AMC 10 · 2023 · #16

학년 7 arithmetic

combinations-basicratio-proportionlinear-equations-one-vartriangular-numbers caseworkidentify-subproblemsbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: combinations-basicratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

In a table tennis tournament, every participant played every other participant exactly once. Although there were twice as many right-handed players as left-handed players, the number of games won by left-handed players was $40\%$ more than the number of games won by right-handed players. (There were no ties and no ambidextrous players.) What is the total number of games played?

$\textbf{(A) }15\qquad\textbf{(B) }36\qquad\textbf{(C) }45\qquad\textbf{(D) }48\qquad\textbf{(E) }66$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 리그전 방식의 탁구 대회에서 모든 선수가 다른 모든 선수와 정확히 한 경기씩 치릅니다. 오른손잡이 선수는 왼손잡이 선수의 두 배이고, 왼손잡이가 이긴 경기 수는 오른손잡이가 이긴 경기 수보다 $40\%$ 더 많습니다. 치러진 경기의 총 수를 구하세요.

주어진 것: 리그전: 두 선수마다 정확히 한 번 대결; 오른손잡이 수는 왼손잡이 수의 두 배: $R = 2L$; 왼손잡이의 승수는 오른손잡이의 승수보다 $40\%$ 많음: $W_L = 1.4 \cdot W_R$; 무승부 없음, 양손잡이 없음; 선택지: (A) $15$, (B) $36$, (C) $45$, (D) $48$, (E) $66$

구하는 것: $G$, 치러진 경기의 총 수

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

$G$ 의 후보가 다섯 개로 정해진 객관식 문제이므로 도구 #3(가능성 지우기)이 정석입니다. 도구 #7 로 일을 둘로 쪼개서, 어떤 $G$ 도 통과해야 할 두 개의 조건을 뽑아냅니다 — (i) $1.4$ 의 승수 비율로부터 $G$ 가 $12$ 의 배수여야 함, (ii) 리그전 구조로부터 $G$ 가 삼각수 $\binom{N}{2}$ 여야 함. 두 필터를 다섯 후보에 차례로 적용하면 유일하게 살아남는 값이 답입니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 1

쪼개기 A: 승수 비율로부터 "$12$ 의 배수" 필터를 끌어내기.
모든 경기에 승자가 하나이므로 $G = W_R + W_L$.
비율 조건에서 $W_L = \tfrac{7}{5} W_R$ 이므로 $G = W_R + \tfrac{7}{5} W_R = \tfrac{12}{5} W_R$.
$W_R$ 이 정수가 되려면 $G$ 는 $12$ 의 배수여야 합니다.

$$W_L = 1.4\,W_R = \tfrac{7}{5}W_R \;\Rightarrow\; G = \tfrac{12}{5}W_R \;\Rightarrow\; 12 \mid G$$

💡 "$40\%$ 더 많다"를 깔끔하게 읽으면 비율 $7:5$ — 어떤 합이 $7:5$ 로 나뉘면 그 합은 항상 $12$ 의 배수.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

쪼개기 B: 리그전 구조로부터 "삼각수" 필터를 끌어내기.
$N$ 명의 선수가 모두 한 번씩 대결하면 경기 수는 $G = \binom{N}{2} = \tfrac{N(N-1)}{2}$, $N \ge 2$ 인 정수.
따라서 $G$ 는 삼각수.

$$G = \binom{N}{2} = \dfrac{N(N-1)}{2}$$

💡 리그전은 곧 "짝 고르기" — $N$ 명 중 $2$ 명 고르는 수가 바로 삼각수 $\tfrac{N(N-1)}{2}$.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 3

필터 A($12$ 의 배수)를 다섯 선택지에 적용.
$15, 45, 66$ 은 $12$ 의 배수가 아니므로 탈락.
$36 = 12 \cdot 3$ 과 $48 = 12 \cdot 4$ 만 통과.

$$\{15, 36, 45, 48, 66\} \xrightarrow{12 \mid G} \{36, 48\}$$

💡 $12$ 의 배수 검사는 다섯 후보 중 셋을 한 번에 떨어뜨리는 빠른 필터.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.6 단계 4

필터 B(삼각수)를 통과한 둘에 적용.
$G = 36$: $\tfrac{N(N-1)}{2} = 36 \Rightarrow N(N-1) = 72 = 9 \cdot 8$, $N = 9$ 가 답.
$G = 48$: $N(N-1) = 96$, 하지만 $9 \cdot 10 = 90$ 과 $10 \cdot 11 = 110$ 사이에 $96$ 을 만드는 정수 쌍이 없음.
두 필터 모두 통과하는 것은 $G = 36$ 뿐.

$$36 = \binom{9}{2} \;\checkmark, \qquad 48 \ne \binom{N}{2}\ (\text{어떤 } N \text{도 없음}) \;\times$$

💡 곱이 $72$ 인 연속한 두 수는 $8$ 과 $9$ 로 바로 떠오르고, $96$ 에는 그런 쌍이 없습니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 5

마지막 확인: $G = 36$, $N = 9$ 일 때 선수 분포는 $R = 6$ 오른손잡이, $L = 3$ 왼손잡이 ($N = 3L = 9$).
승수 분포는 $W_R = \tfrac{5}{12} \cdot 36 = 15$, $W_L = \tfrac{7}{12} \cdot 36 = 21$, $21 / 15 = 1.4$ — $40\%$ 더 많음이 정확히 성립.

$$R = 6,\ L = 3,\ W_R = 15,\ W_L = 21,\ \dfrac{W_L}{W_R} = 1.4 \;\Rightarrow\; \textbf{(B) }36$$

💡 살아남은 후보가 원래의 비율 조건까지 정확히 만족하면, 가능성 지우기는 빈틈없이 완결.

[1] #7 6.RP.A.3 쪼개기 A: 승수 비율로부터 "$12$ 의 배수" 필터를 끌어내기. 모든 경기에 승자가 하나이므로 $G = W_R + W_L$. 비율 조건에서

[2] #7 7.SP.C.8 쪼개기 B: 리그전 구조로부터 "삼각수" 필터를 끌어내기. $N$ 명의 선수가 모두 한 번씩 대결하면 경기 수는 $G = \binom{N}{2}

[3] #3 4.OA.B.4 필터 A($12$ 의 배수)를 다섯 선택지에 적용. $15, 45, 66$ 은 $12$ 의 배수가 아니므로 탈락. $36 = 12 \cdot 3

[4] #3 6.EE.B.6 필터 B(삼각수)를 통과한 둘에 적용. $G = 36$: $\tfrac{N(N-1)}{2} = 36 \Rightarrow N(N-1) = 72

[5] #3 6.RP.A.3 마지막 확인: $G = 36$, $N = 9$ 일 때 선수 분포는 $R = 6$ 오른손잡이, $L = 3$ 왼손잡이 ($N = 3L = 9$).

검토

합리성 확인: 크기 점검: $9$ 명이 리그전을 하면 $\binom{9}{2} = 36$ 경기로, 작은 선택지($15$, $36$)와 큰 선택지($48$, $66$) 사이에 자연스럽게 자리합니다. 승수 $15$ 와 $21$ 은 둘 다 음이 아닌 정수이고 합도 정확히 총 경기 수 $36$ — 내부적으로 일관됩니다. 비율 $1.4$ 는 "$40\%$ 더 많다" 를 그대로 재현합니다. 두 독립 필터 중 하나라도 통과하지 못한 다른 선택지는 모두 탈락이므로 결과는 강제됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 에서 도구 #13(대수로 바꾸기) 로 연결: 왼손잡이 수를 $L$ 이라 하면 $R = 2L$, $N = 3L$. $L = 1, 2, 3, 4$ 를 차례로 넣어 $G = \binom{3L}{2}$ 를 계산하고 $G$ 가 $12$ 의 배수인지 검사. $L = 1$: $G = 3$. $L = 2$: $G = 15$. $L = 3$: $G = 36$ — $12$ 의 배수이므로 여기서 정지. 같은 답 (B) $36$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실제 및 수학 문제 풀기 ("$40\%$ 더 많다"를 승수 비율 $W_L : W_R = 7 : 5$ 로 옮기고, 총합으로부터 각각의 승수를 역으로 구하는 데 사용.)
7.SP.C.8 조직적 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 ($N$ 명의 리그전이 $\binom{N}{2}$ 경기 — "$N$ 명에서 $2$ 명 뽑기" 셈 — 라는 사실을 인식하는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수 쌍과 배수를 모두 찾고 소수·합성수 판별 (각 선택지에 대해 $12$ 의 배수 여부를 빠르게 검사하여 다섯 중 셋을 제거하는 데 사용.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 식을 세워 문제 풀기 ($\binom{N}{2} = G$ 를 $N$ 에 대한 방정식으로 보고 $N(N-1) = 2G$ 를 통해 살아남은 후보들의 삼각수 여부를 확인하는 데 사용.)

⭐ 총 경기 수에 대한 두 개의 깔끔한 조건 — 승수 비율로부터 "$12$ 의 배수", 리그전으로부터 "$\binom{N}{2}$ 삼각수" — 이 다섯 선택지 중 넷을 떨어뜨리고 $\textbf{(B) }36$ 만 남깁니다. 객관식이 답을 줄 때는 각 후보가 통과해야 하는 작은 필터를 만들면 답이 저절로 정해집니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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