AMC 10 · 2023 · #5

학년 8 arithmetic

exponentsprime-factorizationplace-valuemulti-digit-arithmetic identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: exponentsprime-factorization

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

How many digits are in the base-ten representation of $8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$ ?

$\textbf{(A) } 14 \qquad\textbf{(B) }15 \qquad\textbf{(C) }16 \qquad\textbf{(D) }17 \qquad\textbf{(E) } 18$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정수 $8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$ 을 십진수로 적으면 몇 자리 수가 될까요?

주어진 것: 정수 $N = 8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$; 10진법 — $N$ 의 십진수 자리 수를 셈; 선택지: (A) $14$, (B) $15$, (C) $16$, (D) $17$, (E) $18$

구하는 것: $N$ 의 십진수 자리 수

이해

문제 재정리: 정수 $8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$ 을 십진수로 적으면 몇 자리 수가 될까요?

주어진 것: 정수 $N = 8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$; 10진법 — $N$ 의 십진수 자리 수를 셈; 선택지: (A) $14$, (B) $15$, (C) $16$, (D) $17$, (E) $18$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 깔끔하게 나눠줍니다: (A) 지수 법칙으로 모든 밑을 소수의 거듭제곱으로 다시 쓰고, (B) $2$ 와 $5$ 를 짝지어 $10$ 의 거듭제곱으로 뽑아내고, (C) (나머지 인수) $\times 10^{15}$ 의 자리 수를 셉니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 (C) 를 받쳐줍니다 — 정수에 $10^{15}$ 를 곱하면 끝에 $0$ 이 정확히 $15$ 개 붙는다는 자리값 패턴. 대수(#13)는 여기 어울리지 않습니다 — 이것은 순수한 지수·자리값 문제.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.1 단계 1

쪼개기 A: 각 밑을 소수의 거듭제곱으로 다시 씁니다.
$8 = 2^3$, $15 = 3 \cdot 5$, $5$ 는 이미 소수.
$(a^m)^n = a^{mn}$ 과 $(ab)^n = a^n b^n$ 을 써서 식을 펴줍니다.

$$8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5 = (2^3)^5 \cdot 5^{10} \cdot (3 \cdot 5)^5 = 2^{15} \cdot 5^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^5$$

💡 지수를 곱과 거듭제곱 안으로 밀어 넣는 것은 8학년 "정수 지수의 성질" 핵심 동작 — 식이 깔끔한 소인수분해로 정리됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.EE.A.1 단계 2

쪼개기 B: 같은 밑을 모읍니다.
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ 으로 두 개의 $5$ 거듭제곱을 합쳐 $5^{15}$ 로 만듭니다.

$$5^{10} \cdot 5^5 = 5^{15} \;\Longrightarrow\; 2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 3^5$$

💡 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — 같은 밑이면 지수를 더한다, 8학년 지수 법칙 두 번째 항목.

#5 패턴 찾기 8.EE.A.1 단계 3

$a^n b^n = (ab)^n$ 로 $2$ 와 $5$ 를 짝지어 $10$ 으로 모읍니다.
모든 $2$ 에 $5$ 짝꿍이 붙어 정확히 $15$ 개의 $10$ 이 만들어지고, 남는 것은 $3^5$.

$$2^{15} \cdot 5^{15} \cdot 3^5 = (2 \cdot 5)^{15} \cdot 3^5 = 10^{15} \cdot 3^5$$

💡 $2 \cdot 5 = 10$ 을 알아채고 지수끼리 짝짓는 것은 "끝자리 $0$" 패턴 — $2$ 와 $5$ 가 든 곱의 자리 수를 세는 심장부.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.1 단계 4

남은 $3^5$ 을 차례 곱셈으로 계산합니다.

$$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$$

💡 $3^5$ 을 차례 곱셈으로 계산하는 것은 6학년 "자연수 지수" 수치 계산.

#5 패턴 찾기 5.NBT.A.2 단계 5

$243$ 에 $10^{15}$ 를 곱하면 $243$ 뒤에 $0$ 이 정확히 $15$ 개 붙습니다.
따라서 십진 표현은 $243$ 의 세 자리 뒤에 $0$ 이 열다섯 개 — 총 $3 + 15 = 18$ 자리.

$$N = 243 \cdot 10^{15} = 243\underbrace{000\ldots0}_{15 \text{개}} \;\Rightarrow\; 3 + 15 = 18 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 $10$ 의 거듭제곱을 곱하면 자릿수가 왼쪽으로 밀리고 끝에 $0$ 이 채워진다 — 5학년 "$10$ 의 거듭제곱과 소수점 자리" 패턴 그대로.

[1] #7 8.EE.A.1 쪼개기 A: 각 밑을 소수의 거듭제곱으로 다시 씁니다. $8 = 2^3$, $15 = 3 \cdot 5$, $5$ 는 이미 소수. $(a^m)^

[2] #7 8.EE.A.1 쪼개기 B: 같은 밑을 모읍니다. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ 으로 두 개의 $5$ 거듭제곱을 합쳐 $5^{15}$ 로 만듭니

[3] #5 8.EE.A.1 $a^n b^n = (ab)^n$ 로 $2$ 와 $5$ 를 짝지어 $10$ 으로 모읍니다. 모든 $2$ 에 $5$ 짝꿍이 붙어 정확히 $15$

[4] #7 6.EE.A.1 남은 $3^5$ 을 차례 곱셈으로 계산합니다.

[5] #5 5.NBT.A.2 $243$ 에 $10^{15}$ 를 곱하면 $243$ 뒤에 $0$ 이 정확히 $15$ 개 붙습니다. 따라서 십진 표현은 $243$ 의 세 자리

검토

합리성 확인: 크기 점검. $100 \leq 243 < 1000$ 이므로 $N = 243 \cdot 10^{15}$ 은 $10^{17}$ 과 $10^{18}$ 사이. $[10^{17}, 10^{18})$ 의 정수는 정확히 $18$ 자리이므로 (E) 와 일치. 로그로도 확인: $\log_{10}(243 \cdot 10^{15}) = 15 + \log_{10} 243 \approx 15 + 2.385 = 17.385$, $\lfloor 17.385 \rfloor + 1 = 18$ — 자리 수 공식으로도 같은 답.

대안 접근: 도구 #8(단위 살펴보기): "자리" 를 단위로 추적. $10$ 한 개당 끝자리 슬롯 한 개 (즉 자리 한 개) 추가, 남은 비-$10$ 부분이 앞자리 수를 결정. $10^{15}$ 에서 $15$ 자리, $243$ 에서 $3$ 자리 — 합치면 $18$ 자리. 같은 답 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.NBT.A.2 $10$ 의 거듭제곱을 곱할 때 $0$ 의 개수·소수점 자리 패턴 설명하기 ($243$ 에 $10^{15}$ 를 곱하면 끝에 $0$ 이 $15$ 개 붙어 총 자리 수가 $3 + 15 = 18$ 임을 인식하는 데 사용.)
6.EE.A.1 자연수 지수가 포함된 수치식 쓰고 계산하기 ($3^5 = 243$ 을 차례 곱셈으로 계산하는 데 사용.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용하기 ($(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ 을 적용해 $8^5 \cdot 5^{10} \cdot 15^5$ 을 $10^{15} \cdot 3^5$ 으로 정리하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "정수 지수 법칙" 만 알면 풀 수 있어요 — 모든 $2$ 를 $5$ 와 짝지어 $10$ 을 만들고, 남은 수 곱하기 $10^{15}$ 가 자리 수를 알려줍니다.