AMC 10 · 2023 · #23

학년 8 arithmetic

factorsdivisibility-rulesdigit-sumdifference-of-squares convert-to-algebraidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: factorsdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

If the positive integer $n$ has positive integer divisors $a$ and $b$ with $n = ab$ , then $a$ and $b$ are said to be $\textit{complementary}$ divisors of $n$ . Suppose that $N$ is a positive integer that has one complementary pair of divisors that differ by $20$ and another pair of complementary divisors that differ by $23$ . What is the sum of the digits of $N$ ?

$\textbf{(A) } 9 \qquad \textbf{(B) } 13\qquad \textbf{(C) } 15 \qquad \textbf{(D) } 17 \qquad \textbf{(E) } 19$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수 $N$ 이 두 가지 약수쌍 $N=ab$ 를 가집니다. 한 쌍은 두 약수의 차가 $20$, 다른 한 쌍은 차가 $23$. $N$ 의 자릿수의 합을 구합니다.

주어진 것: $N$ 은 양의 정수; 어떤 약수쌍 $(a, a+20)$ 이 $a(a+20)=N$ 을 만족; 어떤 약수쌍 $(b, b+23)$ 이 $b(b+23)=N$ 을 만족; $a, b$ 는 양의 정수; 선택지: (A) $9$, (B) $13$, (C) $15$, (D) $17$, (E) $19$

구하는 것: $N$ 과 그 자릿수의 합

이해

문제 재정리: 양의 정수 $N$ 이 두 가지 약수쌍 $N=ab$ 를 가집니다. 한 쌍은 두 약수의 차가 $20$, 다른 한 쌍은 차가 $23$. $N$ 의 자릿수의 합을 구합니다.

계획

주요 도구: #13 대수로 바꾸기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기

하나의 미지수 $N$ 에 대한 약수쌍 조건 두 개 — 도구 #13(대수로 바꾸기)이 정공법입니다. $N=a(a+20)=b(b+23)$ 로 두 식을 같게 둡니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 대수 처리를 (i) 두 식 같다고 놓기 (ii) 양변을 두 제곱의 차로 정리 (iii) 우변 작은 상수 인수분해 — 의 세 단계로 분해합니다. 마지막에 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 그 작은 상수($129=3\cdot 43$)의 양의 약수쌍 두 개만 적어두면, 각각이 작은 연립일차방정식이 되어 풀립니다.

실행 — 정답: C

#13 대수로 바꾸기 6.EE.B.6 단계 1

조건 두 줄을 대수로 옮깁니다.
한 쌍은 $a$ 와 $a+20$ 이라 두면 $N=a(a+20)$, 다른 쌍은 $b$ 와 $b+23$ 이라 두면 $N=b(b+23)$.
같다고 놓으면 $a(a+20)=b(b+23)$, 즉 $a^2+20a=b^2+23b$.

$$a^2+20a=b^2+23b$$

💡 6학년 "문제 해결을 위한 식 쓰기" — 약수쌍 조건 두 줄을 각각 곱으로 적습니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 2

양변을 "제곱$-$상수" 형태로 만듭니다.
전체에 $4$ 를 곱해 $a, b$ 의 일차항 계수를 깔끔히 $\pm 40, \pm 46$ 으로 만들면 완전제곱 변형이 쉬워집니다.
$4a^2+80a = 4b^2+92b$ 가 $(2a+20)^2 - 400 = (2b+23)^2 - 529$ 가 됩니다.

$$(2a+20)^2 - 400 = (2b+23)^2 - 529$$

💡 8학년 "제곱 기호 활용" — 일차항까지 묶어 완전제곱식으로 재포장.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.2 단계 3

두 제곱의 차 꼴로 옮깁니다.
2단계에서 $(2b+23)^2 - (2a+20)^2 = 529 - 400 = 129$.

$$(2b+23)^2 - (2a+20)^2 = 129$$

💡 양변을 빼면 "제곱 빼기 제곱 = 작은 상수" 꼴.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 4

$X=2b+23$, $Y=2a+20$ 으로 두고 $X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)$ 로 인수분해.
$(2b-2a+3)(2b+2a+43)=129$.

$$(2b-2a+3)(2b+2a+43)=129$$

💡 고전적인 $X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)$ 분해로, 어려운 방정식이 두 인수의 곱으로 줄어듭니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.B.4 단계 5

$129$ 의 양의 약수쌍을 나열합니다.
$129=3\cdot 43$ 으로 $3$ 과 $43$ 둘 다 소수, 따라서 양의 약수쌍은 $1\cdot 129$ 와 $3\cdot 43$ 뿐.
양의 $a, b$ 에 대해 $2b+2a+43$ 이 더 크므로 두 연립이 나옵니다: (i) $2b-2a+3=1$ 과 $2b+2a+43=129$; (ii) $2b-2a+3=3$ 과 $2b+2a+43=43$.

$$129 = 1\cdot 129 = 3\cdot 43$$

💡 6학년 "약수쌍 찾기" — 시도할 경우 단 두 가지.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 6

(i) 풀이: $2b-2a+3=1$ 에서 $b-a=-1$, 즉 $a=b+1$.
$2b+2a+43=129$ 에 대입하면 $2b+2(b+1)+43=129$, $4b+45=129$, $4b=84$, $b=21$.
그러면 $a=22$.
검산: $N=22\cdot 42=924$ 이고 $N=21\cdot 44=924$, 두 곱 일치 — $N=924$.

$$b=21,\;a=22,\;N=22\cdot 42=21\cdot 44=924$$

💡 8학년 일차방정식 풀이 — 대입해 $b$, 그다음 $a$ 를 풀어냅니다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 7

(ii) 풀이: $2b-2a+3=3$ 에서 $b=a$, $2b+2a+43=43$ 에서 $4a=0$, 즉 $a=0$.
하지만 $a$ 는 양의 정수 약수여야 하므로 기각.
따라서 유일한 해는 $N=924$.

$$a=0 \text{ 기각; } N=924 \text{ 만 유효}$$

💡 두 번째 경우는 $a=0$ 을 강제 — 양의 약수가 아니라 기각.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.A.1 단계 8

$N=924$ 의 자릿수의 합을 계산: $9+2+4=15$, 선택지 (C).

$$9+2+4=15\;\Rightarrow\;\textbf{(C)}$$

💡 2학년 자릿값 — 세 자릿수의 자릿수 셋을 그냥 더합니다.

[1] #13 6.EE.B.6 조건 두 줄을 대수로 옮깁니다. 한 쌍은 $a$ 와 $a+20$ 이라 두면 $N=a(a+20)$, 다른 쌍은 $b$ 와 $b+23$ 이라 두면

[2] #13 8.EE.A.2 양변을 "제곱$-$상수" 형태로 만듭니다. 전체에 $4$ 를 곱해 $a, b$ 의 일차항 계수를 깔끔히 $\pm 40, \pm 46$ 으로 만들

[3] #7 8.EE.A.2 두 제곱의 차 꼴로 옮깁니다. 2단계에서 $(2b+23)^2 - (2a+20)^2 = 529 - 400 = 129$.

[4] #13 8.EE.A.2 $X=2b+23$, $Y=2a+20$ 으로 두고 $X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)$ 로 인수분해. $(2b-2a+3)(2b+2a+43)=129

[5] #2 6.NS.B.4 $129$ 의 양의 약수쌍을 나열합니다. $129=3\cdot 43$ 으로 $3$ 과 $43$ 둘 다 소수, 따라서 양의 약수쌍은 $1\cdot

[6] #13 8.EE.C.7 (i) 풀이: $2b-2a+3=1$ 에서 $b-a=-1$, 즉 $a=b+1$. $2b+2a+43=129$ 에 대입하면 $2b+2(b+1)+43=

[7] #13 8.EE.C.7 (ii) 풀이: $2b-2a+3=3$ 에서 $b=a$, $2b+2a+43=43$ 에서 $4a=0$, 즉 $a=0$. 하지만 $a$ 는 양의 정수

[8] #7 2.NBT.A.1 $N=924$ 의 자릿수의 합을 계산: $9+2+4=15$, 선택지 (C).

검토

합리성 확인: $N=924$ 의 약수쌍을 직접 확인. $924=21\cdot 44$ ($44-21=23$ \checkmark) 그리고 $924=22\cdot 42$ ($42-22=20$ \checkmark). 두 차이 모두 약수쌍 안에 등장합니다. 인수분해 $924=2^2\cdot 3\cdot 7\cdot 11$ 의 약수 개수가 $(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=24$ 개라 약수쌍이 많고, 두 차이 모두 그 안에 들어 있는 게 자연스럽습니다. 자릿수의 합 $9+2+4=15$ 는 선택지 (C) 와 정확히 일치.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)로 작은 $a$ 부터 직접 탐색: 각 $a$ 에 대해 $N=a(a+20)$ 을 계산하고, $N$ 에 차이가 $23$ 인 약수쌍이 또 있는지 확인. $a=22, N=924$ 에서 처음으로 맞아떨어집니다 ($924=21\cdot 44$, $44-21=23$). 자릿수의 합 $15$ 가 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

2.NBT.A.1 세 자리 수의 백·십·일의 자리값 이해 (마지막에 $N=924$ 의 자릿수 $9+2+4$ 를 더하기.)
6.EE.B.6 문제 해결을 위해 변수로 수를 나타내고 식 쓰기 (약수 $a, b$ 를 변수로 두고 $N=a(a+20)=b(b+23)$ 식 세우기.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수·최소공배수 찾기 및 인수 관계 인식 ($129=3\cdot 43$ 의 양의 약수쌍을 나열해 가능한 연립을 두 가지로 좁히기.)
8.EE.A.2 $x^2=p, x^3=p$ 꼴 방정식 해를 제곱근·세제곱근 기호로 표현 ($a^2+20a, b^2+23b$ 를 $(2a+20)^2, (2b+23)^2$ 꼴로 재포장하고 $X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)$ 분해.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀이 (인수분해에서 나온 작은 두 연립일차방정식을 풀어 $b=21, a=22, N=924$ 얻기.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 대수만 있으면 풀려요 — 두 조건을 $N=a(a+20)=b(b+23)$ 로 적어 두 제곱의 차로 정리하면 우변이 $129$, 그 약수쌍만 나열하면 유일한 양의 정수 해가 $N=924$ 라 자릿수의 합은 $15$.