AMC 10 · 2023 · #9

학년 6 arithmetic

perfect-squaresdifference-of-squaressequences-arithmeticlinear-equations-one-var pattern-recognitioneasier-related-problemidentify-subproblems ↑ 선수 지식: perfect-squaresdifference-of-squares

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The numbers $16$ and $25$ are a pair of consecutive positive squares whose difference is $9$ . How many pairs of consecutive positive perfect squares have a difference of less than or equal to $2023$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

674

(B)

1011

(C)

1010

(D)

2019

(E)

2017

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $16$ 과 $25$ 처럼 연속된 두 양의 완전제곱수의 차이는 $9$ 입니다. 차이가 $2023$ 이하인 연속된 양의 완전제곱수 쌍이 모두 몇 개인지 세는 문제입니다.

주어진 것: 한 쌍이란 어떤 양의 정수 $n \ge 1$ 에 대한 $n^2$ 과 $(n+1)^2$; 두 수의 차이는 $(n+1)^2 - n^2$; 예시: $4^2 = 16$ 과 $5^2 = 25$ 의 차이는 $9$; 차이가 $2023$ 이하인 모든 쌍을 찾음; 선택지: (A) $674$, (B) $1011$, (C) $1010$, (D) $2019$, (E) $2017$

구하는 것: 차이가 $2023$ 이하인 $n$ 의 개수 (즉, 쌍의 개수)

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #1 그림 그리기

도구 #9(더 쉬운 문제)가 알려주는 것 — $(n+1)^2 - n^2$ 를 추상적으로 풀려 하지 말고 몇 개의 작은 사례를 직접 계산해 봅시다. 그러면 도구 #5(패턴 찾기) 가 곧장 알아챕니다: 차이가 $3, 5, 7, 9, 11, \ldots$ 즉 홀수가 차례로 등장. 도구 #1(그림 그리기) 이 시각적으로 받쳐줍니다 — $n^2$ 을 $n \times n$ 점 배열로 놓고 $(n+1)^2$ 로 키우면 L자 띠가 추가되는데 점 개수는 $n + n + 1 = 2n + 1$. 그러므로 $n$ 번째 차이는 정확히 $2n + 1$. 이제 문제는 한 줄짜리 부등식 $2n + 1 \le 2023$ 즉 $n \le 1011$ 로 줄어들고, $1$ 부터 $1011$ 까지의 정수를 세면 끝. 정식 대수는 필요 없습니다 — 패턴과 L자 그림이 모든 일을 해줍니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.D.9 단계 1

처음 몇 개 $n$ 값에서 차이를 계산해 패턴을 찾습니다.
$n = 1$: $2^2 - 1^2 = 3$.
$n = 2$: $3^2 - 2^2 = 5$.
$n = 3$: $4^2 - 3^2 = 7$.
$n = 4$: $5^2 - 4^2 = 9$.
$n = 5$: $6^2 - 5^2 = 11$.

$$\begin{array}{c|cccccc} n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ (n+1)^2 - n^2 & 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & 13 \end{array}$$

💡 작은 사례로 줄이면 패턴이 드러남 — 3학년 산술 패턴 찾기.

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 2

차이 $3, 5, 7, 9, 11, 13, \ldots$ 는 $3$ 부터 시작하는 홀수, 그러므로 $n$ 번째 차이는 $2n + 1$.
그림 확인: $n \times n$ 정사각형 점 배열을 $(n+1) \times (n+1)$ 로 키우면 오른쪽 $n$ 개, 위쪽 $n$ 개, 모서리 $1$ 개를 더하는 L자 띠가 붙으니 새 점은 $n + n + 1 = 2n + 1$.

$$(n+1)^2 - n^2 = 2n + 1$$

💡 $n$ 번째 차이의 일반 규칙 읽기 — 4학년 규칙 기반 수 패턴 생성.

#1 그림 그리기 6.EE.B.8 단계 3

문제의 조건은 $2n + 1 \le 2023$.
양변에서 $1$ 을 빼고 $2$ 로 나눕니다.

$$2n + 1 \le 2023 \;\Rightarrow\; 2n \le 2022 \;\Rightarrow\; n \le 1011$$

💡 $x \le c$ 꼴의 한 단계 부등식 풀이 — 6학년 부등식 사고.

#1 그림 그리기 3.OA.A.3 단계 4

$n$ 은 양의 정수이고 $n \le 1011$.
각 $n$ 이 유일한 쌍 $(n^2, (n+1)^2)$ 을 만드니, $1$ 부터 $1011$ 까지 정수의 개수를 셉니다.

$$\text{쌍의 개수} = 1011 - 1 + 1 = 1011 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $1$ 부터 $1011$ 까지 연속 정수 세기 — 3학년 문장제 세기.

[1] #9 3.OA.D.9 처음 몇 개 $n$ 값에서 차이를 계산해 패턴을 찾습니다. $n = 1$: $2^2 - 1^2 = 3$. $n = 2$: $3^2 - 2^2 =

[2] #5 4.OA.C.5 차이 $3, 5, 7, 9, 11, 13, \ldots$ 는 $3$ 부터 시작하는 홀수, 그러므로 $n$ 번째 차이는 $2n + 1$. 그림 확

[3] #1 6.EE.B.8 문제의 조건은 $2n + 1 \le 2023$. 양변에서 $1$ 을 빼고 $2$ 로 나눕니다.

[4] #1 3.OA.A.3 $n$ 은 양의 정수이고 $n \le 1011$. 각 $n$ 이 유일한 쌍 $(n^2, (n+1)^2)$ 을 만드니, $1$ 부터 $1011$

검토

합리성 확인: 세 가지 확인. (1) 경계: $n = 1011$ 일 때 차이가 $2(1011) + 1 = 2023$ 으로, 문제의 "$\le 2023$" 조건에 들어가니 $n = 1011$ 이 포함됨. (2) 경계: $n = 1012$ 일 때 차이가 $2025 > 2023$ 이므로 빠짐 — 자연스러움. (3) 크기 어림: 차이는 대략 $2n$, 따라서 $n$ 의 상한은 대략 $2023 / 2 \approx 1011$ — 일치. 오답 식별: (A) $674$ 는 $2023 / 3$ 으로 분모 잘못, (C) $1010$ 은 $n = 1011$ 경계를 빠뜨리는 off-by-one, (D) $2019$ 과 (E) $2017$ 은 $2023$ 자체를 갖고 노는 미끼.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): $D = (n+1)^2 - n^2$ 를 두고 $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$ 로 전개하면 $D = 2n + 1$. 그 다음 $2n + 1 \le 2023$ 을 풀어 $n \le 1011$. 같은 결론이지만 전개를 거치니 L자 띠 그림보다 무거움.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

3.OA.D.9 산술 패턴을 찾아 연산의 성질로 설명하기 (처음 몇 개의 차이 $3, 5, 7, 9, 11, \ldots$ 가 홀수 수열을 이룬다는 사실을 발견.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수 또는 도형 패턴 만들기 ($n$ 번째 차이가 $2n + 1$ 이라는 규칙을 명시하고 L자 띠 그림으로 검증.)
6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 꼴 부등식을 쓰고 수직선에 나타내기 (조건을 $2n + 1 \le 2023$ 으로 옮기고 풀어 $n \le 1011$ 을 얻음.)
3.OA.A.3 $100$ 이내 곱셈·나눗셈 문장제 풀기 ($1$ 부터 $1011$ 까지의 정수가 $1011$ 개라는 사실 — 유효한 쌍마다 정수 하나씩.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 6학년 부등식만 알면 풀 수 있어요 — 연속 제곱수의 간격은 항상 다음 홀수 $2n + 1$, 그래서 문제는 $2n + 1 \le 2023$ 이 되고 $n \le 1011$, 즉 $1011$ 쌍.