AMC 10 · 2023 · #23

학년 8 arithmetic

sequences-arithmeticdivisibility-rulesbound-inequality-then-enumeratesystematic-enumerationlinear-diophantine easier-related-problemsystematic-enumerationcaseworkbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

An arithmetic sequence of positive integers has $n \ge 3$ terms, initial term $a$ , and common difference $d > 1$ . Carl wrote down all the terms in this sequence correctly except for one term, which was off by $1$ . The sum of the terms he wrote was $222$ . What is $a + d + n$ ?

$\textbf{(A) } 24 \qquad \textbf{(B) } 20 \qquad \textbf{(C) } 22 \qquad \textbf{(D) } 28 \qquad \textbf{(E) } 26$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 양의 정수로 이루어진 등차수열의 첫 항이 $a$, 공차가 $d > 1$, 항 수가 $n \ge 3$ 입니다. Carl 이 합을 적었는데 한 항을 $\pm 1$ 만큼 잘못 적어 합이 $222$ 가 되었습니다. $a + d + n$ 의 값을 구합니다.

주어진 것: 등차수열: 첫 항 $a \ge 1$ (양의 정수), 공차 $d \ge 2$ (정수, $d > 1$ 이고 모든 항이 양의 정수이므로); 항 수 $n \ge 3$; Carl 이 적은 합 $= 222$; 한 항이 $\pm 1$ 어긋났으므로 진짜 합 $S = 221$ 또는 $S = 223$; 합 공식: $S = \tfrac{n}{2}(2a + (n-1)d)$, 즉 $2S = n \cdot \big(2a + (n-1)d\big)$; 선택지: (A) $24$, (B) $20$, (C) $22$, (D) $28$, (E) $26$

구하는 것: $a + d + n$

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #6 추측하고 확인하기, #3 가능성 지우기

도구 #9(더 쉬운 문제): 미지수 $n$ 이 가장 까다로우니, 합을 두 배 해서 $2S = n(2a + (n-1)d)$ 라는 두 정수의 곱으로 다듬는다. 문제가 '$442$ 또는 $446$ 을 인수분해해 보고 확인하기' 로 단순화. 도구 #2(빠짐없이 나열) 가 $442 = 2 \cdot 13 \cdot 17$ 과 $446 = 2 \cdot 223$ 의 약수 후보 $n$ 을 훑고, 도구 #6(추측·확인) 이 각 후보에 대해 $(a, d)$ 를 푼다. 도구 #3(가능성 지우기) 가 $a < 1$, $d < 2$, 비정수를 모두 기각.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.F.B.4 단계 1

진짜 합 설정.
Carl 의 $222$ 가 $\pm 1$ 차이이므로 진짜 합은 $S = 221$ 또는 $S = 223$.
등차수열 합 공식 $S = \tfrac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ 에 $2$ 를 곱하면 $2S = n \cdot K$, $K = 2a + (n-1)d$ 는 양의 정수.
따라서 $n$ 은 $2S$ 의 약수.

$$2S = n \cdot \big(2a + (n-1)d\big),\quad 2S \in \{442,\;446\}$$

💡 8학년 '선형 관계 모델링' — 등차수열의 합이 하나의 곱 공식으로 압축.

#3 가능성 지우기 6.NS.B.4 단계 2

$S = 223$ 시도.
$2S = 446 = 2 \cdot 223$ (이고 $223$ 은 소수).
약수는 $1, 2, 223, 446$ 이고 $n \ge 3$ 이므로 $n = 223$ 또는 $446$.
$n = 223$: $K = 446/223 = 2$, 그래서 $2a + 222 d = 2$; 하지만 $a \ge 1, d \ge 2$ 면 좌변 $\ge 2 + 444 = 446$, 모순.
$n = 446$ 은 더 심함.
$S = 223$ 기각.

$$S=223:\;446 = 2 \cdot 223,\;n \in \{223, 446\}\;\text{모두 실패}\;\text{✗}$$

💡 6학년 '약수 쌍 찾기' — $223$ 이 소수라 약수 풀이 너무 좁고 $K$ 가 너무 작다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.NS.B.4 단계 3

$S = 221 = 13 \cdot 17$.
$2S = 442 = 2 \cdot 13 \cdot 17$.
$442$ 의 약수: $1, 2, 13, 14, 17, 26, 34, 221, 442$.
$n \ge 3$ 이므로 후보는 $n \in \{13, 14, 17, 26, 34, 221, 442\}$.

$$2S = 442 = 2 \cdot 13 \cdot 17,\quad n \in \{13, 14, 17, 26, 34, 221, 442\}$$

💡 6학년 '약수 나열' — $442$ 의 모든 약수를 적고, $n$ 은 그중 하나.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 8.EE.A.2 단계 4

$n$ 의 상한 추가.
$a \ge 1, d \ge 2$ 이면 $K = 2a + (n-1)d \ge 2 + 2(n-1) = 2n$.
따라서 $nK \ge 2n^{2}$, 즉 $2n^{2} \le 442$, 그래서 $n^{2} \le 221 < 225 = 15^{2}$.
결국 $n \le 14$.
남은 후보는 $n = 13, 14$.

$$2n^{2} \le 2S = 442 \;\Rightarrow\; n \le 14$$

💡 8학년 '제곱근' — $n^{2} \le 221$ 이 $n \le 14$ 로 한정.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.B.4 단계 5

$n = 14$ 시도: $K = 442/14 = 31.57\ldots$, 정수 아님.
기각.

$$n=14:\;K = 442/14 \notin \mathbb{Z}\;\text{✗}$$

💡 4학년 '약수 쌍' — $14$ 가 $442$ 의 약수가 아니므로 $K$ 가 정수가 안 됨.

#6 추측하고 확인하기 8.EE.C.7 단계 6

$n = 13$ 시도: $K = 442/13 = 34$, 그래서 $2a + 12d = 34$, 즉 $a + 6d = 17$.
$d \ge 2$: $d = 2$ 면 $a = 17 - 12 = 5 \ge 1$ ✓.
$d = 3$ 면 $a = 17 - 18 = -1 < 0$ ✗.
유일한 해 $a = 5, d = 2, n = 13$.

$$n=13:\;a + 6d = 17 \;\Rightarrow\; (a, d) = (5, 2)\;\checkmark$$

💡 8학년 '일차방정식 풀이' — 두 정수에 대한 한 방정식이 양의 조건과 결합되어 유일하게 결정.

#3 가능성 지우기 3.OA.D.8 단계 7

검증.
수열: $5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29$ ($13$ 항, $d = 2$).
합 $= \tfrac{13}{2}(5 + 29) = \tfrac{13 \cdot 34}{2} = 13 \cdot 17 = 221$.
Carl 의 $222 = 221 + 1$ — '한 항을 $1$ 더 크게' 적은 것과 일치.
$a + d + n = 5 + 2 + 13 = 20$.
선택지 (B).

$$a + d + n = 5 + 2 + 13 = 20 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 3학년 '두 단계 문장제' — 세 정수를 더해 마무리.

[1] #9 8.F.B.4 진짜 합 설정. Carl 의 $222$ 가 $\pm 1$ 차이이므로 진짜 합은 $S = 221$ 또는 $S = 223$. 등차수열 합 공식 $S

[2] #3 6.NS.B.4 $S = 223$ 시도. $2S = 446 = 2 \cdot 223$ (이고 $223$ 은 소수). 약수는 $1, 2, 223, 446$ 이고

[3] #2 6.NS.B.4 $S = 221 = 13 \cdot 17$. $2S = 442 = 2 \cdot 13 \cdot 17$. $442$ 의 약수: $1, 2, 13

[4] #9 8.EE.A.2 $n$ 의 상한 추가. $a \ge 1, d \ge 2$ 이면 $K = 2a + (n-1)d \ge 2 + 2(n-1) = 2n$. 따라서 $n

[5] #6 4.OA.B.4 $n = 14$ 시도: $K = 442/14 = 31.57\ldots$, 정수 아님. 기각.

[6] #6 8.EE.C.7 $n = 13$ 시도: $K = 442/13 = 34$, 그래서 $2a + 12d = 34$, 즉 $a + 6d = 17$. $d \ge 2$:

[7] #3 3.OA.D.8 검증. 수열: $5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29$ ($13$ 항, $d = 2$). 합 $

검토

합리성 확인: 수열 점검 통과: $5 + 7 + 9 + \cdots + 29$ 는 $13$ 항, 첫 $5$ 와 끝 $29$, 합 $\tfrac{13(5+29)}{2} = 221$ ✓. 모든 항이 양의 정수, $d = 2 > 1$, $n = 13 \ge 3$ — 모든 제약 만족. Carl 의 $222 = 221 + 1$ 이 '한 항이 $\pm 1$ 어긋남' 단서와 일치. 경쟁 케이스 $S = 223$ 이 깔끔히 기각됨. 최종 답 $20$ 이 선택지 (B) 와 일치.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기): 수열을 점들의 한 줄 $a, a+d, a+2d, \ldots, a + (n-1)d$ 로 그리고, Gauss 의 짝짓기로 합 $= n \cdot \tfrac{a + (a + (n-1)d)}{2}$ 가 자연스레 나옴. 이후 $2 \cdot 221 = 442$ 의 인수 분석은 동일.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 풀이 (마지막에 $5 + 2 + 13$ 을 더해 $a + d + n$ 을 구함.)
4.OA.B.4 약수 쌍 찾기와 배수 인식 ($14$ 가 $442$ 의 약수가 아니어서 $n = 14$ 를 기각.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수·최소공배수 구하기 ($442 = 2 \cdot 13 \cdot 17$ 과 $446 = 2 \cdot 223$ 의 약수 목록을 만들어 $n$ 후보 나열.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해 표현 ($n \le \sqrt{221} < 15$ 로 $n \le 14$ 상한을 얻어 후보를 급격히 좁힘.)
8.EE.C.7 일차방정식 풀이 ($a + 6d = 17$ 을 정수 $a \ge 1, d \ge 2$ 에 대해 풀어 유일한 $(5, 2)$ 결정.)
8.F.B.4 두 양 사이의 선형 관계를 모델링하는 함수 구성 (등차수열 부분합 공식 $S = \tfrac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ 를 선형 수열의 합 함수로 표시.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 대수만 있으면 풀려요 — '$\pm 1$ 어긋남' 단서로 진짜 합이 $221$ 또는 $223$, 양변에 $2$ 를 곱하면 $n \cdot K = 442$ 또는 $446$. 약수 쌍과 양수 조건에서 나온 $n \le 14$ 가 $n = 13$ 만 남기고, $a = 5, d = 2$ 가 강제됨. 더하면 (B) $20$.