이 $= \pi(2^2 - 1^

[4] #5 6.EE.A.2 도구 #5(패턴 찾기). 짝수 $n$ 에서 색칠 총합은 $\pi(1 + 2 + \dots + n)$ — $n$ 번째 삼각수의 $\pi$ 배. $

[5] #6 6.EE.B.8 부등식 세우기. $S(n) \ge 2023\pi$ 가 필요하므로 $\dfrac{n(n+1)}{2} \ge 2023$, 즉 $n(n+1) \ge

[6] #6 6.EE.B.8 도구 #6(추측하고 확인하기)을 선택지에. (D) $n = 60$: $60 \cdot 61 = 3660 < 4046$ 부족. (E) $n = 6

[7] #3 6.EE.B.8 $64$ 가 정말 답이 되는 가장 작은 짝수임을 확정. 선택지 점검: (A) $46 \cdot 47 = 2162$, (B) $48 \cdot 4

검토

합리성 확인: 방향 점검: $S(n)$ 은 대략 $\tfrac{n^2}{2} \cdot \pi$ 로 자라므로 $n^2 / 2 \approx 2023$, $n \approx \sqrt{4046} \approx 63.6$. $63.6$ 위의 가장 작은 정수가 $64$ 인데 마침 짝수 — 홀짝 보정 불필요. 크기 점검: $S(64) = 2080\pi$ 로 $2023\pi$ 를 살짝 넘김 (여유 $57\pi$); $S(62) = 1953\pi$ 는 부족. 정답이 경계에 정확히 걸려 있어 문제가 잘 설계됨.

대안 접근: 도구 #10(직접 만져보기) — 종이에 처음 몇 고리를 그려 단순 산술로 더하기. 고리 $1$ (반지름 $1$-$2$): 넓이 $\pi(4 - 1) = 3\pi$. 고리 $2$ (반지름 $3$-$4$): $\pi(16 - 9) = 7\pi$. 고리 $3$ (반지름 $5$-$6$): $\pi(36 - 25) = 11\pi$. 증가량 $3, 7, 11, 15, \dots$ 가 공차 $4$ 의 등차수열; 첫 $m$ 항의 합은 $m(2m + 1)$. $m = n/2$ 로 두면 $m(2m+1) \ge 2023$ 의 가장 작은 짝수 해도 $m = 32$ ($n = 64$).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.OA.C.5 주어진 규칙에 따른 수 또는 모양 패턴 만들기 ($n = 2, 4, 6, 8$ 의 색칠 총합을 생성해 패턴을 드러내는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (부분합을 닫힌 형태 $S(n) = \pi \cdot \dfrac{n(n+1)}{2}$ 으로 표현하는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질로 동치 식 만들기 (제곱의 차 항등식 $k^2 - (k-1)^2 = 2k - 1 = (k-1) + k$ 로 각 고리 넓이를 압축하는 데 사용.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식을 쓰고 수직선에 그래프로 나타내기 ($n(n+1) \ge 4046$ 을 세우고 가장 작은 짝수 $n$ 을 찾는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식 알기 (고리 넓이를 $\pi r_{\text{out}}^2 - \pi r_{\text{in}}^2$ 로 계산하는 데 사용 — 7학년 원의 넓이 공식.)

⭐ 색칠된 고리 하나마다 "바깥 + 안쪽 반지름" 이 들어가요 (6학년 제곱의 차!), 그래서 처음 $n$ 개 원에서 색칠 총합은 $\pi \cdot (1 + 2 + \dots + n) = \pi \cdot \dfrac{n(n+1)}{2}$. 이걸 $2023\pi$ 위로 올리면 가장 작은 짝수 $n$ 은 $64$.