AMC 10 · 2023 · #25

학년 7 probability

probability-basicspatial-visualizationpolyhedron-netssymmetry-argument complementary-countingcaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basicspatial-visualization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

If $A$ and $B$ are vertices of a polyhedron, define the distance $d(A,B)$ to be the minimum number of edges of the polyhedron one must traverse in order to connect $A$ and $B$ . For example, if $\overline{AB}$ is an edge of the polyhedron, then $d(A, B) = 1$ , but if $\overline{AC}$ and $\overline{CB}$ are edges and $\overline{AB}$ is not an edge, then $d(A, B) = 2$ . Let $Q$ , $R$ , and $S$ be randomly chosen distinct vertices of a regular icosahedron (regular polyhedron made up of 20 equilateral triangles). What is the probability that $d(Q, R) > d(R, S)$ ?

$\textbf{(A) } \frac{7}{22} \qquad \textbf{(B) } \frac{1}{3} \qquad \textbf{(C) } \frac{3}{8} \qquad \textbf{(D) } \frac{5}{12} \qquad \textbf{(E) } \frac{1}{2}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{7}{22}$

(B)

$frac{1}{3}$

(C)

$frac{3}{8}$

(D)

$frac{5}{12}$

(E)

$frac{1}{2}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정이십면체(정삼각형 면 $20$ 개, 꼭짓점 $12$ 개)에서 거리 $d(A,B)$ 를 "$A$ 에서 $B$ 로 가는 경로상 최소 모서리 수" 로 정의합니다. 서로 다른 세 꼭짓점 $Q, R, S$ 를 무작위로 뽑을 때 $d(Q, R) > d(R, S)$ 일 확률을 구합니다.

주어진 것: 정이십면체: 꼭짓점 $12$, 모서리 $30$, 정삼각형 면 $20$; 각 꼭짓점에서 정삼각형 $5$ 개(따라서 모서리 $5$ 개) 만남; $d(A,B)$ 는 $A \to B$ 의 최단 모서리 경로 길이; $Q, R, S$ 는 균등분포로 무작위 추출되는 서로 다른 세 꼭짓점; 선택지: (A) $\tfrac{7}{22}$, (B) $\tfrac{1}{3}$, (C) $\tfrac{3}{8}$, (D) $\tfrac{5}{12}$, (E) $\tfrac{1}{2}$

구하는 것: 확률 $P(d(Q, R) > d(R, S))$

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #10 직접 만져보기, #2 빠짐없이 나열하기

$d(Q,R) > d(R,S)$ 인 경우를 직접 세려면 $Q, S$ 의 세 거리 값을 모두 경우 분석해야 합니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 가 영리한 수: 대칭으로 $P(>) = P(<)$, 그래서 $1 = P(>) + P(<) + P(=) = 2 P(>) + P(=)$. $P(=)$ 만 구하면 끝. 도구 #10(직접 만져보기) — 정이십면체 모형을 시각화 — 로 꼭짓점 거리 분포 $(5, 5, 1)$ 를 읽어내고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 $d(R,Q)=d(R,S)$ 인 순서쌍 $(Q, S)$ 를 거리 값별로 합산합니다.

실행 — 정답: A

#10 직접 만져보기 6.G.A.4 단계 1

고정된 꼭짓점에서의 거리 분포를 찾습니다.
대칭으로 임의의 꼭짓점 $R$ 을 고정.
$R$ 과 모서리를 공유하는 꼭짓점은 $5$ 개 (거리 $1$).
정반대편 대척점은 거리 $3$ ($1$ 개뿐).
나머지 $11 - 5 - 1 = 5$ 개가 거리 $2$.

$$R \text{ 에서: } 5 \text{ 개가 } d=1, \;5 \text{ 개가 } d=2, \;1 \text{ 개가 } d=3$$

💡 6학년 "3차원 도형의 전개도로 표현" — 정이십면체를 머릿속에 만들어 각 "환" 의 꼭짓점 수를 셉니다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.7 단계 2

$Q$ 와 $S$ 의 대칭성을 활용.
$Q, S$ 는 같은 방법으로 뽑히므로 ($R$ 제외 $11$ 개 중 둘) $P(d(Q,R) > d(R,S)) = P(d(Q,R) < d(R,S))$.
여기에 $P(=)$ 까지 세 사건이 표본공간을 분할: $1 = 2 P(>) + P(=)$, 따라서 $P(>) = \tfrac{1 - P(=)}{2}$.

$$P(>) = \tfrac{1 - P(=)}{2}$$

💡 7학년 확률 — 대칭으로 $>$ 와 $<$ 사건의 확률이 같으니, $P(=)$ 만 구하면 됨.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

$Q, S$ 가 서로 다르고 둘 다 $R$ 이 아닌 순서쌍 총 개수를 셉니다.
$Q$ 는 $11$ 가지, $S$ 는 남은 $10$ 가지, 총 $110$ 개 순서쌍.

$$11 \times 10 = 110$$

💡 7학년 "곱셈 원리" — 선택지를 곱합니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

공통 거리 값별로 $d(R, Q) = d(R, S)$ 인 순서쌍을 셉니다.
$d=1$: $Q$ 는 이웃 $5$ 개 중에서, $S$ 는 남은 $4$ 개 중에서 — $5 \times 4 = 20$.
$d=2$: 마찬가지로 $5 \times 4 = 20$.
$d=3$: 거리 $3$ 인 꼭짓점은 $1$ 개뿐, 서로 다른 두 꼭짓점 선택 불가 — $0$.
합 $= 20 + 20 + 0 = 40$.

$$\#\{(Q,S): d(R,Q)=d(R,S)\} = 20 + 20 + 0 = 40$$

💡 7학년 "정리된 목록으로 표본공간" — 가능한 세 공통 거리 값에 대해 각각 합산.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.7 단계 5

$P(=)$ 계산 후 마무리.
$P(=) = \tfrac{40}{110} = \tfrac{4}{11}$.
그러면 $P(>) = \tfrac{1 - \tfrac{4}{11}}{2} = \tfrac{7/11}{2} = \tfrac{7}{22}$, 선택지 (A).

$$P(>) = \tfrac{1 - 4/11}{2} = \tfrac{7}{22} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 2단계의 대칭 공식에 $P(=) = \tfrac{4}{11}$ 을 대입 — 끝.

[1] #10 6.G.A.4 고정된 꼭짓점에서의 거리 분포를 찾습니다. 대칭으로 임의의 꼭짓점 $R$ 을 고정. $R$ 과 모서리를 공유하는 꼭짓점은 $5$ 개 (거리 $1

[2] #16 7.SP.C.7 $Q$ 와 $S$ 의 대칭성을 활용. $Q, S$ 는 같은 방법으로 뽑히므로 ($R$ 제외 $11$ 개 중 둘) $P(d(Q,R) > d(R,S

[3] #2 7.SP.C.8 $Q, S$ 가 서로 다르고 둘 다 $R$ 이 아닌 순서쌍 총 개수를 셉니다. $Q$ 는 $11$ 가지, $S$ 는 남은 $10$ 가지, 총 $

[4] #2 7.SP.C.8 공통 거리 값별로 $d(R, Q) = d(R, S)$ 인 순서쌍을 셉니다. $d=1$: $Q$ 는 이웃 $5$ 개 중에서, $S$ 는 남은 $4

[5] #16 7.SP.C.7 $P(=)$ 계산 후 마무리. $P(=) = \tfrac{40}{110} = \tfrac{4}{11}$. 그러면 $P(>) = \tfrac{1

검토

합리성 확인: 수치 점검. $P(>) = \tfrac{7}{22} \approx 0.318$, $\tfrac{1}{3}$ 바로 아래로 적절한 범위입니다. 만약 $11 \cdot 10 = 110$ 쌍이 $>, <, =$ 셋으로 정확히 삼등분되면 각 $\tfrac{1}{3}$ 이지만, $P(=) = \tfrac{4}{11} \approx 0.364$ 가 $\tfrac{1}{3}$ 보다 살짝 크므로 $P(>)$ 는 $\tfrac{1}{3}$ 보다 살짝 작아 $\tfrac{7}{22}$. 거리 분포 $(5, 5, 1)$ 은 $R$ 제외 $11$ 개 꼭짓점 전체를 정확히 덮고, 같은 거리 쌍 $40$ 개는 단일 대척점 경우를 제대로 제외. $\tfrac{7}{22}$ 는 선택지에 정확히 있습니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 좁히기): 답의 분모가 $12$ 인 (D) $\tfrac{5}{12}$ 같은 값은 $11 \times 10 = 110$ 순서쌍에서 나올 수 없음 ($12 \nmid 110$). 비슷하게 $\tfrac{3}{8}, \tfrac{1}{3}$ 도 분모 $8, 3$ 이 필요하지만 $110 = 2 \cdot 5 \cdot 11$ 에 $11$ 이 들어 있어 약분 후 분모에 $11$ 이 남아야 합니다. 선택지 중 분모에 $11$ 이 있는 것은 $\tfrac{7}{22}$ 뿐 — 전체 카운트 없이도 (A) 로 좁혀집니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.G.A.4 직사각형·삼각형 전개도로 3차원 도형 표현하고 겉넓이 구하기 (정이십면체(정삼각형 면 $20$, 꼭짓점 $12$, 각 꼭짓점에 삼각형 $5$ 개 만남) 를 시각화해 임의의 고정 꼭짓점에서의 거리 분포를 읽어냄.)
7.SP.C.7 확률 모형을 세우고 사건의 확률을 구하기; 모형의 확률과 관측 빈도를 비교 (서로 다른 세 꼭짓점의 균등 확률 모형을 세우고 대칭으로 $P(>) = (1 - P(=))/2$ 라는 공식 유도.)
7.SP.C.8 정리된 목록·표·나무그림·모의실험으로 복합 사건의 확률 구하기 ($110$ 개 순서쌍 $(Q, S)$ 중 $R$ 에서 같은 거리에 있는 $40$ 개를 세 공통 거리 값별로 합산해 셈.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 7학년 확률만 있으면 풀려요 — 정이십면체를 머릿속에 그려 한 꼭짓점에서 나머지 $11$ 개가 $5+5+1$ 로 분포함을 보고, 대칭으로 $P(>) = (1 - P(=))/2$. $110$ 쌍 중 같은 거리 $40$ 쌍이라 $\tfrac{7}{22}$.