AMC 10 · 2023 · #6

학년 4 arithmetic

recursive-sequenceparitypattern-recognitionmodular-arithmeticlucas-numbers pattern-recognitionsystematic-enumerationeasier-related-problem ↑ 선수 지식: parityrecursive-sequence

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

Let $L_{1}=1, L_{2}=3$ , and $L_{n+2}=L_{n+1}+L_{n}$ for $n\geq 1$ . How many terms in the sequence $L_{1}, L_{2}, L_{3},...,L_{2023}$ are even?

$\textbf{(A) }673\qquad\textbf{(B) }1011\qquad\textbf{(C) }675\qquad\textbf{(D) }1010\qquad\textbf{(E) }674$

답을 골라 클릭하세요.

(A)

673

(B)

1011

(C)

675

(D)

1010

(E)

674

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $L_1 = 1$, $L_2 = 3$, 그리고 $L_{n+2} = L_{n+1} + L_n$ 으로 정의된 루카스형 수열에서 $L_1, L_2, \ldots, L_{2023}$ 중 짝수인 항이 몇 개인지 세는 문제입니다.

주어진 것: $L_1 = 1$ (홀수); $L_2 = 3$ (홀수); 점화식: 다음 항은 바로 앞 두 항의 합; 확인할 범위: $L_1$ 부터 $L_{2023}$ 까지 — 모두 $2023$ 개 항; 선택지: (A) $673$, (B) $1011$, (C) $675$, (D) $1010$, (E) $674$

구하는 것: $2023$ 개 항 중 짝수인 항의 개수

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기

$2023$ 개 항의 홀짝을 일일이 따지는 것은 불가능하니, 도구 #9(더 쉬운 문제)로 첫 몇 개 항만 손으로 홀짝을 적습니다. 처음 두 항의 (홀, 홀) 짝이 다시 나타나는 순간 도구 #5(패턴 찾기)가 작동합니다 — 그 뒤로는 같은 블록이 영원히 반복됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 홀짝 기록을 깔끔하게 정리해 줍니다. 주기를 알고 나면 원래 문제는 "$2023$ 안에 블록의 끝자리가 몇 개 들어가나" 라는 한 줄 나눗셈으로 줄어듭니다. 도구 #13(대수)은 필요 없습니다 — 홀짝 규칙만으로 끝납니다.

실행 — 정답: E

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 2.OA.C.3 단계 1

홀+홀=짝, 홀+짝=홀, 짝+홀=홀 규칙으로 처음 몇 항의 홀짝을 적어 봅니다.
$L_1, L_2$ 가 모두 홀수이니, 거기서부터 한 항씩 적어 내려갑니다.

$$\begin{array}{c|cccccccc} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ L_n & 1 & 3 & 4 & 7 & 11 & 18 & 29 & 47 \\ \text{홀짝} & 홀 & 홀 & 짝 & 홀 & 홀 & 짝 & 홀 & 홀 \end{array}$$

💡 수열의 작은 표본만 봐도 구조가 보입니다 — 2학년 홀짝 구분으로 충분.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

홀짝 줄을 읽으면 홀, 홀, 짝, 홀, 홀, 짝, 홀, 홀, ...
— (홀, 홀, 짝) 한 블록이 주기 $3$ 으로 반복됩니다.
각 항의 홀짝은 바로 앞 두 항의 홀짝만으로 정해지므로, 짝 $(L_n, L_{n+1})$ 이 한 번 다시 나타나면 그 뒤는 통째로 같은 모양이 반복됩니다.
$(L_4, L_5) = (홀, 홀)$ 이 $(L_1, L_2) = (홀, 홀)$ 과 같으니 주기가 정확히 $3$ 입니다.

$$\underbrace{홀,\,홀,\,짝}_{\text{블록}} \;\;\underbrace{홀,\,홀,\,짝}_{\text{블록}} \;\;\underbrace{홀,\,홀,\,짝}_{\text{블록}} \;\; \cdots$$

💡 세 개짜리 반복 블록을 짚어내고 같은 모양이 계속됨을 설명하는 것 — 4학년 규칙 기반 패턴 사고.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

블록 안에서 짝수 항은 세 번째 자리에 있습니다.
그래서 $L_n$ 이 짝수가 되는 것은 정확히 $n$ 이 $3$ 의 배수일 때입니다.
이제 문제는 "$\{1, 2, \ldots, 2023\}$ 안에 $3$ 의 배수가 몇 개인가?" 로 줄어듭니다.

$$L_n \text{ 이 짝수} \iff n \in \{3, 6, 9, 12, \ldots\}$$

💡 짝수 자리가 곧 $3$ 의 배수임을 알아채는 것 — 4학년 배수 감각.

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.6 단계 4

$2023$ 까지의 $3$ 의 배수를 나눗셈으로 셉니다.
$3 \times 674 = 2022$ 까지는 들어가고 $3 \times 675 = 2025$ 는 넘으니, $\{1, \ldots, 2023\}$ 안에 $3$ 의 배수는 모두 $674$ 개입니다.

$$2023 \div 3 = 674 \text{ 나머지 } 1 \;\Rightarrow\; 674 \text{ 개 짝수 항} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 나눗셈 한 번으로 개수가 나옴 — 4학년 여러 자리 나눗셈.

[1] #9 2.OA.C.3 홀+홀=짝, 홀+짝=홀, 짝+홀=홀 규칙으로 처음 몇 항의 홀짝을 적어 봅니다. $L_1, L_2$ 가 모두 홀수이니, 거기서부터 한 항씩 적어

[2] #5 4.OA.C.5 홀짝 줄을 읽으면 홀, 홀, 짝, 홀, 홀, 짝, 홀, 홀, ... — (홀, 홀, 짝) 한 블록이 주기 $3$ 으로 반복됩니다. 각 항의 홀짝

[3] #2 4.OA.B.4 블록 안에서 짝수 항은 세 번째 자리에 있습니다. 그래서 $L_n$ 이 짝수가 되는 것은 정확히 $n$ 이 $3$ 의 배수일 때입니다. 이제 문

[4] #5 4.NBT.B.6 $2023$ 까지의 $3$ 의 배수를 나눗셈으로 셉니다. $3 \times 674 = 2022$ 까지는 들어가고 $3 \times 675 = 2

검토

합리성 확인: 어림 점검: $2023$ 개 중 대략 $\tfrac{1}{3}$ 이 짝수여야 하고 $\tfrac{2023}{3} \approx 674.3$ 이니, 답은 $674$ 근방이 자연스럽습니다 — (E) $674$ 와 맞습니다. (B) $1011$ 은 홀수 자리 항을 잘못 센 결과, (C) $675$ 는 올림 실수, (D) $1010$ 은 $\tfrac{2020}{2}$ 처럼 $3$ 대신 $2$ 로 잘못 나눈 결과입니다. 짝수 자리 자체도 확인됩니다 — $L_3 = 4$ (짝 ✓), $L_6 = 18$ (짝 ✓), $L_9 = L_8 + L_7 = 47 + 29 = 76$ (짝 ✓).

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) — 모듈러 산술: 점화식을 $\bmod 2$ 로 풉니다. $L_1 \equiv 1, L_2 \equiv 1 \pmod 2$ 에서 $L_3 \equiv 0$, $L_4 \equiv 1$, $L_5 \equiv 1$, $L_6 \equiv 0$. 짝 $(1, 1)$ 이 다시 나오므로 주기 $3$. 결론은 같지만 $\bmod 2$ 표기를 들고 와야 하니 홀짝 블록 그림이 같은 답을 더 가볍게 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

2.OA.C.3 물건 묶음이 홀수 개인지 짝수 개인지 판별하기 (각 루카스형 항을 홀수/짝수로 분류 — 이 문제에서 항에 대해 필요한 유일한 정보.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 (홀짝 줄에서 반복되는 (홀, 홀, 짝) 블록을 읽어내고, 점화 규칙이 같은 블록을 계속 만든다는 사실을 설명.)
4.OA.B.4 약수 쌍과 배수 알아보기, 소수·합성수 판별 (짝수 항이 나타나는 자리 $3, 6, 9, \ldots$ 가 곧 $3$ 의 배수임을 인식.)
4.NBT.B.6 네 자리 이내의 피제수에 대한 자연수 몫과 나머지 구하기 ($2023 \div 3 = 674$ 나머지 $1$ 의 나눗셈으로 $2023$ 이하의 $3$ 의 배수 개수 계산.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 패턴·나눗셈만 알면 풀 수 있어요 — 첫 몇 항의 홀짝만 적어 보면 (홀, 홀, 짝) 세 칸짜리 블록이 보이고, 그 블록이 $2023$ 안에 몇 번 들어가는지 나눗셈 한 번으로 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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