AMC 10 · 2023 · #24

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference

area-regular-hexagonarea-trianglesspatial-visualization identify-subproblemseasier-related-problemarea-difference ↑ 선수 지식: area-trianglespythagorean-theorem

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Six regular hexagonal blocks of side length 1 unit are arranged inside a regular hexagonal frame. Each block lies along an inside edge of the frame and is aligned with two other blocks, as shown in the figure below. The distance from any corner of the frame to the nearest vertex of a block is $\frac{3}{7}$ unit. What is the area of the region inside the frame not occupied by the blocks?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{13 \sqrt{3}}{3}$

(B)

$\frac{216 \sqrt{3}}{49}$

(C)

$\frac{9 \sqrt{3}}{2}$

(D)

$\frac{14 \sqrt{3}}{3}$

(E)

$\frac{243 \sqrt{3}}{49}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정육각형 프레임 안에 변의 길이 $1$ 인 정육각형 블록 여섯 개가 그림처럼 배치되어 있습니다. 각 블록은 프레임 안쪽 한 변을 따라 놓이고 다른 블록 둘과 맞닿습니다. 프레임의 각 꼭짓점에서 가장 가까운 블록 꼭짓점까지의 거리는 $\frac{3}{7}$. 프레임 내부에서 블록이 차지하지 않는 영역의 넓이를 구합니다.

주어진 것: 각 작은 블록은 변의 길이 $1$ 인 정육각형; 여섯 개의 블록; 각각 프레임의 서로 다른 안쪽 변을 따라 위치; 각 블록은 다른 두 블록과 맞닿음(정렬); 꼭짓점에서 가장 가까운 블록 꼭짓점까지 거리 = $\frac{3}{7}$; 선택지: (A) $\tfrac{13\sqrt{3}}{3}$, (B) $\tfrac{216\sqrt{3}}{49}$, (C) $\tfrac{9\sqrt{3}}{2}$, (D) $\tfrac{14\sqrt{3}}{3}$, (E) $\tfrac{243\sqrt{3}}{49}$

구하는 것: 프레임 안에서 블록이 차지하지 않는 영역의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #1(그림 그리기)이 필수 — 큰 정육각형, 안쪽 변마다 붙은 작은 정육각형 여섯 개, 가운데 남는 빈 공간을 그립니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 넓이를 두 조각으로 나눕니다: (큰 육각형 넓이) $-$ (작은 육각형 6개의 넓이). 가장 까다로운 건 큰 정육각형의 변의 길이 $S$ — 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 정공: $\tfrac{3}{7}$ 거리는 일단 무시하고, 작은 육각형 여섯 개가 변의 길이 $1$ 인 중앙 육각형 구멍을 빙 두르는 가장 깔끔한 배치만 봅니다. 중심에서 윗변까지 세로 거리를 더하면 $S=3$ 이 떨어지고, 이 $S$ 값은 $\tfrac{3}{7}$ 와 무관함이 확인됩니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

배치를 그립니다.
큰 정육각형을 원점에 두고 위·아래 변을 수평으로 둡니다.
작은 정육각형 여섯 개는 안쪽 변마다 하나씩 붙고 양옆 두 개와 맞닿아 가운데에 정육각형 모양의 빈 공간(중앙 구멍)을 만듭니다.
전체 도형은 프레임과 같은 육각 대칭.

$$\text{큰 육각형: 변 } S, \;\text{작은 육각형: 변 } 1$$

💡 4학년 "평행·수직 분류" — 윗·아랫변이 평행이 되게 두면 대칭이 한눈에 보입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

목표 넓이를 분해합니다.
큰 육각형의 넓이를 $A_{\text{큰}}$, 작은 육각형 하나의 넓이를 $A_{\text{작}}$ 이라 하면, 빈 공간의 넓이는 $A_{\text{큰}} - 6\,A_{\text{작}}$.

$$\text{답} = A_{\text{큰}} - 6\,A_{\text{작}}$$

💡 6학년 "넓이는 분해·합성" — 복잡한 영역을 쉬운 두 조각의 차로.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

작은 육각형 하나의 넓이.
한 변이 $s$ 인 정육각형은 한 변이 $s$ 인 정삼각형 $6$ 개로 분해.
정삼각형 높이는 피타고라스 ($1^2 = (\tfrac{1}{2})^2 + h^2 \Rightarrow h = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ for $s=1$) 로 $\tfrac{s\sqrt{3}}{2}$, 넓이 $\tfrac{1}{2}\cdot s \cdot \tfrac{s\sqrt{3}}{2} = \tfrac{s^2\sqrt{3}}{4}$.
$s=1$ 이면 정육각형 넓이 $= 6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}$.

$$A_{\text{작}} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}, \quad 6\,A_{\text{작}} = 9\sqrt{3}$$

💡 8학년 피타고라스가 정삼각형 높이 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ 를 주고, 합동인 삼각형 여섯이 육각형을 채웁니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.G.B.7 단계 4

큰 육각형의 변 $S$ 를 더 쉬운 배치로부터 찾습니다.
$\tfrac{3}{7}$ 은 일단 무시 — 작은 육각형 여섯이 변의 길이 $1$ 인 중앙 육각형 구멍을 빙 두르는 가장 깔끔한 배치에서 (인접한 작은 육각형끼리 변을 공유), 그림의 중심에서 위쪽으로 프레임 윗변까지의 세로 거리를 측정.

$$\text{중심에서 윗변까지 거리} = \tfrac{S\sqrt{3}}{2}$$

💡 더 쉬운 문제로 — 프레임 크기가 $\tfrac{3}{7}$ 에 의존하지 않을 거라는 직관, 가장 깔끔한 배치부터 풉니다.

#1 그림 그리기 8.NS.A.2 단계 5

중심에서 위로 쌓아 더합니다.
중심에서 중앙 구멍 윗변까지: 중앙 정육각형의 변심거리 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$.
거기서 위쪽 작은 육각형 윗변까지: 작은 육각형의 전체 높이 $2 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
합 $= \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}$, 이는 큰 육각형의 변심거리 $\tfrac{S\sqrt{3}}{2}$ 와 같습니다.
따라서 $S = 3$.

$$\tfrac{S\sqrt{3}}{2} = \tfrac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} \;\Rightarrow\; S = 3$$

💡 8학년 "무리수의 유리근사 비교" — 모든 길이가 $\sqrt{3}$ 의 유리배수라 $\sqrt{3}$ 가 깔끔히 약분됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 6

큰 육각형의 넓이.
$S=3$ 이면 $A_{\text{큰}} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\, S^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 9 = \tfrac{27\sqrt{3}}{2}$.

$$A_{\text{큰}} = \tfrac{27\sqrt{3}}{2}$$

💡 3단계의 육각형 공식을 $S=3$ 으로 끌어올린 것 (계수 $9$ 배).

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.1 단계 7

빼서 마무리: $A_{\text{큰}} - 6 A_{\text{작}} = \tfrac{27\sqrt{3}}{2} - 9\sqrt{3} = \tfrac{27\sqrt{3}}{2} - \tfrac{18\sqrt{3}}{2} = \tfrac{9\sqrt{3}}{2}$, 선택지 (C).

$$\tfrac{27\sqrt{3}}{2} - 9\sqrt{3} = \tfrac{9\sqrt{3}}{2} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 7학년 "유리수 덧·뺄셈" — 공통분모 $2$ 로 맞춰 뺍니다.

[1] #1 4.G.A.2 배치를 그립니다. 큰 정육각형을 원점에 두고 위·아래 변을 수평으로 둡니다. 작은 정육각형 여섯 개는 안쪽 변마다 하나씩 붙고 양옆 두 개와 맞

[2] #7 6.G.A.1 목표 넓이를 분해합니다. 큰 육각형의 넓이를 $A_{\text{큰}}$, 작은 육각형 하나의 넓이를 $A_{\text{작}}$ 이라 하면, 빈

[3] #7 8.G.B.7 작은 육각형 하나의 넓이. 한 변이 $s$ 인 정육각형은 한 변이 $s$ 인 정삼각형 $6$ 개로 분해. 정삼각형 높이는 피타고라스 ($1^2

[4] #9 8.G.B.7 큰 육각형의 변 $S$ 를 더 쉬운 배치로부터 찾습니다. $\tfrac{3}{7}$ 은 일단 무시 — 작은 육각형 여섯이 변의 길이 $1$ 인

[5] #1 8.NS.A.2 중심에서 위로 쌓아 더합니다. 중심에서 중앙 구멍 윗변까지: 중앙 정육각형의 변심거리 $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$. 거기서 위쪽 작은

[6] #7 6.G.A.1 큰 육각형의 넓이. $S=3$ 이면 $A_{\text{큰}} = \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\, S^2 = \tfrac{3\sqrt{3

[7] #7 7.NS.A.1 빼서 마무리: $A_{\text{큰}} - 6 A_{\text{작}} = \tfrac{27\sqrt{3}}{2} - 9\sqrt{3} = \tf

검토

합리성 확인: 수치 점검. 큰 육각형 넓이 $\tfrac{27\sqrt{3}}{2} \approx 23.4$, 작은 육각형 여섯 개 합 $9\sqrt{3} \approx 15.6$, 빈 공간 $\approx 7.8$, $\tfrac{9\sqrt{3}}{2} \approx 7.79$ — 일치. 답이 정확히 큰 육각형 넓이의 $\tfrac{1}{3}$ ($\tfrac{9}{27}=\tfrac{1}{3}$) 라는 깔끔한 비율은, 배치를 어떻게 늘리든 살아남는 비율이라 $\tfrac{3}{7}$ 이 함정이라는 점과 정확히 부합합니다. 분모 $49$ 의 (B), (E) 는 $S$ 가 $\tfrac{3}{7}$ 에 의존한다고 잘못 가정했을 때 나오는 값들; (A), (D) 는 변심거리 합산에서 한 계단 어긋난 값.

대안 접근: 도구 #3(가능성 좁히기): 모든 길이가 $1$ 의 유리배수 또는 $\sqrt{3}$ 의 유리배수라, 답은 "$\sqrt{3}$ 의 유리배수" 꼴이어야 하고, 큰 육각형 넓이의 깔끔한 비율이어야 합니다. 여섯 개 작은 육각형 + 중앙 구멍이 작은 육각형 7개분이라 "빈 공간 = $\tfrac{1}{3}$ 큰 육각형" 이 가장 자연스러운 답 — 곧바로 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.2 평행·수직선·특정 각 유무로 이차원 도형 분류 (배치를 "큰 정육각형 + 가운데 정육각형 구멍 + 그 둘레의 작은 정육각형 6개" 로 식별.)
6.G.A.1 직사각형으로 합성하거나 삼각형으로 분해해 삼각형·특수 사각형·다각형의 넓이 구하기 (정육각형을 정삼각형 6개로 분해하고, 답을 두 육각형 넓이의 차로 계산.)
7.NS.A.1 유리수의 덧·뺄셈 확장 적용 ($\tfrac{27\sqrt{3}}{2} - 9\sqrt{3}$ 을 공통분모로 빼서 $\tfrac{9\sqrt{3}}{2}$.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 변의 길이 구하기 (변의 길이 $s$ 인 정삼각형의 높이 $\tfrac{s\sqrt{3}}{2}$ 와 정육각형의 변심거리 $\tfrac{S\sqrt{3}}{2}$ 유도.)
8.NS.A.2 무리수의 유리근사로 크기 비교 및 수직선 위 위치 (변심거리를 $\sqrt{3}$ 의 유리배수로 비교해 $\tfrac{S\sqrt{3}}{2}=\tfrac{3\sqrt{3}}{2}$ 로부터 $S=3$ 결론.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 정삼각형에 8학년 피타고라스 한 번, 그리고 넓이를 "두 육각형의 차" 로 보는 분해만 알면 풀려요 — $\tfrac{3}{7}$ 은 함정, 가장 깔끔한 배치만 보면 $S=3$, 남는 넓이는 $\tfrac{27\sqrt{3}}{2}-9\sqrt{3}=\tfrac{9\sqrt{3}}{2}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

비슷한 유형 더 풀어보기