AMC 10 · 2023 · #7

학년 7 probability

probability-basicsystematic-enumerationfraction-arithmetic caseworksystematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Janet rolls a standard $6$ -sided die $4$ times and keeps a running total of the numbers she rolls. What is the probability that at some point, her running total will equal $3$ ?

$\textbf{(A) }\frac{2}{9}\qquad\textbf{(B) }\frac{49}{216}\qquad\textbf{(C) }\frac{25}{108}\qquad\textbf{(D) }\frac{17}{72}\qquad\textbf{(E) }\frac{13}{54}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{2}{9}$

(B)

$frac{49}{216}$

(C)

$frac{25}{108}$

(D)

$frac{17}{72}$

(E)

$frac{13}{54}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Janet 가 공정한 주사위($6$ 면)를 네 번 굴려 매번 눈의 합(누적합)을 기록합니다. 네 번 중 어느 한 시점에라도 누적합이 정확히 $3$ 이 될 확률을 구하세요.

주어진 것: 주사위 한 번은 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 중 하나가 각 $\tfrac{1}{6}$ 의 확률로 독립적으로 나옴; 총 네 번 굴림; 매 번 굴린 뒤 누적합을 기록; 선택지: (A) $\tfrac{2}{9}$, (B) $\tfrac{49}{216}$, (C) $\tfrac{25}{108}$, (D) $\tfrac{17}{72}$, (E) $\tfrac{13}{54}$

구하는 것: $P(\text{어느 한 굴림에서든 누적합} = 3)$

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기

굴림마다 합이 증가만 하므로 누적합이 $3$ 이 되는 "순간" 은 많아야 한 군데입니다. 그래서 사건은 자연스럽게 "몇 번째 굴림에서 처음으로 $3$ 이 되는가" 로 갈라집니다 — 1번, 2번, 3번, 4번. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 "누적합이 그 단계에서 정확히 $3$ 이 되는 시작 부분" 을 죽 늘어놓는 데 정확히 맞고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 경우를 깔끔히 나눠줍니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 4번 굴림을 시작 전에 제거합니다 — 각 굴림이 $\ge 1$ 이므로 4번 굴림 후 누적합은 적어도 $4 > 3$, 즉 "4번째에 처음 $3$" 은 불가능합니다. 남은 경우들의 확률은 서로 배반이므로 그대로 더하면 됩니다.

실행 — 정답: B

#3 가능성 지우기 3.OA.D.8 단계 1

4번 굴림을 제거합니다.
모든 주사위 눈은 적어도 $1$ 이므로 4번 굴린 뒤 누적합은 적어도 $1+1+1+1 = 4$.
4번째에 처음으로 $3$ 이 될 수는 없습니다 (그땐 이미 $3$ 을 지났거나 앞서 이미 $3$ 을 만났음).
따라서 "순간" 은 1번, 2번, 3번 굴림 중 하나뿐입니다.

$$\text{4번 굴린 뒤 누적합} \ge 4 \;\Rightarrow\; \text{4번째 굴림은 처음 } 3 \text{ 이 될 수 없음}$$

💡 양수만 더하면 $k$ 번 더한 뒤 최소 합은 $k$ — 3학년의 "반복 덧셈" 추론입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.7 단계 2

경우 1: 1번 굴림에서 누적합 $= 3$.
한 번 굴려 합이 $3$ 이 되는 경우를 나열하면 $(3)$ 단 하나.
여섯 면 중 한 면이 나올 확률입니다.

$$P_1 = \dfrac{1}{6}$$

💡 여섯 면이 똑같이 가능 — 7학년 "같은 가능성" 확률 모형.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

경우 2: 2번 굴림에서 처음으로 누적합 $= 3$.
합이 $3$ 이고 첫 번째 눈이 $3$ 이 아닌 두-개 시작 부분을 나열: $(1, 2)$ 와 $(2, 1)$.
(1번 굴림에서 이미 $3$ 이 된 경우를 제외해야 하는데, 둘 다 그 조건을 만족합니다.) 각 순서쌍의 확률은 $\tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$.

$$P_2 = 2 \cdot \dfrac{1}{36} = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18}$$

💡 독립인 두 번 굴림 $\to$ 순서쌍 $36$ 개가 같은 확률 — 7학년 복합 사건 셈하기.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

경우 3: 3번 굴림에서 처음으로 누적합 $= 3$.
세 개 눈의 합이 $3$ 이 되는 경우는 $(1,1,1)$ 뿐 — 누적합 $1, 2, 3$ 이므로 정확히 3번째에 처음 $3$.
따라서 $6^3 = 216$ 개 순서쌍 중 한 가지만 해당.

$$P_3 = \dfrac{1}{6^3} = \dfrac{1}{216}$$

💡 독립인 세 번 굴림 $\to 6 \times 6 \times 6 = 216$ 결과, 그중 $(1,1,1)$ 만 적합 — 7학년 곱셈 셈.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NF.A.1 단계 5

세 경우는 서로 배반이므로 (처음 $3$ 이 되는 순간은 단 한 군데) 확률을 그대로 더합니다.
공통분모 $216$ 으로 통분.

$$P = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{18} + \dfrac{1}{216} = \dfrac{36 + 12 + 1}{216} = \dfrac{49}{216} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 분모가 다른 분수 덧셈은 공통분모로 — 5학년 분수 덧셈.

[1] #3 3.OA.D.8 4번 굴림을 제거합니다. 모든 주사위 눈은 적어도 $1$ 이므로 4번 굴린 뒤 누적합은 적어도 $1+1+1+1 = 4$. 4번째에 처음으로 $3

[2] #2 7.SP.C.7 경우 1: 1번 굴림에서 누적합 $= 3$. 한 번 굴려 합이 $3$ 이 되는 경우를 나열하면 $(3)$ 단 하나. 여섯 면 중 한 면이 나올

[3] #2 7.SP.C.8 경우 2: 2번 굴림에서 처음으로 누적합 $= 3$. 합이 $3$ 이고 첫 번째 눈이 $3$ 이 아닌 두-개 시작 부분을 나열: $(1, 2)$

[4] #2 7.SP.C.8 경우 3: 3번 굴림에서 처음으로 누적합 $= 3$. 세 개 눈의 합이 $3$ 이 되는 경우는 $(1,1,1)$ 뿐 — 누적합 $1, 2, 3$

[5] #7 5.NF.A.1 세 경우는 서로 배반이므로 (처음 $3$ 이 되는 순간은 단 한 군데) 확률을 그대로 더합니다. 공통분모 $216$ 으로 통분.

검토

합리성 확인: $6^4 = 1296$ 개 굴림 순서쌍을 직접 헤아려 교차 확인합니다. 누적합이 어느 시점에서든 $3$ 이 되는 순서쌍의 수는 $6^3 + 2 \cdot 6^2 + 1 \cdot 6 = 216 + 72 + 6 = 294$ — 즉 $(3, *, *, *)$ 로 시작하는 $216$ 개, $(1, 2, *, *)$ 또는 $(2, 1, *, *)$ 로 시작하는 $72$ 개, $(1, 1, 1, *)$ 로 시작하는 $6$ 개. 확률 $= \tfrac{294}{1296} = \tfrac{49}{216}$. (B) 와 일치. 크기 점검: $\tfrac{49}{216} \approx 0.227$ 은 $\tfrac{1}{6} \approx 0.167$ (첫 굴림이 바로 $3$ 일 확률) 과 $\tfrac{1}{4}$ 사이 — 후속 굴림이 "두 번째 기회" 를 작게 더해주는 것과 정확히 일치합니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기 / 여사건 세기): $3$ 을 "지나치는" 순서쌍을 세는 대신, 4번 굴림 동안 누적합이 한 번도 $3$ 이 되지 않는 순서쌍을 세는 것이 더 쉬울 수 있습니다. 1번 굴림에서 $3$ 이 아닐 확률 $\tfrac{5}{6}$. 1이 나온 뒤(확률 $\tfrac{1}{6}$) 2번은 $2$ 를 피해야; 2가 나온 뒤(확률 $\tfrac{1}{6}$) 2번은 $1$ 을 피해야; $1, 1$ 다음(확률 $\tfrac{1}{36}$) 3번은 $1$ 을 피해야. 트리로 끝까지 따라가서 $1 - P(\text{한 번도 안 됨}) = \tfrac{49}{216}$. 같은 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

3.OA.D.8 두 단계 문장제를 사칙연산으로 해결하기 (4번 굴림 제거 논증 — $1+1+1+1 = 4 > 3$ 이므로 누적합이 4번째 굴림에서 처음 $3$ 이 될 수 없다는 추론.)
7.SP.C.7 확률 모형을 만들어 사건의 확률 구하기 (한 번 굴림 경우 — $\{1, \ldots, 6\}$ 의 균등 확률 모형에서 각 면의 확률이 $\tfrac{1}{6}$ 임.)
7.SP.C.8 조직된 리스트·표·나무 그림으로 복합 사건의 확률 구하기 (시작 부분 $(1,2), (2,1), (1,1,1)$ 을 나열하고 각 순서쌍에 $(\tfrac{1}{6})^k$ 의 확률을 부여하는 데 사용 — 독립 굴림의 복합 사건 셈.)
5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{18} + \tfrac{1}{216} = \tfrac{49}{216}$ 을 공통분모 $216$ 으로 합치는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 7학년 복합 사건 확률만 알면 풀 수 있어요 — 누적합이 정확히 $3$ 으로 멈추는 시작 부분을 모두 나열하고, 각 굴림에 $\tfrac{1}{6}$ 을 곱한 뒤, 동시에 일어날 수 없는 경우끼리 더하면 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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