AMC 10 · 2023 · #4
학년 6 geometry-2d문제
A quadrilateral has all integer sides lengths, a perimeter of , and one side of length . What is the greatest possible length of one side of this quadrilateral?
답을 골라 클릭하세요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 변의 길이가 모두 정수이고 둘레가 $26$, 그중 한 변이 $4$ 인 사각형이 있습니다. 한 변의 길이로 가능한 가장 큰 값은 얼마인가요?
주어진 것: 네 정수 변 $a, b, c, d$ 의 합 $a + b + c + d = 26$; 한 변이 $4$ — $d = 4$ 로 둠; 모든 변은 양의 정수; 네 길이가 진짜 (퇴화되지 않은) 사각형을 이뤄야 함; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $11$, (D) $12$, (E) $13$
구하는 것: 한 변의 길이로 가능한 최댓값 (정수)
이해
문제 재정리: 네 변의 길이가 모두 정수이고 둘레가 $26$, 그중 한 변이 $4$ 인 사각형이 있습니다. 한 변의 길이로 가능한 가장 큰 값은 얼마인가요?
주어진 것: 네 정수 변 $a, b, c, d$ 의 합 $a + b + c + d = 26$; 한 변이 $4$ — $d = 4$ 로 둠; 모든 변은 양의 정수; 네 길이가 진짜 (퇴화되지 않은) 사각형을 이뤄야 함; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $11$, (D) $12$, (E) $13$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기
둘레가 고정된 도형 문제는 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스러운 출발 — 가장 긴 변을 너무 길게 잡으면 나머지 세 변이 그 양 끝을 "감싸지 못해" 도형이 직선으로 납작해진다는 것이 그림 한 장으로 보입니다. 이것이 곧 다각형 부등식. "긴 변 $<$ 둘레의 절반" 이라는 한계가 보인 뒤에는, 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 (E) $13$ 부터 내려가며 시도하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 마무리합니다. 대수(#13)는 굳이 필요 없습니다 — 그림이 더 빨라요.
실행 — 정답: D
3.MD.D.8 단계 1 - 한 변이 $4$ 인 사각형을 스케치합니다.
- 나머지 세 변 중 하나를 가능한 한 길게 잡으려면 그 변을 길게 밀고, 다른 세 변이 양 끝을 감싸 닫혀야 합니다.
💡 사각형을 그리면 둘레가 닫힌 고리로 보입니다 — "둘레 $=$ 변의 합" 이라는 3학년 다각형 둘레 개념 그대로.
4.MD.A.3 단계 2 - 그림에서 한 변 $a$ 가 가장 길다면, 나머지 세 변은 $a$ 의 양 끝을 잇는 길이여야 합니다.
- 그 합이 $a$ 보다 커야만 고리가 닫힙니다 — 그렇지 않으면 도형이 직선으로 납작해지죠.
- 이게 다각형 부등식.
💡 삼각형 부등식의 직관을 다각형으로 확장 — 한 변은 나머지 변을 따라가는 길보다 짧아야 한다는 4학년식 다각형 둘레 사고.
6.EE.B.8 단계 3 둘레 식에서 $b + c + d = 26 - a$ 를 대입하면 변수 하나짜리 부등식이 됩니다.
💡 한 식을 다른 식에 대입해 미지수 하나의 부등식을 만드는 것 — 6학년 "수직선 위의 부등식" 동작.
5.OA.A.2 단계 4 - 선택지 위에서부터 내려가며 시도.
- (E) $13$ 은 부등호가 엄격하므로($a < 13$) 탈락.
- $a = 12$ 를 시도: 나머지 세 변은 $b + c + d = 14$, 그중 하나는 $4$ 이므로 $b + c = 10$.
- 양의 정수 쌍 (예: $5, 5$)이 가능하고 $12 < 5 + 5 + 4 = 14$ 도 만족.
- 그러므로 $a = 12$ 는 실제로 가능.
💡 $12$ 을 부등식에 넣어 보고 실제 합법 사각형을 만들어 보는 것 — 5학년 "수치식 쓰고 확인하기" 수준.
6.EE.B.8 단계 5 - 다른 선택지 정리.
- (E) $13$ 은 $a < 13$ 위반(나머지 세 변의 합이 정확히 $13$ 이 되어 도형이 납작해짐) — 탈락.
- (A)-(C) 는 $12$ 보다 작아 최댓값이 될 수 없음.
- 결국 가장 큰 변은 $12$, 선택지 (D).
💡 엄격한 한계 $a < 13$ 를 손에 쥐면, 합법이면서 가장 큰 선택지는 오직 (D) — 6학년 부등식 추론이 답을 정해줍니다.
3.MD.D.8 한 변이 $4$ 인 사각형을 스케치합니다. 나머지 세 변 중 하나를 가능한 한 길게 잡으려면 그 변을 길게 밀고, 다른 세 변이 양 끝을 감싸 4.MD.A.3 그림에서 한 변 $a$ 가 가장 길다면, 나머지 세 변은 $a$ 의 양 끝을 잇는 길이여야 합니다. 그 합이 $a$ 보다 커야만 고리가 닫힙니다 6.EE.B.8 둘레 식에서 $b + c + d = 26 - a$ 를 대입하면 변수 하나짜리 부등식이 됩니다. 5.OA.A.2 선택지 위에서부터 내려가며 시도. (E) $13$ 은 부등호가 엄격하므로($a < 13$) 탈락. $a = 12$ 를 시도: 나머지 세 변은 $ 6.EE.B.8 다른 선택지 정리. (E) $13$ 은 $a < 13$ 위반(나머지 세 변의 합이 정확히 $13$ 이 되어 도형이 납작해짐) — 탈락. (A)- 검토
합리성 확인: 경계 재확인. $a = 13$ 이면 $b + c + d = 13 = a$ — 다각형 부등식 위반(고리가 긴 변 위에 그대로 포개짐)이므로 $13$ 은 정말 안 됨. $a = 12$ 라면 $(12, 5, 5, 4)$ 변으로 된 사각형이 둘레 $26$, $12 < 14$ 모두 만족 — 실제로 존재. 답 $12$ 가 (D) 와 일치. 크기 감각: 한계는 "둘레의 절반보다 작다" — $26/2 = 13$ 미만의 가장 큰 정수가 $12$.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): $a + b + c + 4 = 26$ 과 가장 긴 변에 대한 다각형 부등식 $a < b + c + 4$ 를 세우고, $b + c = 22 - a$ 를 대입하면 $a < 26 - a$, 즉 $a < 13$. 그보다 작은 가장 큰 정수가 $12$. 같은 답 (D).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.MD.D.8다각형의 둘레와 관련된 실세계 문제 풀기 (둘레 $a + b + c + d = 26$ 을 사각형을 한 바퀴 도는 닫힌 고리로 읽고, $d = 4$ 를 써서 $a + b + c = 22$ 를 얻는 데 사용.)4.MD.A.3직사각형의 넓이·둘레 공식을 실세계 문제에 적용 (다각형 둘레 그림을 다각형 부등식 직관으로 확장 — 가장 긴 변이 나머지 합 이상이면 도형이 납작해진다.)5.OA.A.2수치 계산을 기록하는 간단한 식 쓰기 (구체적인 합법 사각형 $(12, 5, 5, 4)$ 를 만들고 $12 + 5 + 5 + 4 = 26$, $12 < 5 + 5 + 4$ 를 확인하는 데 사용.)6.EE.B.8$x > c$ 또는 $x < c$ 꼴 부등식을 쓰고 수직선에 그리기 (대입된 부등식 $a < 26 - a$ 를 풀어 $a < 13$ 을 얻은 뒤 그 범위에서 가장 큰 정수를 고르는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "$x < c$" 부등식만 알면 풀 수 있어요 — 한 변은 둘레의 절반보다 작아야 하니, $\tfrac{26}{2} = 13$ 미만, 곧 $12$!
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "$x < c$" 부등식만 알면 풀 수 있어요 — 한 변은 둘레의 절반보다 작아야 하니, $\tfrac{26}{2} = 13$ 미만, 곧 $12$!