AMC 10 · 2023 · #6

학년 4 geometry-3d

spatial-visualizationface-adjacencymulti-digit-arithmetic identify-subproblemsdouble-counting ↑ 선수 지식: spatial-visualizationmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

An integer is assigned to each vertex of a cube. The value of an edge is defined to be the sum of the values of the two vertices it touches, and the value of a face is defined to be the sum of the values of the four edges surrounding it. The value of the cube is defined as the sum of the values of its six faces. Suppose the sum of the integers assigned to the vertices is $21$ . What is the value of the cube?
$\textbf{(A) } 42 \qquad \textbf{(B) } 63 \qquad \textbf{(C) } 84 \qquad \textbf{(D) } 126 \qquad \textbf{(E) } 252$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

126

(E)

252

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 정육면체의 꼭짓점 $8$ 개에 각각 정수가 하나씩 놓여 있고, 그 합이 $21$ 입니다. 모서리 $12$ 개의 값은 양 끝 꼭짓점 두 개의 합, 면 $6$ 개의 값은 그 면을 둘러싼 네 모서리의 합으로 정해집니다. 면 $6$ 개의 값의 총합을 구하세요.

주어진 것: 정육면체는 꼭짓점 $8$ 개, 모서리 $12$ 개, 면 $6$ 개를 가짐; 각 모서리 값 = 양 끝 꼭짓점 두 개의 값의 합; 각 면 값 = 그 면을 둘러싼 네 모서리 값의 합; 꼭짓점 값들의 합은 $21$; 선택지: (A) $42$, (B) $63$, (C) $84$, (D) $126$, (E) $252$

구하는 것: 면 $6$ 개의 값의 총합 ("정육면체의 값")

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

신호는 "정육면체" — 도구 #1(그림 그리기)이 가장 자연스럽게 따라옵니다. 한 번 그려보면 꼭짓점 하나에 몇 개의 모서리가 모이는지, 모서리 하나가 몇 개의 면과 닿는지 눈으로 셀 수 있습니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 "한 꼭짓점은 몇 개의 모서리에 속하는가?" 와 "한 모서리는 몇 개의 면에 속하는가?" 라는 두 개의 작은 "겹쳐 세기" 문제로 깔끔히 나눠줍니다. 각 작은 문제는 한 줄 곱셈이고, 두 곱셈이 차례로 쌓여 $21$ 에 한 번에 곱해집니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 K.G.B.4 단계 1

정육면체를 그려놓고 꼭짓점 하나를 짚어봅시다 (예: 위-앞-오른쪽 모서리).
그 꼭짓점에서 뻗어나가는 모서리를 세면 정확히 $3$ 개입니다.
정육면체는 대칭이라 $8$ 개 꼭짓점 모두 똑같이 $3$ 개씩 모입니다.

$$\text{한 꼭짓점에서 모이는 모서리 수} = 3$$

💡 상자의 한 모퉁이를 보면 모서리 세 개가 뻗어나가는 것이 보입니다 — 입체 도형을 살피는 유치원 수준의 관찰.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

쪼개기 A: 모서리 $12$ 개 값의 합.
모든 모서리 값을 더할 때 각 꼭짓점의 값은 그 꼭짓점이 속한 모서리 수만큼 — 즉 $3$ 번 — 더해집니다.
따라서 모서리 값의 합은 꼭짓점 값의 합의 $3$ 배.

$$S_E = 3 \times S_V = 3 \times 21 = 63$$

💡 꼭짓점 하나의 숫자가 자기에게 붙은 모서리 $3$ 개에 각각 한 번씩 쓰입니다 — 4학년 "몇 묶음" 곱셈.

#1 그림 그리기 K.G.B.4 단계 3

다시 그림으로: 모서리 하나를 짚어 그 모서리에 닿는 면을 세어봅시다.
정육면체의 모든 모서리는 정확히 두 면이 만나는 경계 — $12$ 개 모서리 모두 $2$ 개씩.

$$\text{한 모서리에 닿는 면 수} = 2$$

💡 상자 모서리를 손가락으로 따라가 보면 양쪽 두 면이 만난다는 것이 느껴집니다 — 그 수가 $2$.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

쪼개기 B: 면 $6$ 개 값의 합.
모든 면의 값을 더할 때 각 모서리 값은 그 모서리가 속한 면 수만큼 — 즉 $2$ 번 — 더해집니다.
따라서 면 값의 합은 모서리 값의 합의 $2$ 배.

$$S_F = 2 \times S_E = 2 \times 63 = 126$$

💡 모서리 하나의 숫자가 자기에게 붙은 면 $2$ 개에 각각 한 번씩 쓰입니다 — 같은 "몇 묶음" 곱셈.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.C.7 단계 5

두 단계를 합치면 $S_F = 2 \times 3 \times S_V = 6 \times 21 = 126$.
선택지 (D) 와 일치합니다.

$$S_F = 6 \times 21 = 126 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 두 번의 곱셈이 하나로 합쳐집니다 — 3학년 곱셈 구구단 유창성이 마무리를 해줍니다.

[1] #1 K.G.B.4 정육면체를 그려놓고 꼭짓점 하나를 짚어봅시다 (예: 위-앞-오른쪽 모서리). 그 꼭짓점에서 뻗어나가는 모서리를 세면 정확히 $3$ 개입니다. 정

[2] #7 4.OA.A.3 쪼개기 A: 모서리 $12$ 개 값의 합. 모든 모서리 값을 더할 때 각 꼭짓점의 값은 그 꼭짓점이 속한 모서리 수만큼 — 즉 $3$ 번 — 더

[3] #1 K.G.B.4 다시 그림으로: 모서리 하나를 짚어 그 모서리에 닿는 면을 세어봅시다. 정육면체의 모든 모서리는 정확히 두 면이 만나는 경계 — $12$ 개 모

[4] #7 4.OA.A.3 쪼개기 B: 면 $6$ 개 값의 합. 모든 면의 값을 더할 때 각 모서리 값은 그 모서리가 속한 면 수만큼 — 즉 $2$ 번 — 더해집니다. 따

[5] #7 3.OA.C.7 두 단계를 합치면 $S_F = 2 \times 3 \times S_V = 6 \times 21 = 126$. 선택지 (D) 와 일치합니다.

검토

합리성 확인: 검증을 위해 모든 꼭짓점에 같은 값 $\tfrac{21}{8}$ 을 두어봅시다 (정수는 아니지만 문제는 합만 정합니다). 그러면 각 모서리 값은 $2 \cdot \tfrac{21}{8} = \tfrac{42}{8}$, $12$ 개 모서리 합은 $12 \cdot \tfrac{42}{8} = 63$ — $S_E = 63$ 과 일치. 한 면 값은 네 모서리 합 $\tfrac{168}{8} = 21$ 이므로 $6$ 개 면 합은 $126$. 답은 꼭짓점 값을 어떻게 배치하든 일정하다는 것이 $S_F = 2 S_E = 6 S_V$ 라는 사슬에서 그대로 보입니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 꼭짓점 $8$ 개에 모두 값 $1$ 을 두고 다시 계산해 봅시다. $S_V = 8$, 각 모서리 값 $2$, $S_E = 12 \cdot 2 = 24 = 3 S_V$, 각 면 값 $8$, $S_F = 6 \cdot 8 = 48 = 6 S_V$. 작은 예에서 비율 $S_F / S_V = 6$ 이 그대로 튀어나옵니다. 그대로 키워서 $6 \cdot 21 = 126$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

K.G.B.4 2차원·3차원 도형 분석·비교하기 (정육면체 그림에서 "한 꼭짓점에 모서리 $3$ 개", "한 모서리에 면 $2$ 개" 라는 사실을 읽어내는 — 모든 셈의 출발점이 되는 유치원 수준의 관찰.)
4.OA.A.3 자연수의 네 연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결하기 ("각 꼭짓점은 $3$ 번 세진다", "각 모서리는 $2$ 번 세진다" 라는 관찰을 $S_E = 3 \cdot S_V$ 와 $S_F = 2 \cdot S_E$ 라는 여러 단계 계산으로 옮기는 데 사용.)
3.OA.C.7 $100$ 이내에서 곱셈·나눗셈 능숙히 하기 (마무리 산수 $2 \times 3 \times 21 = 6 \times 21 = 126$ 을 정확히 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 때 배운 여러 단계 곱셈만 알면 풀 수 있어요 — 꼭짓점 숫자는 모서리 $3$ 개에, 모서리 숫자는 면 $2$ 개에 각각 한 번씩 쓰이니까 면 값의 총합은 꼭짓점 값 총합의 $3 \times 2 = 6$ 배입니다.