AMC 10 · 2023 · #8
학년 6 algebra문제
Barb the baker has developed a new temperature scale for her bakery called the Breadus scale, which is a linear function of the Fahrenheit scale. Bread rises at degrees Fahrenheit, which is degrees on the Breadus scale. Bread is baked at degrees Fahrenheit, which is degrees on the Breadus scale. Bread is done when its internal temperature is degrees Fahrenheit. What is this in degrees on the Breadus scale?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Barb 의 Breadus 온도($^\circ B$)는 화씨($^\circ F$)의 일차함수입니다. 두 기준점이 주어집니다 — $110^\circ F = 0^\circ B$ (반죽 부풀 때) 와 $350^\circ F = 100^\circ B$ (구울 때). $200^\circ F$ (다 익었을 때) 가 Breadus 로 몇 도인지 구하세요.
주어진 것: Breadus 온도는 화씨의 일차함수; 기준 1: $110^\circ F \leftrightarrow 0^\circ B$; 기준 2: $350^\circ F \leftrightarrow 100^\circ B$; 구할 점: $200^\circ F \leftrightarrow ?\,^\circ B$; 선택지: (A) $33$, (B) $34.5$, (C) $36$, (D) $37.5$, (E) $39$
구하는 것: $200^\circ F$ 에 대응하는 Breadus 온도
이해
문제 재정리: Barb 의 Breadus 온도($^\circ B$)는 화씨($^\circ F$)의 일차함수입니다. 두 기준점이 주어집니다 — $110^\circ F = 0^\circ B$ (반죽 부풀 때) 와 $350^\circ F = 100^\circ B$ (구울 때). $200^\circ F$ (다 익었을 때) 가 Breadus 로 몇 도인지 구하세요.
주어진 것: Breadus 온도는 화씨의 일차함수; 기준 1: $110^\circ F \leftrightarrow 0^\circ B$; 기준 2: $350^\circ F \leftrightarrow 100^\circ B$; 구할 점: $200^\circ F \leftrightarrow ?\,^\circ B$; 선택지: (A) $33$, (B) $34.5$, (C) $36$, (D) $37.5$, (E) $39$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #8 단위 살펴보기
수직선 두 개를 — 위는 $^\circ F$, 아래는 $^\circ B$ — 위아래로 나란히 그리면 일차 대응이 한눈에 보입니다. 위 $110$ 아래 $0$, 위 $350$ 아래 $100$. 신호가 "눈금 위의 위치" 이므로 도구 #1(그림 그리기)이 첫 번째 선택입니다. 그림에서 두 가지를 곧장 읽을 수 있습니다 — $F$ 줄은 $240$ 도 분, $B$ 줄은 $100$ 도 분; 목표 $200^\circ F$ 는 왼쪽 기준에서 $90$ 도 떨어진 자리. 도구 #8(단위 살펴보기)이 검산을 맡습니다 — $^\circ B / ^\circ F$ 비율을 따라가면 마지막 수가 $^\circ B$ 단위인지 확인됩니다. 도구 #13(대수)도 되지만 그림+비율이 6학년 비율 사고 안에서 더 빠릅니다.
실행 — 정답: D
5.G.A.1 단계 1 - 수평 수직선 두 개를 위아래로 그립니다.
- 위 $F$-줄에 $110$, $350$ 을 표시; 아래 $B$-줄에 $0$, $100$ 을 짝과 수직으로 맞춰 표시.
- 사이에 $200^\circ F$ 도 한 칸 찍어둡니다.
💡 수직선 두 개를 정렬한 그림이 일차 관계의 그림 — "기울기" 라는 말 없이도 5학년 좌표 감각으로 이해할 수 있습니다.
4.NBT.B.4 단계 2 - 두 기준 사이의 길이를 읽어 둡니다.
- 위 $F$-범위는 $350 - 110 = 240$ 도, 아래 $B$-범위는 $100 - 0 = 100$ 도.
- 같은 물리적 구간이 위에선 $240$, 아래선 $100$ 처럼 보입니다.
💡 두 번의 뺄셈으로 두 구간의 길이를 — 4학년 여러 자리 뺄셈.
4.NBT.B.4 단계 3 $F$-줄에서 목표 $200^\circ F$ 가 왼쪽 기준에서 얼마나 떨어져 있는지 잽니다.
💡 수직선 위의 뺄셈 — 4학년 여러 자리 뺄셈.
4.NF.A.1 단계 4 - 일차 관계이므로 같은 비율 $\tfrac{90}{240}$ 만큼이 $B$-줄에서도 답을 줍니다.
- 분수를 약분.
💡 같은 간격 척도는 같은 비율 위치를 공유 — 4학년 등가분수 추론.
6.RP.A.3 단계 5 - 그 비율을 길이 $100$ 인 $B$-범위에 적용하고, 출발점 $0^\circ B$ 에서 잽니다.
- 단위 확인: $\tfrac{^\circ B}{^\circ F}$ 비율 × $^\circ F$ = $^\circ B$, 단위가 맞게 떨어집니다.
💡 두 척도에서 같은 비율 위치를 — 6학년 비율 사고. 단위까지 따라가면 답이 $^\circ B$ 임이 확인됩니다.
5.G.A.1 수평 수직선 두 개를 위아래로 그립니다. 위 $F$-줄에 $110$, $350$ 을 표시; 아래 $B$-줄에 $0$, $100$ 을 짝과 수직으 4.NBT.B.4 두 기준 사이의 길이를 읽어 둡니다. 위 $F$-범위는 $350 - 110 = 240$ 도, 아래 $B$-범위는 $100 - 0 = 100$ 도 4.NBT.B.4 $F$-줄에서 목표 $200^\circ F$ 가 왼쪽 기준에서 얼마나 떨어져 있는지 잽니다. 4.NF.A.1 일차 관계이므로 같은 비율 $\tfrac{90}{240}$ 만큼이 $B$-줄에서도 답을 줍니다. 분수를 약분. 6.RP.A.3 그 비율을 길이 $100$ 인 $B$-범위에 적용하고, 출발점 $0^\circ B$ 에서 잽니다. 단위 확인: $\tfrac{^\circ B}{ 검토
합리성 확인: 세 가지 빠른 점검. (1) 크기: $200$ 은 $110$ 에서 $350$ 까지의 대략 $\tfrac{3}{8}$, 그러므로 답도 $0$ 에서 $100$ 까지의 대략 $\tfrac{3}{8}$ 즉 $37$ 또는 $38$ 근처 — (D) $37.5$ 와 잘 맞습니다. (2) 끝점: 공식에 $110^\circ F$ 를 대입하면 $\tfrac{3}{8} \cdot 0 = 0^\circ B$ ✓, $350^\circ F$ 를 대입하면 $0 + \tfrac{240}{240} \cdot 100 = 100^\circ B$ ✓. (3) 다른 선택지 제거: $33, 34.5, 36, 39$ 는 각각 잘못된 기준 사용(예: $33$ 은 $110^\circ F$ 의 이동을 빠뜨리고 $200$ 을 $\tfrac{1}{3} \cdot 100$ 으로 잘못 계산한 결과).
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): $B = m F + b$ 라는 일차식. 두 기준에서 $0 = 110m + b$, $100 = 350 m + b$. 빼면 $100 = 240 m$, 즉 $m = \tfrac{5}{12}$, $b = -\tfrac{5}{12} \cdot 110 = -\tfrac{275}{6}$. 따라서 $B(200) = \tfrac{5}{12} \cdot 200 - \tfrac{275}{6} = \tfrac{1000}{12} - \tfrac{550}{12} = \tfrac{450}{12} = 37.5$. 같은 답이지만 일 더 많음 — 그림+비율 경로의 이점이 그대로 드러납니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.G.A.1수직인 두 수직선으로 좌표계 만들기 ($F$- 와 $B$- 척도를 위아래로 정렬한 두 수직선을 그려, 일차 대응을 기하적으로 읽어내는 데 사용.)4.NBT.B.4여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈 능숙히 하기 ($350 - 110 = 240$, $100 - 0 = 100$, $200 - 110 = 90$ 의 뺄셈으로 구간 길이와 $F$-축에서 목표의 위치를 구하는 데 사용.)4.NF.A.1분수 $\tfrac{a}{b}$ 가 $\tfrac{n a}{n b}$ 와 같음을 설명하기 ($\tfrac{90}{240}$ 을 $\tfrac{9}{24}$, $\tfrac{3}{8}$ 로 약분하는 — 등가분수 축약.)6.RP.A.3비율·비례를 사용해 실생활·수학 문제 해결하기 ($F$-축에서의 비율 위치 $\tfrac{3}{8}$ 을 $B$-축에서도 같은 비율 위치로 옮기고, $B$ 범위 $100$ 을 $\tfrac{3}{8}$ 배 해 $37.5^\circ B$ 를 얻는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 비율 사고만 알면 풀 수 있어요 — 두 척도를 나란히 놓고 $200^\circ F$ 가 전체의 $\tfrac{3}{8}$ 자리임을 본 다음, Breadus 척도의 $100$ 에서도 같은 $\tfrac{3}{8}$ 을 잡으면 됩니다.
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 비율 사고만 알면 풀 수 있어요 — 두 척도를 나란히 놓고 $200^\circ F$ 가 전체의 $\tfrac{3}{8}$ 자리임을 본 다음, Breadus 척도의 $100$ 에서도 같은 $\tfrac{3}{8}$ 을 잡으면 됩니다.