AMC 10 · 2023 · #20

학년 7 geometry-2d

combinations-basicsystematic-enumerationpermutations-basic identify-subproblemscaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basicsystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Each square in a $3\times3$ grid of squares is colored red, white, blue, or green so that every $2\times2$ square contains one square of each color. One such coloring is shown on the right below. How many different colorings are possible?

$\textbf{(A) }24\qquad\textbf{(B) }48\qquad\textbf{(C) }60\qquad\textbf{(D) }72\qquad\textbf{(E) }96$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $3 \times 3$ 격자의 각 칸을 네 가지 색(빨강 R, 흰색 W, 파랑 B, 초록 G) 중 하나로 칠하되, 모든 $2 \times 2$ 부분 격자가 네 색을 한 번씩 모두 포함해야 합니다. 가능한 색칠의 수를 구하세요.

주어진 것: $3 \times 3$ 격자 (칸 9개); 네 가지 색: R, W, B, G; 모든 $2 \times 2$ 부분 격자에 네 색이 각각 한 번씩 등장; $3 \times 3$ 격자에는 $2 \times 2$ 부분 격자가 네 개 있음 (왼쪽 위, 오른쪽 위, 왼쪽 아래, 오른쪽 아래); 선택지: (A) $24$, (B) $48$, (C) $60$, (D) $72$, (E) $96$

구하는 것: 조건을 만족하는 $3 \times 3$ 색칠의 총 개수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #1 그림 그리기

두 단계 구조가 자연스럽게 보입니다(도구 #7 작은 문제로 쪼개기): (i) 왼쪽 위 $2 \times 2$ 블록을 $4! = 24$ 가지로 색칠, (ii) 세 번째 행과 세 번째 열을 네 $2 \times 2$ 블록 조건을 모두 만족하도록 채우는 방법 수. $24$ 개의 초기 색칠은 대칭이라 하나(예: 시계방향 R-W-B-G)를 고정해 세고 마지막에 곱합니다. 완성 단계에서 오른쪽 열과 아래 행 각각 "국소" 선택이 두 가지씩이라 총 네 조합을 검사(도구 #2 빠짐없이 나열하기). 도구 #1(그림 그리기) 로 격자를 그려 의존성을 추적.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 3.G.A.2 단계 1

$3 \times 3$ 격자를 칸 $C_{11}, \dots, C_{33}$ 으로 표시하고 네 개의 $2 \times 2$ 블록을 찾습니다: 왼쪽 위 $\{C_{11},C_{12},C_{21},C_{22}\}$, 오른쪽 위 $\{C_{12},C_{13},C_{22},C_{23}\}$, 왼쪽 아래 $\{C_{21},C_{22},C_{31},C_{32}\}$, 오른쪽 아래 $\{C_{22},C_{23},C_{32},C_{33}\}$.
중앙 칸 $C_{22}$ 는 네 블록 모두에 속합니다.

$$4 \text{개의 겹치는 } 2 \times 2 \text{ 블록, 중앙 } C_{22} \text{ 공유}$$

💡 $3 \times 3$ 위의 네 $2 \times 2$ 창을 그리면 겹침과 강한 제약이 한눈에 보입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 2

1단계: 왼쪽 위 $2 \times 2$ 블록의 색칠 수.
네 색을 네 칸에 배열하는 방법은 $4! = 24$.
대표 배열을 하나 고정해 완성 방법을 세고 마지막에 $24$ 를 곱합니다.

$$\#\{C_{11}, C_{12}, C_{21}, C_{22}\} = 4! = 24$$

💡 모든 $2 \times 2$ 블록이 네 색을 정확히 한 번씩 사용하므로, 왼쪽 위 블록은 $\{R, W, B, G\}$ 의 순열.

#1 그림 그리기 3.G.A.2 단계 3

대표 고정: $C_{11} = R,\ C_{12} = W,\ C_{21} = B,\ C_{22} = G$.
이제 오른쪽 열 $(C_{13}, C_{23})$ 과 아래 행 $(C_{31}, C_{32})$ 가 각각 두 색이 이미 정해진 $2 \times 2$ 블록에 의해 제약됩니다.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline R & W & ? \\ \hline B & G & ? \\ \hline ? & ? & ? \\ \hline \end{array}$$

💡 왼쪽 위 블록을 고정하면 남은 5칸을 강한 국소 제약 아래 채우는 일만 남습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 4

오른쪽 위 블록에 $C_{12} = W$ 와 $C_{22} = G$ 가 있으므로 빠진 두 색 $\{R, B\}$ 가 $(C_{13}, C_{23})$ 에 두 가지 순서로 들어감.
왼쪽 아래 블록에 $C_{21} = B$ 와 $C_{22} = G$ 가 있으므로 빠진 $\{R, W\}$ 가 $(C_{31}, C_{32})$ 에 두 가지 순서.
국소적으로 $2 \times 2 = 4$ 선택.
단, 오른쪽 아래 $2 \times 2$ 검사를 통과해야 함.

$$(C_{13}, C_{23}) \in \{(R,B), (B,R)\},\ (C_{31}, C_{32}) \in \{(R,W), (W,R)\}$$

💡 이웃한 각 $2 \times 2$ 블록이 자신의 알려진 절반에서 빠진 두 색을 필요로 함 — 빠진 쌍마다 자연스레 두 선택지.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 5

도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 두 이진 선택의 $4$ 조합을 모두 나열하고, 오른쪽 아래 블록 $\{C_{22}, C_{23}, C_{32}, C_{33}\}$ 에 대해 유효한 $C_{33}$ 이 존재하는지 검사.

$$4 \text{ 조합} \to \text{유효한 것 세기}$$

💡 조합이 넷뿐이라 영리한 논증보다 나열 — 확인 — 세기가 더 빠릅니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 6

경우 1: $(C_{13}, C_{23}) = (R, B)$, $(C_{31}, C_{32}) = (R, W)$.
오른쪽 아래 블록은 $C_{22}=G, C_{23}=B, C_{32}=W$ — 셋 모두 다름 — $C_{33} = R$.
✓ 경우 2: $(R, B), (W, R)$.
블록은 $G, B, R$ — 다름 — $C_{33} = W$.
✓ 경우 3: $(B, R), (R, W)$.
블록은 $G, R, W$ — 다름 — $C_{33} = B$.
✓ 경우 4: $(B, R), (W, R)$.
블록은 $C_{22}=G, C_{23}=R, C_{32}=R$ — $R$ 이 둘이라 유효한 $C_{33}$ 없음.
✗

$$4 \text{ 중 유효 완성 } 3 \text{ 가지}$$

💡 넷 중 셋이 오른쪽 아래 $2 \times 2$ 검사를 통과하고, 마지막 하나는 색 충돌을 강제합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.2 단계 7

단계들을 곱합니다: 왼쪽 위 색칠 $24$ 가지 $\times$ 색칠당 유효 완성 $3$ 가지.

$$24 \times 3 = 72 \;\Rightarrow\; \textbf{(D) }72$$

💡 곱셈 원리: 독립 단계는 곱셈으로 결합. $3$ 이라는 완성 수는 대칭에 의해 모든 왼쪽 위 색칠에 동일.

[1] #1 3.G.A.2 $3 \times 3$ 격자를 칸 $C_{11}, \dots, C_{33}$ 으로 표시하고 네 개의 $2 \times 2$ 블록을 찾습니다: 왼

[2] #7 7.SP.C.8 1단계: 왼쪽 위 $2 \times 2$ 블록의 색칠 수. 네 색을 네 칸에 배열하는 방법은 $4! = 24$. 대표 배열을 하나 고정해 완성

[3] #1 3.G.A.2 대표 고정: $C_{11} = R,\ C_{12} = W,\ C_{21} = B,\ C_{22} = G$. 이제 오른쪽 열 $(C_{13}, C

[4] #7 7.SP.C.8 오른쪽 위 블록에 $C_{12} = W$ 와 $C_{22} = G$ 가 있으므로 빠진 두 색 $\{R, B\}$ 가 $(C_{13}, C_{23

[5] #2 4.OA.C.5 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 두 이진 선택의 $4$ 조합을 모두 나열하고, 오른쪽 아래 블록 ${C_{22}, C_{23}, C_{32}

[6] #2 7.SP.C.8 경우 1: $(C_{13}, C_{23}) = (R, B)$, $(C_{31}, C_{32}) = (R, W)$. 오른쪽 아래 블록은 $C_{2

[7] #7 4.OA.A.2 단계들을 곱합니다: 왼쪽 위 색칠 $24$ 가지 $\times$ 색칠당 유효 완성 $3$ 가지.

검토

합리성 확인: 점검: $\begin{smallmatrix} R & W & R \\ B & G & B \\ R & W & R \end{smallmatrix}$ 처럼 행이 반복되는 색칠은 왼쪽 위·오른쪽 위·왼쪽 아래·오른쪽 아래 블록 모두 $\{R, W, B, G\}$ — 유효. 조건이 "모든 행이 주기 $2$ 로 반복되는 두 색 패턴"(열도 마찬가지)을 강제하므로 왼쪽 위 $2 \times 2$ 가 전체 패턴을 거의 결정하고, 남은 자유도가 바로 위에서 세어진 $3$ 가지 완성. $24 \times 3 = 72$ 는 (D) 와 일치하고 (B) $48$ 과 (E) $96$ 사이에 자연스레 자리합니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 먼저 $2 \times 3$ 격자로 시도. 왼쪽 위 $2 \times 2$: $4! = 24$. 세 번째 열 $(C_{13}, C_{23})$ 은 오른쪽 위 $2 \times 2$ 에서 빠진 두 색을 가져야 하므로 정확히 $2$ 선택. 총 $24 \times 2 = 48$. $3 \times 3$ 에서는 세 번째 행을 독립적으로 추가: $(C_{31}, C_{32})$ 에 $2$ 선택, 하지만 결합한 $4$ 조합 중 $3$ 만 오른쪽 아래 블록을 살림. 따라서 $24 \times 3 = 72$ — 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

3.G.A.2 도형을 같은 넓이의 부분으로 나누고 각 부분의 넓이를 전체의 단위분수로 표현 ($3 \times 3$ 격자를 겹치는 네 $2 \times 2$ 부분 격자로 나누고 각 블록에 어떤 칸이 속하는지 추적.)
7.SP.C.8 조직적 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 ($2 \times 2$ 블록에 네 색을 배열하는 순열 수($4! = 24$)를 세고, 독립 선택 수를 곱셈 원리로 결합.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기 ($(C_{13}, C_{23})$ 과 $(C_{31}, C_{32})$ 에 대한 두 이진 선택의 $4$ 조합을 정해진 순서로 나열.)
4.OA.A.2 곱셈·나눗셈으로 곱셈 비교를 포함한 문장제 풀기 (왼쪽 위 색칠 $24$ 가지와 색칠당 유효 완성 $3$ 가지를 곱셈으로 결합: $24 \times 3 = 72$.)

⭐ 왼쪽 위 $2 \times 2$ 블록을 $4! = 24$ 가지로 색칠할 수 있습니다. 각 색칠마다 오른쪽 열과 아래 행에 각각 두 이진 선택이 있지만, 결합한 네 조합 중 오른쪽 아래 $2 \times 2$ 를 살리는 것은 $3$ 가지. 곱하면 $24 \times 3 = \textbf{(D) }72$.