AMC 10 · 2024 · #11
학년 8 algebranumber-theory문제
How many ordered pairs of integers satisfy ?
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $\sqrt{n^2 - 49} = m$ 을 만족하는 정수 순서쌍 $(m, n)$ 의 개수를 구하세요.
주어진 것: 방정식 $\sqrt{n^2 - 49} = m$; $m$ 과 $n$ 은 모두 정수; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) 무한히 많음
구하는 것: 방정식을 만족하는 정수 순서쌍 $(m, n)$ 의 개수
이해
문제 재정리: $\sqrt{n^2 - 49} = m$ 을 만족하는 정수 순서쌍 $(m, n)$ 의 개수를 구하세요.
주어진 것: 방정식 $\sqrt{n^2 - 49} = m$; $m$ 과 $n$ 은 모두 정수; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) 무한히 많음
계획
주요 도구: #2 정리된 목록 만들기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기, #16 관점 바꾸기 / 여집합 세기
양변을 제곱하면 $\sqrt{n^2 - 49} = m$ 이 $n^2 - m^2 = 49$ 로 바뀝니다. 도구 #2(정리된 목록 만들기)는 정수해를 찾는 자연스러운 방법입니다 — $|n| \ge 7$ 인 작은 $n$ 값부터 차례로 올라가면서 $n^2 - 49$ 가 완전제곱수인지 확인합니다. 목록 안에서 매번 "이게 완전제곱수인가?" 를 묻는 동작 자체가 도구 #6(추측하고 확인하기)입니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 중복 작업을 줄입니다: 방정식에는 $n^2$ 만 들어가므로 양의 $n$ 해마다 음의 $n$ 쌍둥이가 따라옵니다. 따라서 양수 쪽만 세고 마지막에 두 배로 늘리면 됩니다.
실행 — 정답: D
8.EE.A.2 단계 1 - 양변을 제곱해 근호를 없앱니다.
- 제곱근의 결과는 음수가 될 수 없고 정수 $m$ 과 같으므로 $m \ge 0$.
- 이 조건에서 양변 제곱은 안전합니다.
💡 8학년에서는 제곱근 기호를 "음이 아닌 수의 제곱의 역연산" 으로 다룹니다. 양변 제곱은 근호를 없애는 표준 방법입니다.
6.EE.B.5 단계 2 - 탐색을 재정의합니다.
- $n^2 - 49 = m^2$ 은 "$n^2 - 49$ 가 완전제곱수가 되는 정수 $n$ 을 찾아라" 라는 뜻입니다.
- 근호 안의 조건에서 $|n| \ge 7$ 이 강제되므로 $n = 7$ 부터 위로 올라갑니다.
💡 6학년의 "방정식 풀기란 양변을 같게 만드는 값을 찾는 일" 그대로입니다 — 여기서는 어떤 $n$ 이 $n^2 - 49$ 를 완전제곱수로 떨어뜨리는지 시험합니다.
4.OA.B.4 단계 3 - 양의 $n$ 을 차례로 올라가며 확인합니다.
- 연속한 제곱수의 간격 $n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1$ 이 $49$ 를 넘어서면 멈출 수 있습니다.
- 그 순간부터 $n^2 - 49$ 는 $(n-1)^2$ 과 $n^2$ 사이에 갇혀 다시는 완전제곱수가 되지 못하기 때문이죠.
- $2n - 1 > 49$, 즉 $n \ge 26$ 부터는 보지 않아도 되고, $n = 7, 8, \ldots, 25$ 만 확인하면 됩니다.
💡 4학년 수준의 완전제곱수 ($0, 1, 4, 9, \ldots, 576$) 인식만으로 표를 훑을 수 있습니다. 간격 논증으로 탐색 범위가 유한히 잘립니다.
6.NS.C.6 단계 4 - 음의 $n$ 으로 대칭을 만듭니다.
- 방정식에는 $n^2$ 만 나오므로 $n$ 이 답이면 $-n$ 도 같은 $m$ 과 함께 답입니다.
- 양의 $n$ 에서 두 해 ($n=7$, $n=25$) 가 나왔으므로 전체는 네 순서쌍입니다.
💡 6학년의 "어떤 수와 그 반수는 같은 제곱을 가진다" — 양의 $n$ 해마다 음의 $n$ 쌍둥이가 짝지어집니다.
8.EE.A.2 양변을 제곱해 근호를 없앱니다. 제곱근의 결과는 음수가 될 수 없고 정수 $m$ 과 같으므로 $m \ge 0$. 이 조건에서 양변 제곱은 안전합 6.EE.B.5 탐색을 재정의합니다. $n^2 - 49 = m^2$ 은 "$n^2 - 49$ 가 완전제곱수가 되는 정수 $n$ 을 찾아라" 라는 뜻입니다. 근호 4.OA.B.4 양의 $n$ 을 차례로 올라가며 확인합니다. 연속한 제곱수의 간격 $n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1$ 이 $49$ 를 넘어서면 멈출 수 6.NS.C.6 음의 $n$ 으로 대칭을 만듭니다. 방정식에는 $n^2$ 만 나오므로 $n$ 이 답이면 $-n$ 도 같은 $m$ 과 함께 답입니다. 양의 $n$ 검토
합리성 확인: 네 쌍을 원래 방정식에 직접 대입해 확인합니다. $(m, n) = (0, 7)$: $\sqrt{49 - 49} = \sqrt{0} = 0 = m$. 맞음. $(m, n) = (0, -7)$: $\sqrt{(-7)^2 - 49} = \sqrt{0} = 0 = m$. 맞음. $(m, n) = (24, 25)$: $\sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 = m$. 맞음. $(m, n) = (24, -25)$: $\sqrt{625 - 49} = 24 = m$. 맞음. 네 쌍 모두 만족하고, $n < 26$ 의 탐색 한계로 더 큰 $n$ 해가 없음이 보증되므로 정답은 정확히 4 — 즉 (D).
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) 와 두 제곱의 차: $n^2 - m^2 = 49$ 를 $(n-m)(n+m) = 49$ 로 인수분해합니다. $49 = 1 \times 49 = 7 \times 7$ (그리고 두 인수를 모두 음수로 바꾼 것들) 이고, $m \ge 0$ 에서 $n + m \ge n - m$ 이 강제되므로 정수 $(m, n)$ 을 주는 인수쌍은 $(1, 49)$, $(7, 7)$, $(-49, -1)$, $(-7, -7)$ 뿐입니다. 각 쌍을 풀면 $(24, 25)$, $(0, 7)$, $(24, -25)$, $(0, -7)$ — 같은 네 쌍이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
8.EE.A.2제곱근·세제곱근 기호의 의미를 이해하고 작은 완전제곱수의 제곱근을 계산 ($\sqrt{n^2 - 49} = m$ 을 "$m$ 은 제곱이 $n^2 - 49$ 인 음이 아닌 수" 로 읽어, 양변을 제곱해 $n^2 - 49 = m^2$ 를 얻고 $m \ge 0$ 을 끌어내는 데 사용.)6.EE.B.5방정식 풀기란 양변을 참으로 만드는 값을 찾는 과정임을 이해 (문제를 "어떤 정수 $n$ ($|n| \ge 7$) 이 $n^2 - 49$ 를 완전제곱수로 만드는가?" 로 재정의해 값 대입으로 탐색하는 데 사용.)4.OA.B.4약수쌍 찾기·배수 인식 및 범위 안의 완전제곱수 식별 ($n = 7, 8, \ldots, 25$ 를 훑으며 $n^2 - 49$ 가 완전제곱수($0$ 과 $576$)인 경우를 식별하는 데 사용.)6.NS.C.6유리수를 수직선 위의 점으로 이해하고 부호의 반대 개념 인식 ($n^2 = (-n)^2$ 이므로 양의 $n$ 해마다 음의 $n$ 쌍둥이를 짝지어 개수를 두 배로 늘리는 데 사용.)
⭐ 제곱근이 정수가 되어야 한다면, 양변을 제곱한 뒤 "어떤 정수가 안쪽 식을 완전제곱수로 만드는가?" 를 찾아보세요. 연속한 제곱수의 간격으로 탐색 범위를 잘라 두면, 끝없어 보이던 문제가 짧은 유한 목록 하나로 정리됩니다.
⭐ 제곱근이 정수가 되어야 한다면, 양변을 제곱한 뒤 "어떤 정수가 안쪽 식을 완전제곱수로 만드는가?" 를 찾아보세요. 연속한 제곱수의 간격으로 탐색 범위를 잘라 두면, 끝없어 보이던 문제가 짧은 유한 목록 하나로 정리됩니다.