AMC 10 · 2023 · #2

학년 7 arithmetic

linear-equations-one-varfraction-arithmeticfraction-multiplication convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticlinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The weight of $\frac{1}{3}$ of a large pizza together with $3 \frac{1}{2}$ cups of orange slices is the same as the weight of $\frac{3}{4}$ of a large pizza together with $\frac{1}{2}$ cup of orange slices. A cup of orange slices weighs $\frac{1}{4}$ of a pound. What is the weight, in pounds, of a large pizza?
$\textbf{(A) }1\frac{4}{5}\qquad\textbf{(B) }2\qquad\textbf{(C) }2\frac{2}{5}\qquad\textbf{(D) }3\qquad\textbf{(E) }3\frac{3}{5}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$1rac{4}{5}$

(B)

(C)

$2rac{2}{5}$

(D)

(E)

$3rac{3}{5}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양팔저울 식: 피자 $\tfrac{1}{3}$ 조각 $+$ 오렌지 조각 $3\tfrac{1}{2}$ 컵의 무게가, 피자 $\tfrac{3}{4}$ 조각 $+$ 오렌지 조각 $\tfrac{1}{2}$ 컵의 무게와 같습니다. 오렌지 조각 한 컵은 $\tfrac{1}{4}$ 파운드입니다. 피자 한 판의 무게(파운드)를 구하세요.

주어진 것: 피자 $\tfrac{1}{3}$ $+$ 오렌지 $3\tfrac{1}{2}$ 컵 $=$ 피자 $\tfrac{3}{4}$ $+$ 오렌지 $\tfrac{1}{2}$ 컵 (무게가 같음); 오렌지 조각 $1$ 컵 $=$ $\tfrac{1}{4}$ 파운드; 선택지: (A) $1\tfrac{4}{5}$, (B) $2$, (C) $2\tfrac{2}{5}$, (D) $3$, (E) $3\tfrac{3}{5}$

구하는 것: 피자 한 판의 무게 (파운드)

이해

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

두 개의 합쳐진 무게가 같다고 주어진 상황 — 도구 #13(대수로 바꾸기)의 정석 신호입니다. 피자의 무게를 $p$ 라 두고 "왼쪽 접시 $=$ 오른쪽 접시" 를 식으로 바꿉니다. 거기에 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 을 더해, 먼저 오렌지 조각의 컵 수를 파운드로 환산하는 산수 부분을 따로 정리하고, 그다음 $p$ 만 들어 있는 일차방정식을 푸는 두 단계로 깨끗이 분리합니다. 이 분리가 "대분수를 식 안에 끌고 다니다 실수하는" 가장 흔한 오류를 피하게 해줍니다.

실행 — 정답: A

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 1

피자 한 판의 무게를 $p$ 파운드라 둡니다.
"왼쪽 $=$ 오른쪽" 문장을 그대로 식으로 옮깁니다.
양쪽 오렌지 조각의 무게는 (컵 수) $\times \tfrac{1}{4}$ 파운드.

$$\tfrac{1}{3}p + \tfrac{7}{2} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}p + \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{4}$$

💡 모르는 무게에 $p$ 라는 이름을 주고 각 접시의 합을 식으로 쓰면, 말 그대로의 양팔저울이 6학년식 "$p$ 가 들어간 등식" 으로 바뀝니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.B.4 단계 2

쪼개기 A: 오렌지 조각 두 항을 계산.
컵 수에 컵당 $\tfrac{1}{4}$ 파운드를 곱해 파운드 무게로 만듭니다.

$$\tfrac{7}{2} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{8}, \quad \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{8}$$

💡 $\tfrac{a}{b} \cdot \tfrac{c}{d} = \tfrac{ac}{bd}$ — 5학년 분수$\times$분수. 여기엔 미지수 없이 그저 숫자 계산만.

#13 대수로 바꾸기 7.EE.B.4 단계 3

정리된 무게를 대입한 뒤, $p$ 항은 한쪽으로 상수는 반대쪽으로 모읍니다.
양변에서 $\tfrac{1}{3}p$ 와 $\tfrac{1}{8}$ 을 빼면 됩니다.

$$\tfrac{1}{3}p + \tfrac{7}{8} = \tfrac{3}{4}p + \tfrac{1}{8} \;\Rightarrow\; \tfrac{7}{8} - \tfrac{1}{8} = \tfrac{3}{4}p - \tfrac{1}{3}p$$

💡 같은 종류의 항을 반대쪽으로 모으는 것은 7학년 "일차방정식 풀기" 의 정석 동작.

#13 대수로 바꾸기 5.NF.A.1 단계 4

양쪽을 각각 정리.
왼쪽: $\tfrac{7}{8} - \tfrac{1}{8} = \tfrac{6}{8} = \tfrac{3}{4}$.
오른쪽: 공통분모 $12$ 로 $\tfrac{3}{4}p - \tfrac{1}{3}p = \tfrac{9}{12}p - \tfrac{4}{12}p = \tfrac{5}{12}p$.

$$\tfrac{3}{4} = \tfrac{5}{12}p$$

💡 분모가 다른 분수를 공통분모로 고쳐 빼는 것은 5학년 분수 덧셈·뺄셈 표준 그대로.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 5

역수 $\tfrac{12}{5}$ 를 양변에 곱해 $p$ 를 분리한 뒤, 선택지에 맞춰 대분수로 바꿉니다.

$$p = \tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{12}{5} = \tfrac{36}{20} = \tfrac{9}{5} = 1\tfrac{4}{5} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 양변을 $\tfrac{5}{12}$ 로 나누는 ($=$ $\tfrac{12}{5}$ 를 곱하는) 동작 한 번이면 6학년 "$px = q$" 방정식이 끝납니다.

[1] #13 6.EE.B.7 피자 한 판의 무게를 $p$ 파운드라 둡니다. "왼쪽 $=$ 오른쪽" 문장을 그대로 식으로 옮깁니다. 양쪽 오렌지 조각의 무게는 (컵 수) $\

[2] #7 5.NF.B.4 쪼개기 A: 오렌지 조각 두 항을 계산. 컵 수에 컵당 $\tfrac{1}{4}$ 파운드를 곱해 파운드 무게로 만듭니다.

[3] #13 7.EE.B.4 정리된 무게를 대입한 뒤, $p$ 항은 한쪽으로 상수는 반대쪽으로 모읍니다. 양변에서 $\tfrac{1}{3}p$ 와 $\tfrac{1}{8}$

[4] #13 5.NF.A.1 양쪽을 각각 정리. 왼쪽: $\tfrac{7}{8} - \tfrac{1}{8} = \tfrac{6}{8} = \tfrac{3}{4}$. 오른쪽:

[5] #13 6.EE.B.7 역수 $\tfrac{12}{5}$ 를 양변에 곱해 $p$ 를 분리한 뒤, 선택지에 맞춰 대분수로 바꿉니다.

검토

합리성 확인: $p = \tfrac{9}{5}$ 을 양쪽 접시에 대입해 확인. 왼쪽: $\tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{9}{5} + \tfrac{7}{8} = \tfrac{3}{5} + \tfrac{7}{8} = \tfrac{24}{40} + \tfrac{35}{40} = \tfrac{59}{40}$. 오른쪽: $\tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{9}{5} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{27}{20} + \tfrac{1}{8} = \tfrac{54}{40} + \tfrac{5}{40} = \tfrac{59}{40}$. 양쪽이 같으므로 $1\tfrac{4}{5}$ 파운드가 맞습니다. 크기 감각: $2$ 파운드도 안 되는 피자는 작긴 해도 가능한 수치 — 선택지 (A) 와 정확히 일치.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기): 다섯 선택지를 직접 대입. (A) $1\tfrac{4}{5}$: 왼쪽 $= \tfrac{1}{3}(1.8) + 3.5(0.25) = 0.6 + 0.875 = 1.475$, 오른쪽 $= \tfrac{3}{4}(1.8) + 0.5(0.25) = 1.35 + 0.125 = 1.475$. 일치 — 첫 시도에 (A) 통과. 나머지 선택지들은 $\tfrac{3}{4}p$ 가 $\tfrac{1}{3}p$ 보다 훨씬 커지는데 오렌지 차이만으로 보충이 안 되므로 모두 탈락.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($\tfrac{3}{4}p - \tfrac{1}{3}p$ 를 공통분모 $12$ 로 $\tfrac{5}{12}p$ 로 정리하고, $\tfrac{7}{8} - \tfrac{1}{8} = \tfrac{3}{4}$ 을 구하는 데 사용.)
5.NF.B.4 분수$\times$분수 계산 ($\tfrac{7}{2} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{8}$, $\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{8}$ 로 오렌지 조각 컵 수를 파운드 무게로 환산하는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 꼴 방정식을 세우고 풀어 실세계 문제 해결 ("왼쪽 $=$ 오른쪽" 양팔저울을 $p$ 에 대한 식으로 쓰고 마지막에 $\tfrac{5}{12}p = \tfrac{3}{4} \Rightarrow p = \tfrac{9}{5}$ 으로 마무리하는 데 사용.)
7.EE.B.4 변수로 양을 나타내고 간단한 방정식·부등식 세우기 ($p$ 항과 상수 항을 양변으로 모아 깨끗한 $p$ 만의 일차방정식을 만드는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 "일차방정식 세우고 풀기" 만 알면 풀 수 있어요 — 피자에 $p$ 라는 이름을 붙이고, 각 접시를 파운드로 적은 뒤 균형을 잡으면 됩니다.