AMC 10 · 2023 · #9

학년 4 arithmetic

digit-constraintsparitysystematic-enumerationplace-value caseworksystematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: digit-constraintsparity

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문제

A digital display shows the current date as an $8$ -digit integer consisting of a $4$ -digit year, followed by a $2$ -digit month, followed by a $2$ -digit date within the month. For example, Arbor Day this year is displayed as 20230428. For how many dates in $2023$ will each digit appear an even number of times in the 8-digital display for that date?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $8$ 자리 표시 $\text{YYYYMMDD}$ 에서 연도 부분은 $2023$ 으로 고정. $2023$ 년의 날짜들 중, 전체 $8$ 자리 안에서 $0$ 부터 $9$ 까지의 모든 숫자가 짝수 번 나타나는 날짜의 수를 구하세요.

주어진 것: 연도 숫자: $2, 0, 2, 3$ — 숫자 $2$ 는 두 번, $0$ 은 한 번, $3$ 은 한 번, 나머지는 0번; 월 $\text{MM}$ 은 $01$ 부터 $12$ 까지; 일 $\text{DD}$ 은 그 달의 유효한 날 ($2023$ 은 윤년 아님, 2월은 $28$ 일); 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: $\text{YYYYMMDD}$ 의 각 숫자가 모두 짝수 번 나타나는 유효한 날짜 $\text{MMDD}$ 의 개수

이해

계획

주요 도구: #15 다르게 정리하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #7 작은 문제로 쪼개기

첫 수는 도구 #15(다르게 정리하기) — 달력 이야기에서 벗어나 "$\text{MMDD}$ 위의 숫자 홀짝 회계" 문제로 다시 정리합니다. $2023$ 은 이미 $0$ 과 $3$ 만 홀수 번 나오므로, $\text{MMDD}$ 네 자리는 $0$ 을 홀수 번, $3$ 을 홀수 번, 그 외 숫자는 짝수 번 포함해야 합니다. 네 자리짜리이므로 가능한 숫자 다중집합은 손에 꼽힐 정도로 작고 — 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 그다음 자리. 마지막에 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 달력 필터를 맡습니다: 각 후보 다중집합에서 유효한 $\text{MM}/\text{DD}$ 배치를 추려냅니다.

실행 — 정답: E

#15 다르게 정리하기 2.OA.C.3 단계 1

연도 $2023$ 의 자리수를 셉니다.
다중집합은 $\{2, 0, 2, 3\}$ — 숫자 $2$ 두 번 (짝), $0$ 한 번 (홀), $3$ 한 번 (홀), 나머지 0번 (짝).

$$\text{연도 홀짝}: 0 \to \text{홀}, \; 3 \to \text{홀}, \; \text{나머지} \to \text{짝}$$

💡 연도 자리수를 정렬해 각자 셈 — 2학년 홀짝 판별.

#15 다르게 정리하기 2.OA.C.3 단계 2

$8$ 자리 전체에서 모든 숫자가 짝수 번 나오려면 $\text{MMDD}$ 네 자리가 연도의 홀짝 상태를 "뒤집어" 줘야 합니다.
즉 $\text{MMDD}$ 다중집합은 $0$ 을 홀수 번, $3$ 을 홀수 번, 그 외 숫자는 짝수 번 포함해야 합니다.

$$\#\{0\}_{\text{MMDD}} \in \{1, 3\}, \; \#\{3\}_{\text{MMDD}} \in \{1, 3\}, \; \#\{d\}_{\text{MMDD}} \in \{0, 2, 4\} \text{ (}d \notin \{0, 3\}\text{)}$$

💡 홀 + 홀 = 짝; 네 자리가 각 홀수 칸을 "고쳐" 줘야 합니다 — 2학년 홀짝 산수.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 3

네 자리에 가능한 다중집합을 나열합니다.
$0$ 과 $3$ 의 홀수 개수만으로 $1+1 = 2$, $1+3 = 4$, $3+1 = 4$ 자리.
남는 자리는 다른 숫자 $d$ 의 짝수 묶음으로 채워야 합니다.
가능한 다중집합은 어떤 숫자 $d$ 에 대해 $\{0, 3, d, d\}$, 그리고 $\{0, 3, 3, 3\}$, $\{0, 0, 0, 3\}$.

$$\text{경우들: } \{0, 3, d, d\}, \; \{0, 3, 3, 3\}, \; \{0, 0, 0, 3\}$$

💡 경우를 규칙대로 나열 — 4학년 "규칙대로 생성" 패턴 만들기.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 4

쪼개기 A — 다중집합 $\{0, 3, 3, 3\}$ 과 $\{0, 0, 0, 3\}$.
$\text{MM}\text{DD}$ 로 어떻게 배치해도 $\text{MM} \ge 13$ 이 되거나 $\text{DD}$ 가 $30$ 이상이 되거나 $\text{MM} = 00$, $\text{DD} = 00$ 이 됩니다.
확인: $\{0,3,3,3\}$ 에서 $\text{MM} \le 12$ 인 후보는 $03$ 또는 $30$ — $30$ 은 탈락, $\text{MM}=03$ 만 남고 $\text{DD}=33$, 무효.
$\{0,0,0,3\}$ 에서 $\text{MM}$ 후보는 $00$, $03$, $30$ 중 $03$ 뿐, 남는 $\text{DD}=00$, 무효.
이 두 다중집합에서는 $0$ 개.

$$\{0,3,3,3\}: 0, \quad \{0,0,0,3\}: 0$$

💡 달력 규칙 — 월 $01$–$12$, 일은 $00$ 또는 $> 31$ 불가 — 이 두 다중집합을 모두 제거 — 3학년 여러 단계 추론.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.B.4 단계 5

쪼개기 B — 다중집합 $\{0, 3, d, d\}$, $d \ne 0, 3$.
$\text{MM}$ 이 유효 ($01$–$12$) 하려면 $d$ 가 어떤 배치에서 $\text{MM} \le 12$ 를 가능하게 해야 합니다.
$d$ 별로 확인: $d = 1$ 가능 (월 $01, 10, 11, 03$); $d = 2$ 가능 (월 $02, 03, 12$ 가능); $d \ge 4$ 는 두 $d$ 가 모두 $\text{MM}$ 에 들어가면 $\text{MM}=dd \ge 44$ 가 되고, $\{0, 3\}$ 중 하나로 $\text{MM}$ 의 십의 자리를 만들어도 남는 $\text{DD}$ 가 그 달의 일 수를 넘어서 모두 무효.

$$\text{후보 } d: \; 1, \; 2$$

💡 $\text{MM} \le 12$ 가 가능한 배치를 만드는 $d$ 만 남김 — 4학년 인수 후보 탐색식 추론.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 6

$d = 1$: 다중집합 $\{0, 1, 1, 3\}$.
네 자리에서 둘을 골라 $\text{MM}$, 나머지 둘로 $\text{DD}$ — 실제 달력에서 통과하는 $(\text{MM}, \text{DD})$ 쌍: $(01, 13), (01, 31), (03, 11), (10, 13), (10, 31), (11, 03), (11, 30)$.
일곱 개.

$$d=1: \; \{0113, 0131, 0311, 1013, 1031, 1103, 1130\} \Rightarrow 7$$

💡 월/일 필터를 통과하는 배치를 빠짐없이 나열 — 4학년 여러 단계 문장제.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 7

$d = 2$: 다중집합 $\{0, 2, 2, 3\}$.
모든 유효한 월을 시도: $\text{MM} = 02$ 면 남은 자리 $\{2, 3\}$ 로 $\text{DD} = 23$ 또는 $32$ — $23$ 만 유효 ($2023$ 년 2월은 $28$ 일).
$\text{MM} = 03$ 이면 남은 $\{2, 2\}$ 로 $\text{DD} = 22$, 유효.
$\text{MM} = 12$ 는 다중집합에 $1$ 이 없으므로 시도 불가.
최종: $(02, 23)$ 와 $(03, 22)$.
두 개.

$$d=2: \; \{0223, 0322\} \Rightarrow 2$$

💡 $d=1$ 과 같은 나열 규율, 다만 $32$ 후보는 달력이 제거 — 4학년 여러 단계.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.5 단계 8

합산.
$\{0,1,1,3\}$ 에서 $7$, $\{0,2,2,3\}$ 에서 $2$, 나머지 다중집합에서 $0$.
합 $7 + 2 = 9$, 선택지 (E) 와 일치.

$$7 + 2 = 9 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 경우별 결과 두 개를 더함 — 2학년 $100$ 이내 능숙한 덧셈.

[1] #15 2.OA.C.3 연도 $2023$ 의 자리수를 셉니다. 다중집합은 $\{2, 0, 2, 3\}$ — 숫자 $2$ 두 번 (짝), $0$ 한 번 (홀), $3$

[2] #15 2.OA.C.3 $8$ 자리 전체에서 모든 숫자가 짝수 번 나오려면 $\text{MMDD}$ 네 자리가 연도의 홀짝 상태를 "뒤집어" 줘야 합니다. 즉 $\te

[3] #2 4.OA.C.5 네 자리에 가능한 다중집합을 나열합니다. $0$ 과 $3$ 의 홀수 개수만으로 $1+1 = 2$, $1+3 = 4$, $3+1 = 4$ 자리.

[4] #7 3.OA.D.8 쪼개기 A — 다중집합 $\{0, 3, 3, 3\}$ 과 $\{0, 0, 0, 3\}$. $\text{MM}\text{DD}$ 로 어떻게 배치해

[5] #7 4.OA.B.4 쪼개기 B — 다중집합 $\{0, 3, d, d\}$, $d \ne 0, 3$. $\text{MM}$ 이 유효 ($01$–$12$) 하려면 $d

[6] #2 4.OA.A.3 $d = 1$: 다중집합 $\{0, 1, 1, 3\}$. 네 자리에서 둘을 골라 $\text{MM}$, 나머지 둘로 $\text{DD}$ — 실

[7] #2 4.OA.A.3 $d = 2$: 다중집합 $\{0, 2, 2, 3\}$. 모든 유효한 월을 시도: $\text{MM} = 02$ 면 남은 자리 ${2, 3}

[8] #7 2.NBT.B.5 합산. $\{0,1,1,3\}$ 에서 $7$, $\{0,2,2,3\}$ 에서 $2$, 나머지 다중집합에서 $0$. 합 $7 + 2 = 9$, 선

검토

합리성 확인: 각 $9$ 개 날짜를 $2023$ 과 이어붙여 자리수를 세어 확인합니다: 예를 들어 $20230113 \to$ 자리수 $\{2,0,2,3,0,1,1,3\}$ — $0$ 두 번, $1$ 두 번, $2$ 두 번, $3$ 두 번 — 모두 짝수 ✓. $20230131 \to \{2,0,2,3,0,1,3,1\}$ — $0$ 두 번, $1$ 두 번, $2$ 두 번, $3$ 두 번 ✓. $20230223 \to \{2,0,2,3,0,2,2,3\}$ — $0$ 두 번, $2$ 네 번, $3$ 두 번 ✓. 나머지도 같은 검증으로 통과. 크기 점검: $365$ 일 중 $9$ 일, 약 $2.5\%$ — 꽤 까다로운 홀짝 조건에 대해 그럴듯한 자리수.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) — 직접 달력 훑기: $12$ 개 월 각각에서 유효한 일을 모두 적어 $2023$ 과 이어붙인 뒤 자리수를 직접 셉니다. 더 느립니다 ($\sim 20$ 개 다중집합 배치 대신 $\sim 365$ 후보), 그러나 홀짝 추론이 필요 없고 인내심과 목록만 있으면 됩니다. 답은 같습니다 — $9$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.OA.C.3 물건 모음의 개수가 홀수인지 짝수인지 판별하기 ($2023$ 의 각 숫자별 홀짝 ($0$: 홀, $3$: 홀, $2$: 짝, 나머지: 짝) 을 세고 그 회계를 $\text{MMDD}$ 로 그대로 옮기는 데 사용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수·도형 패턴 만들기 (네 자리짜리 다중집합 중 홀짝 규칙을 만족하는 것 — $\{0,3,d,d\}$, $\{0,3,3,3\}$, $\{0,0,0,3\}$ — 을 빠짐없이 나열하는 데 사용.)
4.OA.B.4 자연수의 모든 인수쌍 / 가능한 모든 경우 찾기 ($\{0, 3, d, d\}$ 군에서 $\text{MM} \le 12$ 인 배치가 가능한 $d$ 만 남기는 데 사용.)
4.OA.A.3 자연수의 네 연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결하기 (각 다중집합 안에서 달력 규칙을 만족하는 $(\text{MM}, \text{DD})$ 배치를 모두 만드는 데 사용.)
3.OA.D.8 두 단계 문장제를 사칙연산으로 해결하기 (다중집합 $\{0,3,3,3\}$ 과 $\{0,0,0,3\}$ 이 유효한 날짜를 만들지 못한다는 것을 모든 $\text{MM}/\text{DD}$ 분할로 확인하는 데 사용.)
2.NBT.B.5 $100$ 이내 덧셈·뺄셈 능숙히 하기 (마지막에 경우 결과 $7 + 2 = 9$ 를 더하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 패턴 나열만 알면 풀 수 있어요 — $2023$ 에서 홀수 번 나오는 두 숫자 ($0$ 과 $3$) 가 짝수가 되도록 $\text{MMDD}$ 네 자리를 골라놓고, 달력에 맞는 배치를 빠짐없이 적기만 하면 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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