AMC 10 · 2023 · #15

학년 8 arithmetic

perfect-squaresprime-factorizationfactorialparityexponents identify-subproblemspattern-recognitioncasework ↑ 선수 지식: prime-factorizationperfect-squaresfactorial

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

What is the least positive integer $m$ such that $m\cdot2!\cdot3!\cdot4!\cdot5!...16!$ is a perfect square?

$\textbf{(A) }30\qquad\textbf{(B) }30030\qquad\textbf{(C) }70\qquad\textbf{(D) }1430\qquad\textbf{(E) }1001$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

30030

(C)

(D)

1430

(E)

1001

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!$ 이 완전제곱수가 되게 하는 가장 작은 양의 정수 $m$ 을 구하세요.

주어진 것: 곱 $N = 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!$ — $2!$ 부터 $16!$ 까지 팩토리얼 $15$ 개; $m \cdot N$ 이 완전제곱수가 되는 최소 양의 정수 $m$ 을 찾음; 선택지: (A) $30$, (B) $30030$, (C) $70$, (D) $1430$, (E) $1001$

구하는 것: 최소 양의 정수 $m$

이해

문제 재정리: $m \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! \cdot 5! \cdots 16!$ 이 완전제곱수가 되게 하는 가장 작은 양의 정수 $m$ 을 구하세요.

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #5 패턴 찾기, #16 관점 바꾸기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 셋으로 가릅니다: (a) $N$ 에서 완전제곱 덩어리를 드러내고, (b) 남은 비제곱 덩어리를 식별, (c) 그 안에서 홀수 지수를 가진 소수가 $m$ 이 채워야 할 인수. 도구 #5(패턴 찾기) 가 짝짓기 트릭을 잡습니다: $(2k)! \cdot (2k+1)! = (2k+1) \cdot [(2k)!]^2$ — 인접 팩토리얼 두 개씩 묶으면 제곱이 떨어집니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 은 "$m N$ 이 완전제곱수인가" (어려움) 에서 "$N$ 의 어떤 소수가 홀수 지수인가" (간단한 홀짝 검사) 로 시선을 옮깁니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 르장드르 공식을 $16!$ 에 적용해 소수 $2, 3, 5, 7, 11, 13$ 의 지수를 정리.

실행 — 정답: C

#5 패턴 찾기 6.EE.A.3 단계 1

인접 팩토리얼 짝짓기.
$2!$ 부터 $16!$ 까지 $15$ 개 — 앞 $14$ 개를 $(2! \cdot 3!), (4! \cdot 5!), \ldots, (14! \cdot 15!)$ 의 $7$ 쌍으로 묶고 $16!$ 은 따로.
각 쌍에서 $(2k)! \cdot (2k+1)! = (2k)! \cdot (2k+1) \cdot (2k)! = (2k+1) \cdot [(2k)!]^2$ — $(2k+1)$ 배의 완전제곱.

$$(2k)! \cdot (2k+1)! = (2k+1) \cdot [(2k)!]^2$$

💡 인접 팩토리얼은 대부분의 인수를 공유 — 패턴이 깔끔한 제곱을 떨어뜨림 — 6학년 동치식 변형.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.A.3 단계 2

$7$ 쌍에 패턴을 적용하고 제곱 덩어리를 분리.
각 쌍은 잉여 인수 $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ ($3$ 부터 $15$ 까지 홀수들) 와 이미 제곱인 블록 $[(2!)^2 \cdot (4!)^2 \cdots (14!)^2]$ 을 줍니다.
따라서 $N = (3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15) \cdot (\text{완전제곱}) \cdot 16!$.

$$N = (3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15) \cdot \text{제곱} \cdot 16!$$

💡 완전제곱 블록은 무시 — $m$ 이 채워야 할 것은 비제곱 덩어리뿐.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.B.4 단계 3

$K = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15$ 의 각 소수 지수 홀짝 찾기.
$9 = 3^2, 15 = 3 \cdot 5$ 로 분해.
$K = 3^{1+2+1} \cdot 5^{1+1} \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 = 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$.
짝수 지수: $3, 5$.
홀수 지수: $7, 11, 13$.

$$K = 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7^1 \cdot 11^1 \cdot 13^1$$

💡 각 홀수를 소수로 분해해 합산 — 6학년 최대공약수/소인수 추론.

#2 빠짐없이 나열하기 8.EE.A.1 단계 4

$16!$ 의 각 소수 지수 홀짝은 르장드르 공식: $E_p(16!) = \lfloor 16/p \rfloor + \lfloor 16/p^2 \rfloor + \ldots$.
$16$ 이하 소수: $2, 3, 5, 7, 11, 13$.

$$E_2 = 8+4+2+1 = 15 \text{ (홀)}; \; E_3 = 5+1 = 6 \text{ (짝)}; \; E_5 = 3 \text{ (홀)}; \; E_7 = 2 \text{ (짝)}; \; E_{11} = 1 \text{ (홀)}; \; E_{13} = 1 \text{ (홀)}$$

💡 $16!$ 안의 $p, p^2, \ldots$ 배수들을 세는 르장드르 공식 — 8학년 정수 지수 관리.

#16 관점 바꾸기 8.EE.A.1 단계 5

$K$ 와 $16!$ 의 지수를 합산.
완전제곱 여부는 합산 지수의 홀짝만 결정.
$E_2: 0 + 15 = 15$ 홀; $E_3: 4 + 6 = 10$ 짝; $E_5: 2 + 3 = 5$ 홀; $E_7: 1 + 2 = 3$ 홀; $E_{11}: 1 + 1 = 2$ 짝; $E_{13}: 1 + 1 = 2$ 짝.

$$K \cdot 16! = 2^{\text{홀}} \cdot 3^{\text{짝}} \cdot 5^{\text{홀}} \cdot 7^{\text{홀}} \cdot 11^{\text{짝}} \cdot 13^{\text{짝}} \cdot (\text{제곱})$$

💡 "지수" 대신 "지수 mod 2" 로 시선 전환 — 8학년 홀짝 검사로 $m$ 이 보충할 소수가 한눈에.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 6

$N$ 에서 홀수 지수를 갖는 소수는 $2, 5, 7$.
모든 지수를 짝수로 만드는 최소 $m$ 은 각 소수를 한 번씩 곱한 것 — $m = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.

$$m = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$$

💡 홀수 지수 소수 각각 하나씩 추가 → 전부 짝수 — 6학년 소인수 짝맞춤.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 7

선택지와 매칭: $70$ 은 (C).
다른 선택지 함정 — $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ ($7$ 빠지고 $3$ 추가), $30030 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ (여분), $1430 = 2 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 13$ (잘못된 소수), $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ ($2, 5$ 빠짐).

$$m = 70 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $\{2, 5, 7\}$ 을 정확히 덮는 무평방 $m$ 은 $70$ 뿐 — 객관식 마무리.

[1] #5 6.EE.A.3 인접 팩토리얼 짝짓기. $2!$ 부터 $16!$ 까지 $15$ 개 — 앞 $14$ 개를 $(2! \cdot 3!), (4! \cdot 5!),

[2] #7 6.EE.A.3 $7$ 쌍에 패턴을 적용하고 제곱 덩어리를 분리. 각 쌍은 잉여 인수 $3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ ($3$ 부터 $15$ 까지

[3] #2 6.NS.B.4 $K = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15$ 의 각 소수 지수 홀짝 찾기. $9 =

[4] #2 8.EE.A.1 $16!$ 의 각 소수 지수 홀짝은 르장드르 공식: $E_p(16!) = \lfloor 16/p \rfloor + \lfloor 16/p^2 \

[5] #16 8.EE.A.1 $K$ 와 $16!$ 의 지수를 합산. 완전제곱 여부는 합산 지수의 홀짝만 결정. $E_2: 0 + 15 = 15$ 홀; $E_3: 4 + 6

[6] #7 6.NS.B.4 $N$ 에서 홀수 지수를 갖는 소수는 $2, 5, 7$. 모든 지수를 짝수로 만드는 최소 $m$ 은 각 소수를 한 번씩 곱한 것 — $m = 2

[7] #3 6.NS.B.4 선택지와 매칭: $70$ 은 (C). 다른 선택지 함정 — $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ ($7$ 빠지고 $3$ 추가), $300

검토

합리성 확인: $N$ 에서 $7$ 의 지수 교차 검증. $K$ 에서 $7^1$, $16!$ 에서 $E_7(16!) = \lfloor 16/7 \rfloor + \lfloor 16/49 \rfloor = 2 + 0 = 2$. $N$ 내 $7$ 의 지수 $1 + 2 = 3$ — 홀수, $m$ 에 $7$ 필요. 일관. $11$ 검증: $K$ 에서 $11^1$, $16!$ 에서 $11^1$, 합 $11^2$ — 짝, $m$ 에 $11$ 불필요. 일관. $2$ 검증: $K$ 에서 $2^0$, $16!$ 에서 $2^{15}$, 합 홀 — $m$ 에 $2$ 필요. 일관. 따라서 $m = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$ 이 무평방이고 최소. 크기 점검: $70$ 은 $30030 = 70 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 3$ 보다 훨씬 작아 "최소" 라는 결과가 합당.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 $N$ 을 각 $k!$ 에 르장드르를 직접 적용해 소수 거듭제곱의 곱으로 전개해 지수를 합산. 같은 홀수 지수 집합 $\{2, 5, 7\}$ 이 나옵니다. 매 팩토리얼마다 르장드르 표를 만들어야 해서 더 느림 — 1단계의 짝짓기 트릭이 일을 절반으로 줄여 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.A.3 연산의 성질로 동치 표현 만들기 ($(2k)! \cdot (2k+1)! = (2k+1) \cdot [(2k)!]^2$ 로 다시 써 완전제곱 덩어리 드러내기.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수 및 최소공배수 구하기 ($K = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15$ 를 $3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ 로 소인수분해, $m = 2 \cdot 5 \cdot 7$ 구성.)
8.EE.A.1 정수 지수의 성질을 알고 적용 ($16!$ 에 르장드르 공식 적용, 각 소수의 지수 홀짝 추론.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "정수 지수의 성질" 만 알면 풀 수 있어요 — 인접 팩토리얼을 짝지으면 완전제곱이 떨어져 나가고, 남은 비제곱 부분에서 홀수 지수를 가진 소수는 $2, 5, 7$ 뿐이라 최소 $m = 2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$ 입니다.