AMC 10 · 2023 · #14

학년 8 algebra

polynomial-factoringsymmetry-argumentbound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratecasework ↑ 선수 지식: polynomial-factoringsystematic-enumeration

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

How many ordered pairs of integers $(m, n)$ satisfy the equation $m^2+mn+n^2 = m^2n^2$ ?

$\textbf{(A) }7\qquad\textbf{(B) }1\qquad\textbf{(C) }3\qquad\textbf{(D) }6\qquad\textbf{(E) }5$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $m^2 + mn + n^2 = m^2 n^2$ 을 만족하는 정수 순서쌍 $(m, n)$ 의 개수를 구하세요.

주어진 것: 방정식: $m^2 + mn + n^2 = m^2 n^2$; $m, n$ 은 정수 (양수, 음수, $0$); 순서쌍: $(1, -1)$ 과 $(-1, 1)$ 은 서로 다른 쌍; 선택지: (A) $7$, (B) $1$, (C) $3$, (D) $6$, (E) $5$

구하는 것: 정수 순서쌍 $(m, n)$ 의 총 개수

이해

문제 재정리: $m^2 + mn + n^2 = m^2 n^2$ 을 만족하는 정수 순서쌍 $(m, n)$ 의 개수를 구하세요.

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #13 대수로 바꾸기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기, #5 패턴 찾기

도구 #6(추측하고 확인하기) 로 우선 발판을 만듭니다 — $(0,0), (1,1), (1,-1), (2,1), \ldots$ 을 직접 넣어 보며 방정식이 얼마나 빡빡한지 감을 잡습니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 작은 영역 ($|m|, |n| \le 2$) 을 훑으면 모든 해를 찾습니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 가 마무리: 양변에 $mn$ 을 더하면 $(m+n)^2 = mn(mn+1)$ — 연속된 두 정수의 곱이 완전제곱수가 되려면 둘 중 하나가 $0$ 이어야만 함. 도구 #9(더 쉬운 문제) 검증: $m + n = mn$ 형태도 정수해가 유한하다는 비슷한 직관. 도구 #3(가능성 지우기): 세 개의 해를 찾으면 (B) $1$ 은 제외되고 큰 선택지도 배제됨.

실행 — 정답: C

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.2 단계 1

작은 정수 쌍 몇 개를 직접 넣어 직관을 잡습니다.
$(0, 0)$: $0 + 0 + 0 = 0 = 0 \cdot 0$.
해.
$(1, 1)$: 좌변 $= 3$, 우변 $= 1$.
실패.
$(1, -1)$: 좌변 $= 1 - 1 + 1 = 1$, 우변 $= 1$.
해.
$(-1, 1)$: 같은 값 $1 = 1$.
해.
$(2, 2)$: 좌변 $= 12$, 우변 $= 16$.
실패.
$(2, 1)$: 좌변 $= 7$, 우변 $= 4$.
실패.

$(0, 0), (1, -1), (-1, 1)$ 성공; 다른 시험값은 실패.

💡 작은 정수를 대입해 보면 해를 찾거나 우변 $m^2 n^2$ 가 얼마나 빠르게 폭증하는지 보입니다 — 6학년 식 값 계산.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.A.2 단계 2

$|m|, |n|$ 가 클 때 좌우변 격차가 폭발하는 이유?
$|m|, |n| \ge 2$ 면 우변 $m^2 n^2 \ge 16$ 인 반면 좌변 $m^2 + mn + n^2 \le \tfrac{3}{2}(m^2 + n^2)$ ($|mn| \le \tfrac{m^2 + n^2}{2}$ 이용).
그런데 우변 $= m^2 n^2 \ge 4(m^2 + n^2)$ ($|m|, |n| \ge 2$ 일 때).
따라서 원점에서 멀어지면 우변 $>$ 좌변, 해는 원점 근처에만 존재.

$$|m|, |n| \ge 2 \Rightarrow \text{우변} \gg \text{좌변}$$

💡 우변의 4차가 좌변의 2차를 추월 — 해는 원점 근처에서만 살아남고 유한 탐색이면 충분.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.A.2 단계 3

대수적 트릭으로 엄밀하게.
원 방정식 양변에 $mn$ 을 더해 좌변을 완전제곱식으로: $m^2 + mn + n^2 + mn = m^2 n^2 + mn$, 즉 $(m + n)^2 = mn(mn + 1)$.

$$(m + n)^2 = mn \cdot (mn + 1)$$

💡 양변에 $mn$ 을 더하면 좌변이 $(m + n)^2$ — 8학년 완전제곱식 만들기.

#5 패턴 찾기 8.EE.A.2 단계 4

$k = mn$ 으로 두면 우변은 $k(k+1)$ — 연속된 두 정수의 곱.
좌변 $(m + n)^2$ 은 완전제곱수.
따라서 $k(k+1)$ 이 완전제곱수여야 함.
연속된 두 정수는 서로소 (둘의 gcd 가 차이 $1$ 을 나누므로 $1$), 그 곱이 완전제곱수이려면 각각이 완전제곱수여야 함.
연속한 두 완전제곱수는 $0$ 과 $1$ 뿐 ($j \ge 1$ 일 때 $j^2$ 과 $(j+1)^2$ 의 차이 $2j + 1 > 1$).
따라서 $k(k+1) = 0$, 즉 $k = 0$ 또는 $k = -1$.

$$mn = 0 \text{ 또는 } mn = -1$$

💡 연속된 두 정수가 완전제곱수의 곱이 되려면 한 쪽이 $0$ 이어야만 — 깔끔한 8학년 정수론 관찰.

#2 빠짐없이 나열하기 8.EE.C.7 단계 5

각 경우를 $(m + n)^2 = 0$, 즉 $m + n = 0$ 과 함께 풀이.
**경우 A: $mn = 0$.** $m = 0$ 또는 $n = 0$.
$m + n = 0$ 결합하면 $m = n = 0$.
해 $(0, 0)$ 하나.
**경우 B: $mn = -1$.** $m + n = 0$ 에서 $n = -m$, 따라서 $m \cdot (-m) = -1$, $m^2 = 1$, $m = \pm 1$.
순서쌍 두 개: $(1, -1)$ 과 $(-1, 1)$.

$$\text{경우 A: } (0, 0). \quad \text{경우 B: } (1, -1), (-1, 1).$$

💡 각 경우가 일차 또는 단순 이차로 줄어 8학년 대수로 풀이.

#3 가능성 지우기 8.EE.A.2 단계 6

모든 해 수집: $(0, 0), (1, -1), (-1, 1)$.
순서쌍 $3$ 개.

$$\#\{\text{쌍}\} = 3 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 세 순서쌍 — 선택지 (C) 와 일치.

[1] #6 6.EE.A.2 작은 정수 쌍 몇 개를 직접 넣어 직관을 잡습니다. $(0, 0)$: $0 + 0 + 0 = 0 = 0 \cdot 0$. 해. $(1, 1)$:

[2] #9 8.EE.A.2 $|m|, |n|$ 가 클 때 좌우변 격차가 폭발하는 이유? $|m|, |n| \ge 2$ 면 우변 $m^2 n^2 \ge 16$ 인 반면 좌변

[3] #13 8.EE.A.2 대수적 트릭으로 엄밀하게. 원 방정식 양변에 $mn$ 을 더해 좌변을 완전제곱식으로: $m^2 + mn + n^2 + mn = m^2 n^2 +

[4] #5 8.EE.A.2 $k = mn$ 으로 두면 우변은 $k(k+1)$ — 연속된 두 정수의 곱. 좌변 $(m + n)^2$ 은 완전제곱수. 따라서 $k(k+1)$

[5] #2 8.EE.C.7 각 경우를 $(m + n)^2 = 0$, 즉 $m + n = 0$ 과 함께 풀이. **경우 A: $mn = 0$.** $m = 0$ 또는 $n

[6] #3 8.EE.A.2 모든 해 수집: $(0, 0), (1, -1), (-1, 1)$. 순서쌍 $3$ 개.

검토

합리성 확인: 각 해를 직접 대입해 검증. $(0, 0)$: 좌변 $= 0$, 우변 $= 0$. $(1, -1)$: 좌변 $= 1 - 1 + 1 = 1$, 우변 $= 1$. $(-1, 1)$: 대칭으로 같은 검증. 모두 통과. 경계 점검: $(0, k)$ ($k \ne 0$) 를 놓쳤나? 좌변 $= k^2$, 우변 $= 0$, $k \ne 0$ 이면 불일치. 다른 영점 해 없음. $|m|, |n| \ge 2$ 의 해를 놓쳤나? 2단계의 부등식으로 배제, 3-5단계의 인수분해로도 깔끔하게 배제 (남는 경우 없음).

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 유한 박스 풀이: 2단계에서 모든 해는 $|m|, |n| \le 2$. 후보 $25$ 쌍을 일일이 검사 — 같은 세 해. 느리지만 대수가 필요 없어, 3단계의 완전제곱 트릭이 어려운 학생에게 적합.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.2 글자가 수를 대신하는 식을 쓰고 읽고 값 계산하기 (작은 정수 $(m, n)$ 을 좌변/우변에 대입해 후보 쌍을 검사하는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근 및 세제곱근 기호로 해 표현하기 ($m^2 + mn + n^2 + mn = (m + n)^2$ 로 재배열, 완전제곱 인식, 연속된 두 정수의 곱이 완전제곱수가 되는 조건 추론.)
8.EE.C.7 일변수 일차방정식 풀이 ($m + n = 0$ 과 $m^2 = 1$ 을 풀어 $(0, 0), (1, -1), (-1, 1)$ 을 추출.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "완전제곱식 만들기" 만 알면 풀 수 있어요 — 양변에 $mn$ 을 더하면 $(m+n)^2 = mn(mn+1)$ 이 되고, 연속된 두 정수의 곱이 완전제곱수가 되려면 한 쪽이 $0$ 이어야 하므로 해는 $(0, 0), (1, -1), (-1, 1)$ — 정확히 $3$ 개.