AMC 10 · 2023 · #22

학년 6 arithmetic

floor-functioncaseworklinear-equations-one-varbound-inequality-then-enumerate caseworksystematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: floor-functionlinear-equations-one-var

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

How many distinct values of $x$ satisfy
$\lfloor{x}\rfloor^2-3x+2=0$ , where $\lfloor{x}\rfloor$ denotes the largest integer less than or equal to $x$ ?

$\textbf{(A) } \text{an infinite number} \qquad \textbf{(B) } 4 \qquad \textbf{(C) } 2 \qquad \textbf{(D) } 3 \qquad \textbf{(E) } 0$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{an infinite number}$

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\lfloor x \rfloor^{2} - 3x + 2 = 0$ 을 만족하는 서로 다른 실수 $x$ 의 개수를 구합니다. 여기서 $\lfloor x \rfloor$ 는 $x$ 이하의 가장 큰 정수입니다.

주어진 것: $\lfloor x \rfloor$ 는 $x$ 의 바닥 함수 (정수 $n$ 이며 $n \le x < n+1$); 방정식 $\lfloor x \rfloor^{2} - 3x + 2 = 0$; 선택지: (A) 무한히 많음, (B) $4$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $0$

구하는 것: 서로 다른 실수해 $x$ 의 개수

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기

$\lfloor x \rfloor$ 가 정수라는 사실이 돌파구입니다. $n = \lfloor x \rfloor$ 로 두면(도구 #9 — 바닥 함수를 더 쉬운 정수 변수 $n$ 으로 대체) 방정식이 후보 $x = \tfrac{n^{2}+2}{3}$ 로 정해집니다. 이제 도구 #6(추측·확인) 과 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 작은 정수 $n = \ldots, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \ldots$ 를 훑으며 $\lfloor \tfrac{n^{2}+2}{3} \rfloor = n$ 인지 확인. 후보는 $n^{2}$ 으로 자라고 창은 선형이므로 몇 개만 본다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.B.6 단계 1

$n = \lfloor x \rfloor$ 로 둡니다.
방정식이 $n^{2} - 3x + 2 = 0$, 즉 $x = \tfrac{n^{2} + 2}{3}$.
이 $x$ 가 원식의 해가 되려면 그 바닥이 진짜로 $n$ 이어야 함 — $n \le \tfrac{n^{2}+2}{3} < n + 1$.

$$x = \dfrac{n^{2} + 2}{3},\quad n \le x < n + 1$$

💡 6학년 '미지수를 변수로 기록' — 바닥에 이름 $n$ 을 붙이면 바닥 함수가 사라진다.

#6 추측하고 확인하기 6.NS.C.6 단계 2

$n$ 을 $0$ 부터 훑습니다.
$n = 0$: $x = \tfrac{0 + 2}{3} = \tfrac{2}{3} \approx 0.667$.
$0 \le 0.667 < 1$ ?
예.
$x = \tfrac{2}{3}$ 유효.

$$n=0:\;x = \tfrac{2}{3},\;\lfloor \tfrac{2}{3} \rfloor = 0\;\checkmark$$

💡 6학년 '수직선 위 유리수' — $\tfrac{2}{3}$ 은 $0$ 과 $1$ 사이.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.5 단계 3

$n = 1$: $x = \tfrac{1 + 2}{3} = 1$.
$1 \le 1 < 2$ ?
예.
$x = 1$ 유효.

$$n=1:\;x = 1,\;\lfloor 1 \rfloor = 1\;\checkmark$$

💡 6학년 '방정식 풀이' — 대입하고 두 부등식을 확인.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.5 단계 4

$n = 2$: $x = \tfrac{4 + 2}{3} = 2$.
$2 \le 2 < 3$ ?
예.
$x = 2$ 유효.

$$n=2:\;x = 2,\;\lfloor 2 \rfloor = 2\;\checkmark$$

💡 6학년 — 후보의 바닥이 가정한 $n$ 과 일치하는지 확인.

#6 추측하고 확인하기 5.NF.B.3 단계 5

$n = 3$: $x = \tfrac{9 + 2}{3} = \tfrac{11}{3} \approx 3.667$.
$3 \le 3.667 < 4$ ?
예.
$x = \tfrac{11}{3}$ 유효.

$$n=3:\;x = \tfrac{11}{3} \approx 3.667,\;\lfloor \tfrac{11}{3} \rfloor = 3\;\checkmark$$

💡 5학년 '분수는 나눗셈' — $11 \div 3 = 3$ 나머지 $2$ 이므로 바닥은 $3$.

#2 빠짐없이 나열하기 6.EE.B.8 단계 6

$n = 4$: $x = \tfrac{16 + 2}{3} = 6$.
$4 \le 6 < 5$ ?
$6 \ge 5$ 이므로 NO.
기각.
$n$ 이 커지면 $\tfrac{n^{2}+2}{3}$ 이 $n+1$ 을 멀리 넘어버림.
$n = 5$ 도 $x = 9$ 로 멀리 벗어남.
$n \ge 4$ 는 모두 기각.

$$n=4:\;x = 6 \ge 5,\;\text{바닥}=6 \ne 4\;\text{✗}$$

💡 6학년 '수직선의 부등식' — $n \ge 4$ 면 후보가 창 $[n, n+1)$ 을 넘어선다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.C.7 단계 7

음수 $n$ 확인: $n = -1$.
$x = \tfrac{1 + 2}{3} = 1$.
$-1 \le 1 < 0$ ?
$1 \not< 0$ 이므로 NO.
$n \le -1$ 이면 후보 $\tfrac{n^{2}+2}{3} > 0$ 이지만 창 $[n, n+1)$ 은 양수 끝이 $0$ 이하 — 모두 기각.

$$n=-1:\;x = 1 \not\in [-1, 0)\;\text{✗}$$

💡 6학년 '유리수의 순서' — 양의 후보는 양의 창에서만 살 수 있다.

#3 가능성 지우기 2.OA.C.4 단계 8

정리: 유효한 정수 $n \in \{0, 1, 2, 3\}$ 이 정확히 $4$ 개의 서로 다른 해 $x \in \{\tfrac{2}{3},\,1,\,2,\,\tfrac{11}{3}\}$ 를 줍니다.
네 값이 모두 다름.
답: $\boxed{4}$, 선택지 (B).

$$x \in \Big\{\tfrac{2}{3},\,1,\,2,\,\tfrac{11}{3}\Big\}\;\Rightarrow\;4 \text{ 개} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 2학년 '개수 세기' — 유효한 값 $4$ 개, 해 $4$ 개.

[1] #9 6.EE.B.6 $n = \lfloor x \rfloor$ 로 둡니다. 방정식이 $n^{2} - 3x + 2 = 0$, 즉 $x = \tfrac{n^{2} +

[2] #6 6.NS.C.6 $n$ 을 $0$ 부터 훑습니다. $n = 0$: $x = \tfrac{0 + 2}{3} = \tfrac{2}{3} \approx 0.667$.

[3] #6 6.EE.B.5 $n = 1$: $x = \tfrac{1 + 2}{3} = 1$. $1 \le 1 < 2$ ? 예. $x = 1$ 유효.

[4] #6 6.EE.B.5 $n = 2$: $x = \tfrac{4 + 2}{3} = 2$. $2 \le 2 < 3$ ? 예. $x = 2$ 유효.

[5] #6 5.NF.B.3 $n = 3$: $x = \tfrac{9 + 2}{3} = \tfrac{11}{3} \approx 3.667$. $3 \le 3.667 < 4$

[6] #2 6.EE.B.8 $n = 4$: $x = \tfrac{16 + 2}{3} = 6$. $4 \le 6 < 5$ ? $6 \ge 5$ 이므로 NO. 기각. $n$

[7] #2 6.NS.C.7 음수 $n$ 확인: $n = -1$. $x = \tfrac{1 + 2}{3} = 1$. $-1 \le 1 < 0$ ? $1 \not< 0$ 이므

[8] #3 2.OA.C.4 정리: 유효한 정수 $n \in \{0, 1, 2, 3\}$ 이 정확히 $4$ 개의 서로 다른 해 $x \in {\tfrac{2}{3},\,1

검토

합리성 확인: 원식 대입 확인: $x = \tfrac{2}{3}$ : $0^{2} - 3 \cdot \tfrac{2}{3} + 2 = -2 + 2 = 0$ ✓. $x = 1$: $1 - 3 + 2 = 0$ ✓. $x = 2$: $4 - 6 + 2 = 0$ ✓. $x = \tfrac{11}{3}$: $9 - 11 + 2 = 0$ ✓. 네 해 검증 완료. 경계 $n = 4$ 가 $x = 6$ 으로 창 $[4, 5)$ 밖이라 위쪽 해도 없음. 음수 창은 양의 후보를 담을 수 없으므로 아래도 없음. 답 (B) $= 4$ 일치.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): $y = \lfloor x \rfloor^{2}$ 의 계단함수와 $y = 3x - 2$ 의 직선을 같은 좌표에 그리면, 각 계단 $[n, n+1)$ 에서 직선이 평평한 단을 횡단할 때마다 교점 $1$ 개. $n = 0, 1, 2, 3$ 의 네 단에서 각각 교차, $n \ge 4$ 부터는 단 점프 $2n+1$ 이 직선의 기울기 $3$ 보다 훨씬 커서 교차 없음 — 시각적으로 4.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

2.OA.C.4 직사각형 배열에서 덧셈으로 개수 세기 (유효한 정수 $n$ 의 개수를 세어 해의 개수로 보고.)
5.NF.B.3 분수를 분자÷분모로 해석 ($\tfrac{11}{3} = 3 \cdot 3 + 2$ 의 나눗셈으로 바닥 $3$ 을 읽음.)
6.EE.B.5 방정식·부등식 풀이를 어떤 값이 참으로 만드는지 찾는 과정으로 이해 ($n = 0, 1, 2, 3, 4, \ldots$ 를 대입해 얻은 $x$ 가 방정식과 바닥 창 조건을 둘 다 만족하는지 점검.)
6.EE.B.6 미지수를 변수로 표현하고 문제 해결을 위한 식 작성 ($n = \lfloor x \rfloor$ 를 도입하여 바닥 함수 방정식을 정수 매개변수 식 $x = (n^{2}+2)/3$ 로 변환.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식을 쓰고 수직선에 표현 (조건 $n \le x < n+1$ 을 후보의 창 멤버십 테스트로 기록.)
6.NS.C.6 유리수를 수직선의 점으로 이해 (후보 $\tfrac{2}{3}, 1, 2, \tfrac{11}{3}, 6, \ldots$ 를 수직선에 두고 바닥을 확인.)
6.NS.C.7 유리수의 순서와 절댓값 이해 (음수 $n$ 은 양의 후보를 음의 창에 둘 수 없어 모두 기각.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 6학년 식·수직선 추론만 있으면 풀려요 — 어려워 보이는 바닥 함수 $\lfloor x \rfloor$ 에 정수 이름 $n$ 을 붙이면 $x = (n^{2}+2)/3$ 가 되고, 그 후보가 진짜 창 $[n, n+1)$ 에 사는지 확인합니다. $n = 0, 1, 2, 3, 4, \ldots$ 를 훑으면 정확히 $4$ 개가 살아남아 답은 (B) $= 4$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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