AMC 10 · 2023 · #11

학년 6 arithmetic

linear-diophantinesystematic-enumerationlinear-equations-two-varbound-inequality-then-enumerate systematic-enumerationcaseworkbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: linear-equations-two-varsystematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Suzanne went to the bank and withdrew $800$. The teller gave her this amount using$ 20 $bills,$ $50$ bills, and $$100$ bills, with at least one of each denomination. How many different collections of bills could Suzanne have received?

$\textbf{(A) } 45 \qquad \textbf{(B) } 21 \qquad \text{(C) } 36 \qquad \text{(D) } 28 \qquad \text{(E) } 32$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 수잔이 은행에서 $$800$ 을 인출했고, 창구 직원이 $$20$, $$50$, $$100$ 짜리 지폐만으로 (각 종류마다 최소 한 장씩 포함해서) 그 금액을 건넸습니다. 받을 수 있는 지폐 묶음(각 종류 지폐의 장수 조합)이 몇 가지인지 구하세요.

주어진 것: 총 금액: $$800$; 사용 가능한 지폐: $$20$, $$50$, $$100$; 각 종류의 지폐를 최소 한 장씩 포함; 선택지: (A) $45$, (B) $21$, (C) $36$, (D) $28$, (E) $32$

구하는 것: $20x + 50y + 100z = 800$ 을 만족하는 양의 정수 순서쌍 $(x, y, z)$ 의 개수

이해

주어진 것: 총 금액: $$800$; 사용 가능한 지폐: $$20$, $$50$, $$100$; 각 종류의 지폐를 최소 한 장씩 포함; 선택지: (A) $45$, (B) $21$, (C) $36$, (D) $28$, (E) $32$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #5 패턴 찾기, #3 가능성 지우기

도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 자연스러운 선택입니다 — 문제 자체가 "몇 가지" 를 묻고 있으니 정리된 셈이 필요합니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 식 전체를 $10$ 으로 나누면 $20x + 50y + 100z = 800$ 이 $2x + 5y + 10z = 80$ 으로 작아져 다루기 쉬워집니다. 21 가지를 일일이 나열하지 않도록 도구 #5(패턴 찾기) 가 도움이 됩니다: $z$ 를 고정할 때마다 $(x, y)$ 쌍의 개수가 등차수열로 줄어들고, 그 합이 답입니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.3 단계 1

먼저 식을 작게 만듭니다.
$20x + 50y + 100z = 800$ 의 양변을 $10$ 으로 나누면 해의 집합은 그대로지만 다루기 쉬운 동치식이 나옵니다.

$$2x + 5y + 10z = 80, \quad x, y, z \ge 1$$

💡 양변을 $10$ 으로 나누는 것은 6학년 "동치 표현" 의 기본 — 수를 작게 해서 다루기 쉽게 만듭니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.6 단계 2

가장 큰 지폐부터 정리.
$z$ ($$100$ 지폐 장수) 를 고정하고, 그에 맞는 $(x, y)$ 가 몇 개 있는지 셉니다. 고정된 $z$ 에 대해 $2x + 5y = 80 - 10z$ 이고 $x \ge 1$, $y \ge 1$. 좌변 $2x$ 가 짝수이므로 $5y$ 도 짝수, 즉 $y$ 가 짝수여야 합니다.

$z$ 고정 → $2x + 5y = 80 - 10z, \; x \ge 1, \; y \ge 1, \; y$ 짝수

💡 바깥 변수($z$) 하나를 고정해 내부를 두 변수 셈으로 줄이는 6학년식 변수 사용.

#5 패턴 찾기 6.EE.B.6 단계 3

고정된 $z$ 에서 $y = 2b$ ($b \ge 1$) 로 두고 $x$ 를 계산.
식은 $2x + 10b = 80 - 10z$, 즉 $x = 40 - 5z - 5b = 5(8 - z - b)$.
따라서 $x$ 는 $5$ 의 양의 배수: $x \ge 5$ 이므로 $8 - z - b \ge 1$, 즉 $b \le 7 - z$.
$b \ge 1$ 도 함께 만족시키면 유효한 $b$ 는 $z \le 6$ 일 때 $7 - z$ 개.

$z$ 고정 시 쌍의 개수: $\max(7 - z, 0)$

💡 $z$ 가 한 단계 늘면 $b$ 의 가능한 수도 한 단계 줄어드는 등차 감소 패턴 — 도구 #5 의 핵심.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.7 단계 4

$z = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 의 개수를 더합니다 ($z = 7$ 이면 $0$ 개).

$$6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$$

💡 $z$ 별 개수를 합산하는 "경우 합산" 이 체계적 셈의 표준 마무리.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.5 단계 5

선택지와 매칭: $21$ 은 (B).
나머지 선택지 ($45$, $36$, $28$, $32$) 는 자연스러운 over/undercount 와도 일치하지 않는 함정 답입니다.

$$\text{답} = 21 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 계산값을 다섯 선택지와 즉시 비교하는 객관식의 표준 마무리.

[1] #9 6.EE.A.3 먼저 식을 작게 만듭니다. $20x + 50y + 100z = 800$ 의 양변을 $10$ 으로 나누면 해의 집합은 그대로지만 다루기 쉬운 동치

[2] #2 6.EE.B.6 가장 큰 지폐부터 정리. $z$ ($$100$ 지폐 장수) 를 고정하고, 그에 맞는 $(x, y)$ 가 몇 개 있는지 셉니다. 고정된 $z$ 에

[3] #5 6.EE.B.6 고정된 $z$ 에서 $y = 2b$ ($b \ge 1$) 로 두고 $x$ 를 계산. 식은 $2x + 10b = 80 - 10z$, 즉 $x =

[4] #2 6.EE.B.7 $z = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 의 개수를 더합니다 ($z = 7$ 이면 $0$ 개).

[5] #3 6.EE.B.5 선택지와 매칭: $21$ 은 (B). 나머지 선택지 ($45$, $36$, $28$, $32$) 는 자연스러운 over/undercount 와도

검토

합리성 확인: 경계 사례 점검. $z = 1$ ($$100$ 한 장) 일 때 남은 $$700$ 을 $$20$ 과 $$50$ 으로 (각 최소 한 장) 만드는 경우: $20x + 50y = 700$, $x, y \ge 1$. 짝수 $y \in \{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$ 로 $6$ 가지 — 공식 $7 - 1 = 6$ 과 일치. $z = 6$ ($$100$ 여섯 장, $$200$ 남음) 점검: $20x + 50y = 200$, $y \in \{2\}$, $x = 5$, $1$ 가지 — $7 - 6 = 1$ 과 일치. 총 $21$ 은 "세 종류, $$800$" 라는 설정에 비추어 자연스러운 크기.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)로 가는 stars-and-bars 풀이: $x = 5a$ ($80 - 5y - 10z$ 가 $5$ 의 배수여야 하므로 강제) 와 $y = 2b$ ($2x + 10z$ 가 짝수이므로 $5y$ 도 짝수) 로 치환하면 $a + b + z = 8$ ($a, b, z \ge 1$) 의 양의 정수해 개수 $\binom{7}{2} = 21$. 같은 답이지만 대수에 익숙한 학생에게는 더 빠릅니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치 표현 만들기 ($20x + 50y + 100z = 800$ 의 양변을 $10$ 으로 나누어 동치식 $2x + 5y + 10z = 80$ 을 얻는 데 사용.)
6.EE.B.6 변수로 수를 나타내고 식을 써서 문제 해결 ($z$ 를 고정하고 $y = 2b$ 로 치환해 셈을 한 변수 검사로 줄이는 데 사용.)
6.EE.B.7 $px = q$ 형태의 방정식 풀이로 실생활 문제 해결 ($x = 5(8 - z - b)$ 형태에서 $x$ 를 $z, b$ 로 표현해 유효한 쌍을 열거하는 데 사용.)
6.EE.B.5 방정식/부등식의 해를 "값을 찾는 과정" 으로 이해하기 (합산값 $21$ 을 다섯 선택지와 비교해 (B) 를 고르는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "동치식과 변수" 만 알면 풀 수 있어요 — 금액을 $10$ 으로 나누고 $$100$ 지폐 장수를 하나씩 고정해 보면 각 경우가 작은 셈으로 줄어들고, 그 합이 $21$ 입니다.