AMC 10 · 2023 · #21

학년 6 number-theory

polynomial-rootspolynomial-factoringfunction-evaluation identify-subproblemsconvert-to-algebrawork-backwards ↑ 선수 지식: polynomial-factoringfunction-evaluation

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Let $P(x)$ be the unique polynomial of minimal degree with the following properties:

$P(x)$ has a leading coefficient $1$ ,
$1$ is a root of $P(x)-1$ ,
$2$ is a root of $P(x-2)$ ,
$3$ is a root of $P(3x)$ , and
$4$ is a root of $4P(x)$ .

The roots of $P(x)$ are integers, with one exception. The root that is not an integer can be written as $\frac{m}{n}$ , where $m$ and $n$ are relatively prime integers. What is $m+n$ ?

$\textbf{(A) }41\qquad\textbf{(B) }43\qquad\textbf{(C) }45\qquad\textbf{(D) }47\qquad\textbf{(E) }49$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 최고차항 계수가 $1$ 이고 차수가 최소인 다항식 $P(x)$ 가 있습니다. 조건은 네 가지: $1$ 은 $P(x)-1$ 의 근, $2$ 는 $P(x-2)$ 의 근, $3$ 은 $P(3x)$ 의 근, $4$ 는 $4P(x)$ 의 근. $P(x)$ 의 근은 하나만 빼고 모두 정수이며, 그 정수가 아닌 근을 기약분수 $\frac{m}{n}$ 으로 쓸 때 $m+n$ 을 구합니다.

주어진 것: $P(x)$ 는 최고차항 계수 $1$, 차수가 최소; 조건 1: $P(1)-1=0$ 이므로 $P(1)=1$; 조건 2: $P(2-2)=0$ 이므로 $P(0)=0$ (즉 $0$ 이 $P$ 의 근); 조건 3: $P(3\cdot 3)=0$ 이므로 $P(9)=0$ (즉 $9$ 가 $P$ 의 근); 조건 4: $4P(4)=0$ 이므로 $P(4)=0$ (즉 $4$ 가 $P$ 의 근); 하나를 제외한 나머지 근은 모두 정수; 선택지: (A) $41$, (B) $43$, (C) $45$, (D) $47$, (E) $49$

구하는 것: 기약분수로 쓴 정수 아닌 근 $\frac{m}{n}$ 과 그 합 $m+n$

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #13 대수로 바꾸기

조건 네 개가 각각 "$k$ 가 어떤 $P$ 식의 근이다" 라는 작은 퍼즐입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 한 줄씩 따로 읽어 $P$ 에 대한 한 가지 사실로 옮깁니다. 세 줄은 $P(\text{어떤 값})=0$ 꼴이라 정수 근 셋을 줍니다. 마지막 한 줄은 $P(1)=1$ 이라는 값 조건 — 여기서 도구 #11(거꾸로 풀기)이 어울립니다. 알아낸 세 근으로 $P$ 를 인수분해 형태로 뒤에서부터 적은 뒤, $x=1$ 대입해 미지의 근을 풀어내는 흐름입니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 끝에 일차방정식 하나만 처리하면 됩니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 1

조건 네 줄을 $P$ 에 대한 사실로 옮깁니다.
"$1$ 은 $P(x)-1$ 의 근" → $P(1)-1=0$ 이므로 $P(1)=1$.
"$2$ 는 $P(x-2)$ 의 근" → $P(2-2)=P(0)=0$.
"$3$ 은 $P(3x)$ 의 근" → $P(3\cdot 3)=P(9)=0$.
"$4$ 는 $4P(x)$ 의 근" → $4P(4)=0$ 이므로 $P(4)=0$.

$$P(1)=1,\quad P(0)=0,\quad P(9)=0,\quad P(4)=0$$

💡 "근이란 식을 $0$ 으로 만드는 값" — 6학년식으로 그대로 대입해 옮겨 적으면 끝.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.5 단계 2

찾은 근을 모읍니다.
조건이 강제하는 정수 근은 $0, 4, 9$ 셋이지만, $P(1)=1$ 조건은 아직 활용 못 했습니다.
$P$ 가 최소 차수이고 정수가 아닌 근이 하나 있다고 했으므로, 미지의 근 $a$ 단 한 개만 추가합니다.
그래서 $P$ 의 근은 정확히 네 개: $0, 4, 9, a$.

$$P \text{ 의 근}: \;0,\;4,\;9,\;a$$

💡 세 근은 못박혔고, 차수가 최소라 했으니 추가 근은 딱 하나 — 그걸 $a$ 로 둡니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.A.2 단계 3

인수분해 형태로 $P$ 를 적습니다.
최고차항 계수 $1$ 과 근 $0, 4, 9, a$ 로부터 인수정리에 의해 $P(x)=(x-0)(x-4)(x-9)(x-a)=x(x-4)(x-9)(x-a)$.

$$P(x)=x(x-4)(x-9)(x-a)$$

💡 근 하나당 인수 하나씩 — 6학년의 "문자로 식 쓰기" 그대로.

#11 거꾸로 풀기 6.EE.B.7 단계 4

남은 조건 $P(1)=1$ 을 써서 $a$ 를 잡습니다.
$x=1$ 대입: $P(1)=1\cdot(1-4)\cdot(1-9)\cdot(1-a)=(-3)(-8)(1-a)=24(1-a)$.
이것을 $1$ 과 같다고 놓습니다.

$$24(1-a)=1$$

💡 인수분해 형태에서 거꾸로 — $a$ 주변의 곱셈을 차례로 풀어 $a$ 만 남깁니다.

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.7 단계 5

일차방정식을 풉니다.
양변을 $24$ 로 나누면 $1-a=\frac{1}{24}$, 따라서 $a=1-\frac{1}{24}=\frac{24-1}{24}=\frac{23}{24}$.

$$a=1-\frac{1}{24}=\frac{23}{24}$$

💡 한 단계 일차방정식 — 나누고 빼면 끝, 6학년 수준.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 6

$\frac{23}{24}$ 가 기약분수임을 확인하고 마무리.
$23$ 은 소수이고 $24$ 의 약수가 아니므로 $\gcd(23,24)=1$.
따라서 $m=23, n=24$ 이고 $m+n=47$, 선택지 (D).

$$m+n=23+24=47\;\Rightarrow\;\textbf{(D)}$$

💡 "이 수가 소수인가?" — $23$ 은 $24$ 와 공통 약수가 없으니 이미 약분 끝, 4학년식.

[1] #7 6.EE.B.5 조건 네 줄을 $P$ 에 대한 사실로 옮깁니다. "$1$ 은 $P(x)-1$ 의 근" → $P(1)-1=0$ 이므로 $P(1)=1$. "$2$

[2] #7 6.EE.B.5 찾은 근을 모읍니다. 조건이 강제하는 정수 근은 $0, 4, 9$ 셋이지만, $P(1)=1$ 조건은 아직 활용 못 했습니다. $P$ 가 최소 차

[3] #13 6.EE.A.2 인수분해 형태로 $P$ 를 적습니다. 최고차항 계수 $1$ 과 근 $0, 4, 9, a$ 로부터 인수정리에 의해 $P(x)=(x-0)(x-4)(

[4] #11 6.EE.B.7 남은 조건 $P(1)=1$ 을 써서 $a$ 를 잡습니다. $x=1$ 대입: $P(1)=1\cdot(1-4)\cdot(1-9)\cdot(1-a)=

[5] #13 6.EE.B.7 일차방정식을 풉니다. 양변을 $24$ 로 나누면 $1-a=\frac{1}{24}$, 따라서 $a=1-\frac{1}{24}=\frac{24-1}

[6] #7 4.OA.B.4 $\frac{23}{24}$ 가 기약분수임을 확인하고 마무리. $23$ 은 소수이고 $24$ 의 약수가 아니므로 $\gcd(23,24)=1$.

검토

합리성 확인: 근 점검. 인수분해 형태에서 $P(0)=0$, $P(4)=0$, $P(9)=0$ 은 한눈에 보입니다. 값 조건 점검: $P(1)=(1)(-3)(-8)(1-\tfrac{23}{24})=24\cdot\tfrac{1}{24}=1$. 모든 조건 통과. 정수가 아닌 근 $\tfrac{23}{24}$ 는 $0$ 과 $1$ 사이, $1$ 에 매우 가까운 값으로, $24(1-a)=1$ 에서 "아주 작은 나머지" 가 $a$ 를 $1$ 근처로 밀어붙이는 그림과 맞아떨어집니다. 선택지 $41,43,45,47,49$ 는 $m/n$ 의 $m+n$ 후보들이고, $\tfrac{23}{24}$ 만이 일치합니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)로 선택지에 직접 대입할 수도 있습니다. $1$ 에 가까운 분수 $\frac{m}{n}$ 후보 (예: $\tfrac{20}{21}, \tfrac{21}{22}, \tfrac{22}{23}, \tfrac{23}{24}, \tfrac{24}{25}$) 를 $24(1-a)=1$ 에 넣어보면 정확히 $\tfrac{23}{24}$ 만이 $24\cdot\tfrac{1}{24}=1$ 로 맞아 떨어지고, 나머지는 빗나갑니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 약수와 배수 모두 찾기, 소수·합성수 판별 ($\gcd(23,24)=1$ 임을 확인해 $\tfrac{23}{24}$ 가 기약분수임을 결정.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고 읽고 계산하기 (근 $0, 4, 9, a$ 로부터 $P(x)=x(x-4)(x-9)(x-a)$ 라는 인수분해 식 세우기.)
6.EE.B.5 방정식·부등식 풀이를 "등식을 참으로 만드는 값 찾기" 로 이해하기 ("$k$ 가 어떤 식의 근" 이라는 조건을 $P(\text{값})=0$ 또는 $P(\text{값})=1$ 사실로 옮기고, 강제되는 근들을 목록으로 정리.)
6.EE.B.7 $px=q$ 꼴 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 (한 단계 방정식 $24(1-a)=1$ 을 풀어 미지의 근 $a$ 결정.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 조건 네 줄을 한 줄씩 따로 읽어 $P$ 에 대한 사실로 옮기는 6학년식 정리만 하면 풀려요 — 세 줄이 정수 근을 못박고, 마지막 한 줄이 $24(1-a)=1$ 이라는 한 단계 방정식이 되어 $a=\tfrac{23}{24}$, $m+n=47$.