AMC 10 · 2023 · #25

학년 8 geometry-2d

regular-pentagongolden-ratiopaper-foldingsimilar-figuresreflection-symmetry physical-representationidentify-subproblemsreflection-unfolding ↑ 선수 지식: paper-foldingsimilar-figures

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

A regular pentagon with area $\sqrt{5}+1$ is printed on paper and cut out. The five vertices of the pentagon are folded into the center of the pentagon, creating a smaller pentagon. What is the area of the new pentagon?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$~4-\sqrt{5}$

(B)

$~\sqrt{5}-1$

(C)

$~8-3\sqrt{5}$

(D)

$~\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

(E)

$~\frac{2+\sqrt{5}}{3}$

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 넓이가 $\sqrt{5} + 1$ 인 정오각형의 다섯 꼭짓점을 모두 중심으로 접으면 다섯 개의 접힘선이 더 작은 정오각형을 만듭니다. 이 안쪽 오각형의 넓이를 구합니다.

주어진 것: 원래 도형: 정오각형, 넓이 $\sqrt{5} + 1$; 각 꼭짓점이 중심으로 접힐 때 꼭짓점 $V$ 의 접힘선은 선분 $OV$ 의 수직이등분선 ($O$ 는 중심); 다섯 접힘선이 안쪽 오각형의 경계 — 원래의 $5$ 회 회전대칭으로 안쪽 오각형도 정오각형이며 중심은 $O$; 선택지: (A) $4 - \sqrt{5}$, (B) $\sqrt{5} - 1$, (C) $8 - 3\sqrt{5}$, (D) $\tfrac{\sqrt{5}+1}{2}$, (E) $\tfrac{2+\sqrt{5}}{3}$

구하는 것: 안쪽(접힌) 오각형의 넓이

이해

계획

주요 도구: #10 직접 만져보기

보조 도구: #1 그림 그리기, #7 작은 문제로 쪼개기, #16 관점 바꾸기

도구 #10(직접 만져보기) 가 핵심 — 종이 정오각형을 실제로 접어 보면 접힘선들이 어떤 모양을 만드는지 보입니다. 결과는 같은 중심을 공유하는 더 작은 정오각형. 도구 #1(그림) — $O$ 중심, 꼭짓점 $V$, 선분 $OV$, 그 수직이등분선인 접힘선을 표시. 도구 #7(쪼개기) 가 '새 넓이' 를 (i) 두 오각형의 선형 비 구하기 → (ii) 비를 제곱해 주어진 넓이에 곱하기 로 분리. 도구 #16(관점 바꾸기) 가 깔끔한 선형 차원으로 작은 오각형의 내접원반지름 vs 큰 오각형의 내접원반지름을 선택.

실행 — 정답: B

#10 직접 만져보기 8.G.A.2 단계 1

종이를 접기.
중심 $O$ 에 꼭짓점 $V$ 를 포개면 접힘선이 선분 $OV$ 의 수직이등분선이 됩니다.
다섯 접힘선이 안쪽 오각형의 경계.
원래의 $72^{\circ}$ 회전대칭으로 안쪽도 정오각형이며 같은 중심 $O$.

$$V \text{ 의 접힘선} = \{OV \text{ 의 수직이등분선}\}$$

💡 8학년 '강체 변환에 의한 합동' — 꼭짓점 $V$ 를 $O$ 로 접는 것은 접힘선을 축으로 한 반사이고, 그 축이 $OV$ 의 수직이등분선.

#1 그림 그리기 7.G.B.5 단계 2

작은 오각형의 내접원반지름 읽기.
각 접힘선이 $OV$ 의 수직이등분선이므로, $O$ 에서 접힘선까지 내린 수선의 발은 $OV$ 의 중점, 즉 $O$ 에서 거리 $\tfrac{|OV|}{2} = \tfrac{R}{2}$ 에 있습니다.
그 발이 곧 작은 오각형의 내접원반지름의 길이 $r_{s}$.
따라서 $r_{s} = \tfrac{R}{2}$, 여기서 $R$ 은 큰 오각형의 외접원반지름.

$$r_{s} = \dfrac{R}{2}$$

💡 7학년 '수직·인접 각 활용' — $O$ 에서 접힘선까지의 수선의 발이 $OV$ 의 중점.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

큰 오각형의 내접원반지름 구하기.
정오각형은 중심에서 다섯 합동 이등변삼각형으로 나뉘고 각 삼각형의 꼭각은 $\tfrac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ}$.
중심에서 한 변에 내접원반지름 $r$ 을 내리면 그 수선이 꼭각을 $36^{\circ}$ 로 이등분하고, 빗변 $R$ (외접원반지름) 의 직각삼각형이 생김.
$\cos 36^{\circ} = \tfrac{r}{R}$, 즉 $r = R \cos 36^{\circ}$.

$$r = R \cos 36^{\circ}$$

💡 8학년 '직각삼각형 비' — 부채꼴 한 조각을 반으로 잘라 직각삼각형을 노출.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.A.1 단계 4

두 오각형의 선형 비 구성.
둘 다 정오각형이고 중심 공유 — 닮음.
닮음비는 어느 대응 선형 차원으로 잡든 같으니 내접원반지름끼리 비교: $\dfrac{r_{s}}{r} = \dfrac{R/2}{R \cos 36^{\circ}} = \dfrac{1}{2 \cos 36^{\circ}}$.

$$\dfrac{r_{s}}{r} = \dfrac{1}{2 \cos 36^{\circ}}$$

💡 7학년 '닮음 도형의 축척' — 닮은 다각형은 모든 대응 차원이 같은 배율.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.A.1 단계 5

넓이는 비의 제곱으로 변환.
닮은 도형의 넓이는 선형 비의 제곱: $\dfrac{\text{넓이}_{s}}{\text{넓이}_{\text{큰}}} = \dfrac{1}{(2 \cos 36^{\circ})^{2}} = \dfrac{1}{4 \cos^{2} 36^{\circ}}$.

$$\dfrac{\text{넓이}_{s}}{\text{넓이}_{\text{큰}}} = \dfrac{1}{4 \cos^{2} 36^{\circ}}$$

💡 7학년 '닮음' — 넓이 비는 선형 비의 제곱.

#16 관점 바꾸기 8.NS.A.2 단계 6

잘 알려진 황금비 항등식 $\cos 36^{\circ} = \tfrac{1 + \sqrt{5}}{4}$ 대입.
제곱하면 $\cos^{2} 36^{\circ} = \tfrac{(1 + \sqrt{5})^{2}}{16} = \tfrac{6 + 2\sqrt{5}}{16} = \tfrac{3 + \sqrt{5}}{8}$.
그래서 $4 \cos^{2} 36^{\circ} = \tfrac{3 + \sqrt{5}}{2}$, 넓이 비는 $\dfrac{2}{3 + \sqrt{5}}$.
분모 유리화: $\dfrac{2(3 - \sqrt{5})}{9 - 5} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$.

$$\dfrac{\text{넓이}_{s}}{\text{넓이}_{\text{큰}}} = \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$$

💡 8학년 '무리수의 유리 근사' — $\cos 36^{\circ}$ 는 황금비 덕분에 깔끔한 제곱근 형태.

#16 관점 바꾸기 8.EE.A.2 단계 7

큰 오각형 넓이를 곱해 마무리.
$\text{넓이}_{s} = (\sqrt{5} + 1) \cdot \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} = \dfrac{(\sqrt{5} + 1)(3 - \sqrt{5})}{2}$.
분자 전개: $3\sqrt{5} - 5 + 3 - \sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 2$.
따라서 $\text{넓이}_{s} = \tfrac{2\sqrt{5} - 2}{2} = \sqrt{5} - 1$, 선택지 (B).

$$\text{넓이}_{s} = (\sqrt{5} + 1) \cdot \tfrac{3 - \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} - 1 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 8학년 '제곱근 기호' — 전개해서 $\sqrt{5}$ 항을 모으면 $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$ 가 $+3$ 과 상쇄.

[1] #10 8.G.A.2 종이를 접기. 중심 $O$ 에 꼭짓점 $V$ 를 포개면 접힘선이 선분 $OV$ 의 수직이등분선이 됩니다. 다섯 접힘선이 안쪽 오각형의 경계. 원

[2] #1 7.G.B.5 작은 오각형의 내접원반지름 읽기. 각 접힘선이 $OV$ 의 수직이등분선이므로, $O$ 에서 접힘선까지 내린 수선의 발은 $OV$ 의 중점, 즉

[3] #7 8.G.B.7 큰 오각형의 내접원반지름 구하기. 정오각형은 중심에서 다섯 합동 이등변삼각형으로 나뉘고 각 삼각형의 꼭각은 $\tfrac{360^{\circ}}

[4] #7 7.G.A.1 두 오각형의 선형 비 구성. 둘 다 정오각형이고 중심 공유 — 닮음. 닮음비는 어느 대응 선형 차원으로 잡든 같으니 내접원반지름끼리 비교: $\

[5] #7 7.G.A.1 넓이는 비의 제곱으로 변환. 닮은 도형의 넓이는 선형 비의 제곱: $\dfrac{\text{넓이}_{s}}{\text{넓이}_{\text{큰}}

[6] #16 8.NS.A.2 잘 알려진 황금비 항등식 $\cos 36^{\circ} = \tfrac{1 + \sqrt{5}}{4}$ 대입. 제곱하면 $\cos^{2} 36^

[7] #16 8.EE.A.2 큰 오각형 넓이를 곱해 마무리. $\text{넓이}_{s} = (\sqrt{5} + 1) \cdot \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}

검토

합리성 확인: 세 점검. (1) 켤레 인수 $(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = 5 - 1 = 4$ — 큰·작은 넓이 곱이 정수 $4$ 라는 깔끔한 항등식, 정답 가능성 강한 신호. (2) 수치: $\text{넓이}_{\text{큰}} \approx 3.236$, $\text{넓이}_{s} \approx 1.236$, 비 $\approx 0.382 = \tfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$ ✓. (3) 안쪽 오각형은 원래보다 작아야 하고 ($1.236 < 3.236$) 그렇다. (B) $\sqrt{5} - 1$ 이 답.

대안 접근: 도구 #5(패턴) 로 황금비 활용: $\phi = \tfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 일 때 $\cos 36^{\circ} = \tfrac{\phi}{2}$. 넓이 비는 $\tfrac{1}{\phi^{2}}$. $\phi^{2} = \phi + 1$ 이므로 비는 $\tfrac{1}{\phi + 1}$, 큰 넓이 $\sqrt{5} + 1 = 2\phi$ 와 곱하면 $\tfrac{2\phi}{\phi + 1} = \tfrac{2\phi}{\phi^{2}} = \tfrac{2}{\phi} = 2(\phi - 1) = \sqrt{5} - 1$. 같은 답.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.G.A.1 도형의 축척 도면 관련 문제 풀이 (닮은 다각형은 모든 대응 차원이 한 배율, 그래서 넓이 비는 그 제곱.)
7.G.B.5 보각·여각·맞꼭지각·인접각 성질 활용 ($O$ 에서 접힘선까지 수선의 발이 $OV$ 의 중점 — 작은 오각형의 내접원반지름이라는 사실 확인.)
8.G.A.2 강체 변환으로 두 2차원 도형의 합동을 이해 (접기를 $V$ 와 $O$ 를 맞바꾸는 반사로 인식 — 접힘선이 $OV$ 의 수직이등분선이어야 함을 추론.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 변 길이 구하기 (다섯 중심 이등변삼각형 중 하나를 반으로 잘라 $\cos 36^{\circ} = r/R$ 의 직각삼각형을 노출.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호로 해 표현 ($\sqrt{5}$ 다루기 — $(1 + \sqrt{5})$ 제곱, $(\sqrt{5} + 1)(3 - \sqrt{5})$ 전개, 분모 유리화.)
8.NS.A.2 무리수의 유리 근사로 크기 비교 ($\cos 36^{\circ}$ 를 소수가 아닌 정확한 대수 형태 $\tfrac{1 + \sqrt{5}}{4}$ 로 다룸.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 제곱근 대수만 있으면 풀려요 — 정오각형의 다섯 꼭짓점을 중심으로 접으면 각 접힘선이 $OV$ 의 수직이등분선이라 작은 오각형의 내접원반지름은 정확히 $R/2$. 큰 오각형의 내접원반지름은 $R \cos 36^{\circ}$. 넓이 비 $\tfrac{1}{4\cos^{2} 36^{\circ}}$ 가 $\cos 36^{\circ} = \tfrac{1+\sqrt 5}{4}$ 로 $\tfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$ 가 되고, $(\sqrt{5}+1) \cdot \tfrac{3 - \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} - 1$, 선택지 (B).