AMC 10 · 2023 · #3

학년 6 number-theory

perfect-squaresdivisibility-rulesprime-numbersmultiples pattern-recognitionbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: perfect-squaresmultiples

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

How many positive perfect squares less than $2023$ are divisible by $5$ ?

$\textbf{(A) } 8 \qquad\textbf{(B) }9 \qquad\textbf{(C) }10 \qquad\textbf{(D) }11 \qquad\textbf{(E) } 12$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: (a) $2023$ 미만이고 (b) $5$ 의 배수인 양의 완전제곱수가 몇 개인지 구하세요.

주어진 것: 어떤 양의 정수 $k$ 에 대해 $N = k^2$; 조건 1: $N < 2023$; 조건 2: $5 \mid N$; 선택지: (A) $8$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $11$, (E) $12$

구하는 것: 두 조건을 모두 만족하는 양의 완전제곱수 $N$ 의 개수

이해

문제 재정리: (a) $2023$ 미만이고 (b) $5$ 의 배수인 양의 완전제곱수가 몇 개인지 구하세요.

주어진 것: 어떤 양의 정수 $k$ 에 대해 $N = k^2$; 조건 1: $N < 2023$; 조건 2: $5 \mid N$; 선택지: (A) $8$, (B) $9$, (C) $10$, (D) $11$, (E) $12$

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

$5 \mid k^2$ 이 $5 \mid k$ 를 강제한다는 것($5$ 가 소수이기 때문)을 알아챈 순간, 조건을 만족하는 제곱수는 정확히 $5^2, 10^2, 15^2, \ldots$ — $k$ 에 대해 깔끔한 규칙적 패턴이 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 틀을 잡습니다 — $k = 5m$ 으로 두면 조건은 $25 m^2 < 2023$. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 마무리 — $m = 1, 2, 3, \ldots$ 을 차례로 적어 경계를 넘는 첫 $m$ 에서 멈추면 됩니다. 대수(#13)는 더 무겁고, $2023$ 미만 제곱수 $44$ 개를 전부 검사하는 것은 낭비 — 패턴 $+$ 나열 조합이 가장 자연스럽습니다.

실행 — 정답: A

#5 패턴 찾기 6.EE.A.1 단계 1

소인수분해로 나눗셈 조건을 단단하게 정리합니다.
완전제곱수의 소인수분해는 모든 지수가 짝수이므로, $5$ 가 $k^2$ 을 나누려면 지수가 최소 $2$ 이상이어야 하고, 이는 $5$ 가 이미 $k$ 를 나눈다는 뜻.
즉 $k$ 는 $5$ 의 배수.

$$5 \mid k^2 \;\Longleftrightarrow\; 5 \mid k$$

💡 제곱수를 소인수로 들여다보면 "제곱을 나누는 소수는 이미 밑(base)을 나눈다" — 6학년 "자연수 지수가 들어간 식" 표준 그대로.

#5 패턴 찾기 6.EE.B.6 단계 2

$k = 5m$ ($m$ 은 양의 정수)으로 두면 $N = k^2 = 25 m^2$.
$N < 2023$ 조건이 $m^2$ 하나에 대한 조건으로 깔끔해집니다.

$$N = (5m)^2 = 25 m^2 < 2023 \;\Longrightarrow\; m^2 < \dfrac{2023}{25} = 80.92$$

💡 $k$ 를 $5m$ 으로 다시 이름 지으면 "$k$ 가 $5$ 의 배수" 라는 패턴이 $m$ 만 들어간 6학년 식으로 바뀌고, 나눗셈 조건은 사라집니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.C.7 단계 3

양의 정수 $m$ 을 순서대로 적고 그 제곱이 $80.92$ 를 넘는 순간 멈춥니다.
친숙한 제곱들이라 빠르게 진행됩니다.

$$1^2{=}1,\;2^2{=}4,\;3^2{=}9,\;4^2{=}16,\;5^2{=}25,\;6^2{=}36,\;7^2{=}49,\;8^2{=}64,\;9^2{=}81$$

💡 $1^2$ 부터 $9^2$ 까지를 외워 두는 것은 3학년 곱셈 유창성 표준 — 리스트가 저절로 만들어집니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 4

경계 $80.92$ 와 비교.
$1$ 부터 $64$ 까지는 모두 $80.92$ 미만이므로 $m = 1, 2, \ldots, 8$ 은 통과.
하지만 $9^2 = 81 > 80.92$ 라 $m = 9$ 는 탈락.
유효한 $m$ 은 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ — 정확히 $8$ 개.

$$m \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\} \;\Rightarrow\; 8 \text{ 개} \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 $m$ 하나마다 허용되는 $k = 5m$ 이 하나, 따라서 완전제곱수 $25 m^2$ 도 하나 — 유효 $m$ 을 세는 것이 곧 $N$ 을 세는 것. 4학년 배수 세기 수준의 일.

[1] #5 6.EE.A.1 소인수분해로 나눗셈 조건을 단단하게 정리합니다. 완전제곱수의 소인수분해는 모든 지수가 짝수이므로, $5$ 가 $k^2$ 을 나누려면 지수가 최소

[2] #5 6.EE.B.6 $k = 5m$ ($m$ 은 양의 정수)으로 두면 $N = k^2 = 25 m^2$. $N < 2023$ 조건이 $m^2$ 하나에 대한 조건으로

[3] #2 3.OA.C.7 양의 정수 $m$ 을 순서대로 적고 그 제곱이 $80.92$ 를 넘는 순간 멈춥니다. 친숙한 제곱들이라 빠르게 진행됩니다.

[4] #2 4.OA.B.4 경계 $80.92$ 와 비교. $1$ 부터 $64$ 까지는 모두 $80.92$ 미만이므로 $m = 1, 2, \ldots, 8$ 은 통과. 하지

검토

합리성 확인: 양 끝을 점검. $m = 1$ 이면 $N = 25 = 5^2 < 2023$ 이고 $5$ 로 나누어떨어짐 — 통과. $m = 8$ 이면 $N = 25 \cdot 64 = 1600 = 40^2 < 2023$ 이고 $5$ 의 배수 — 통과. $m = 9$ 이면 $N = 25 \cdot 81 = 2025 \geq 2023$ — 탈락, 상한이 맞음. 따라서 정확히 $8$ 개, (A) 와 일치.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기): $k^2 < 2023$ 과 $5 \mid k$ 를 함께 만족하는 $k$ 중 가장 큰 값을 찾자. $\sqrt{2023} \approx 44.98$ 이므로 $k \leq 44$, 그중 가장 큰 $5$ 의 배수는 $k = 40$. $5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40$ 을 나열하면 $8$ 개 — (A) 일치.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.OA.C.7 100 이내에서 곱셈·나눗셈 유창하게 하기 ($1^2$ 부터 $9^2$ 까지를 즉시 알고 있어 리스트 $1, 4, 9, \ldots, 81$ 을 한 번에 적어 $80.92$ 와 비교하는 데 사용.)
4.OA.B.4 자연수의 인수쌍 찾기·배수 인식하기 (유효한 $k$ 가 $\{5, 10, 15, \ldots, 40\}$ 의 $5$ 의 배수임을 세는 데 사용.)
6.EE.A.1 자연수 지수가 포함된 수치식 쓰고 계산하기 ("제곱 속의 소수는 이미 밑에 있다" — $k^2$ 의 지수 추론으로 $5 \mid k$ 를 도출하는 데 사용.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 식을 써서 문제 해결하기 ($k = 5m$ 으로 두고 조건을 $25 m^2 < 2023$, 즉 $m^2 < 80.92$ 로 다시 쓰는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "제곱 안의 $5$ 는 밑에도 $5$ 가 있다" 사고만 알면 풀 수 있어요 — $5, 10, \ldots, 40$ 의 제곱, 딱 여덟 개!