AMC 10 · 2023 · #1

학년 5 rate-ratio

fraction-arithmeticmean-median-mode-rangeratio-proportion easier-related-problemwork-backwardsidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmean-median-mode-range

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

Mrs. Jones is pouring orange juice into four identical glasses for her four sons. She fills the first three glasses completely but runs out of juice when the fourth glass is only $\frac{1}{3}$ full. What fraction of a glass must Mrs. Jones pour from each of the first three glasses into the fourth glass so that all four glasses will have the same amount of juice?

$\textbf{(A) } \frac{1}{12} \qquad\textbf{(B) } \frac{1}{4} \qquad\textbf{(C) } \frac{1}{6} \qquad\textbf{(D) } \frac{1}{8} \qquad\textbf{(E) } \frac{2}{9}$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{12}$

(B)

$frac{1}{4}$

(C)

$frac{1}{6}$

(D)

$frac{1}{8}$

(E)

$frac{2}{9}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 잔은 가득, 네 번째 잔은 $\frac{1}{3}$ 만 차 있습니다. 네 잔이 모두 같은 양이 되려면 가득 찬 잔 각각에서 얼마만큼($x$)을 네 번째 잔으로 옮겨야 하는지 구하세요.

주어진 것: $1$번, $2$번, $3$번 잔은 각각 한 잔 ($1$)만큼 들어 있음; $4$번 잔은 $\frac{1}{3}$ 만큼 들어 있음; 네 잔은 모두 똑같은 크기; 선택지: (A) $\frac{1}{12}$, (B) $\frac{1}{4}$, (C) $\frac{1}{6}$, (D) $\frac{1}{8}$, (E) $\frac{2}{9}$

구하는 것: 가득 찬 잔 각각에서 $4$번 잔으로 옮길 양 $x$ (한 잔에 대한 분수)

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기, #11 거꾸로 풀기

문제 안에 숨어 있는 더 쉬운 문제는 결국 "평균 구하기"입니다 — 모든 주스를 한데 모아 같은 크기의 잔 $4$ 개에 똑같이 나누면 각 잔에 얼마가 들어갈까? 도구 #9가 "옮기는 양" 대신 "목표 높이"를 묻는 문제로 다시 짭니다. 목표 높이를 알면 도구 #11(거꾸로 풀기)이 마무리 — 가득 찬 잔은 $1$ 에서 그 목표까지 줄어야 하므로, 따라낸 양은 두 값의 차입니다. 도구 #1로 네 개의 막대잔을 그려 두면 총량 보존이 그림으로 보입니다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NF.A.1 단계 1

현재 네 잔에 들어 있는 주스를 모두 더해 총량을 구합니다.
잔 사이로 옮길 뿐이라 총량은 옮기기 전과 후가 같습니다.

$$\text{총량} = 1 + 1 + 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3} \text{ 잔}$$

💡 $1$ 을 세 번, 그리고 $\frac{1}{3}$ 을 더하는 것은 5학년 분수 덧셈.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NF.B.7 단계 2

그 총량을 네 잔에 똑같이 나눕니다.
이 값이 옮기기를 끝낸 뒤 각 잔이 가져야 할 목표 양입니다.

$$\text{잔당 목표} = \dfrac{10/3}{4} = \dfrac{10}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$$

💡 총량을 $4$ 등분 — 분수를 자연수로 나누면 그만큼 작아진다는 5학년 개념.

#11 거꾸로 풀기 5.NF.A.1 단계 3

가득 찬 잔은 $1$ 에서 시작해 $\frac{5}{6}$ 에서 끝나야 합니다.
거꾸로 풀기: 따라낸 양은 $1$ 에서 $\frac{5}{6}$ 까지 줄이는 데 필요한 양입니다.

$$x = 1 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{6}{6} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$$

💡 시작($1$)과 끝($\frac{5}{6}$)을 알면 빠진 조각은 그냥 뺄셈.

#1 그림 그리기 5.NF.A.2 단계 4

$4$번 잔으로 확인.
$\frac{1}{6}$ 씩 세 번 옮기면 $3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ 가 들어가 $4$번 잔은 $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$ — 다른 세 잔과 같습니다.
답은 $\frac{1}{6}$, 선택지 (C).

$$\dfrac{1}{3} + 3 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{6} \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 높이 $\frac{5}{6}$ 의 막대 네 개를 그려 보면 옮기기가 맞게 분배됨이 보입니다.

[1] #9 5.NF.A.1 현재 네 잔에 들어 있는 주스를 모두 더해 총량을 구합니다. 잔 사이로 옮길 뿐이라 총량은 옮기기 전과 후가 같습니다.

[2] #9 5.NF.B.7 그 총량을 네 잔에 똑같이 나눕니다. 이 값이 옮기기를 끝낸 뒤 각 잔이 가져야 할 목표 양입니다.

[3] #11 5.NF.A.1 가득 찬 잔은 $1$ 에서 시작해 $\frac{5}{6}$ 에서 끝나야 합니다. 거꾸로 풀기: 따라낸 양은 $1$ 에서 $\frac{5}{6}$

[4] #1 5.NF.A.2 $4$번 잔으로 확인. $\frac{1}{6}$ 씩 세 번 옮기면 $3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ 가 들어가 $

검토

합리성 확인: 크기 점검. $4$번 잔이 모자란 양은 $\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ 잔. 이 부족분을 세 잔에서 똑같이 메우면 $\frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{6}$ 씩 — 답과 일치. 또 $\frac{1}{6}$ 은 작아서 가득 찬 잔에도 $\frac{5}{6}$ 이 남으므로 물리적으로도 자연스러움.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 각 가득 잔에서 따르는 양을 $x$ 로 두면, 가득 잔은 $1 - x$, 모자란 잔은 $\frac{1}{3} + 3x$. 두 값을 같다고 놓으면 $1 - x = \frac{1}{3} + 3x$, 즉 $\frac{2}{3} = 4x$, $x = \frac{1}{6}$ — 같은 답이지만 식 세우기가 더 무겁습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($1 + 1 + 1 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ 총량 계산과 $1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ 차 계산에 사용.)
5.NF.A.2 분수의 덧셈·뺄셈이 들어간 문장제 해결 ($4$번 잔이 $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$ 가 되어 다른 세 잔과 같아지는지 확인하는 데 사용.)
5.NF.B.7 단위분수와 자연수 사이의 나눗셈 (총량 $\frac{10}{3}$ 을 $4$ 등분해 잔당 목표 $\frac{5}{6}$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 분수 나누기만 알면 풀 수 있어요 — 주스를 모두 모아 $4$ 로 나눈 뒤, 그 목표보다 많은 만큼만 따라내면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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